STATISTICA ESERCITAZIONE 9 Dott. Giuseppe Pandolfo 19 Gennaio 2015 REGOLE DI CONTEGGIO Sequenze ordinate Sequenze non ordinate Estrazioni con ripetizione Estrazioni senza ripetizione Estrazioni con ripetizione Estrazioni senza ripetizione N = numero di prove n = numero di volte che si verifica l evento Sequenze ordinate con ripetizione N n Sequenze ordinate senza ripetizione N! N n! Sequenze non ordinate con ripetizione (N + n 1)! n! N 1! Sequenze non ordinate senza ripetizione N! n! N n! Esercizio 1 a) Se abbiamo un urna che contiene 4 palline (Rossa, Bianca, Verde, Gialla), per cui Ω = {R, B, V, G}, definiamo le sequenze ordinate con ripetizione di ampiezza n = 2.
Le sequenze sono 4 2 = 16, ovvero: {RR, RB, RV, RG, BB, BR, BV, BG, VR, VB, VV, VG, GR, GB, GV, GG} b) Ora definiamo le sequenze ordinate senza ripetizione di ampiezza n = 2. Le sequenze sono 4! 4 2! = 4 3 2 1 = 4 3 = 12 2 1 { RB, RV, RG, BR, BV, BG, VR, VB, VG, GR, GB, GV } c) Ora definiamo le sequenze non ordinate con ripetizione di ampiezza n = 2. Le sequenze sono (4 + 2 1)! 2! 4 1! { RR, RB, RV, RG, BB, BV, BG, VV, VG, GG} = 5 4 3 2 1 2 1 (3 2 1) = 20 2 = 10 d) Ora definiamo le sequenze non ordinate senza ripetizione di ampiezza n = 2. Le sequenze sono 4! 2! 4 2! = 4 3 2 1 2 1 (2 1) = 12 2 = 6 { RB, RV, RG, BV, BG, VG } Esercizio 2 Consideriamo il numero di terni possibili nelle estrazioni del Lotto. Calcoliamo il numero di possibili combinazioni di 90 numeri scelti a 3 a 3 senza ripetizione. In questo caso l ordinamento non è rilevante, dunque: N! n! N n!
dove n = 3 e N = 90. 90! 3! 90 3! = 117480 Il numero di terni possibili è 117480. Modelli discreti di variabili: Uniforme, Binomiale, Bernoulli Si chiama variabile di Bernoulli una variabile discreta X che assume valori 0 e 1, con probabilità, rispettivamente, 1 p e p. p viene chiamato parametro della variabile di Bernoulli. Convenzionalmente che ha probabilità p viene chiamato successo mentre che ha probabilità 1 p viene chiamato insuccesso. Esempi Il lancio di una moneta è un esperimento di Bernoulli. Se la moneta non è truccata il parametro p è uguale a 1/2. Lancio di due dadi. Considero successo l evento somma dei punti dei due dadi uguale a 8, e insuccesso l evento complementare. Il parametro p vale 1/6. La variabile di Bernoulli si indica con X B(p) e prende il valore 1 in caso di successo e 0 in caso di insuccesso: P(X=1) = p, P(X=0) = 1 p. L esperimento associato ad una variabile di Bernoulli prende il nome di esperimento di Bernoulli o prova di Bernoulli. Consideriamo un processo di Bernoulli di parametro p, di n prove. Si definisce binomiale di parametri n e p, e si scrive X Bin(n, p). Dunque Bin(n, p) è la somma di n variabili Bernoulliane di parametro p, indipendenti tra loro. Esercizio 3 Da un mazzo di 52 carte (13 di picche, 13 di cuori, 13 di fiori e 13 di quadri) ne vengono estratte cinque con reinserimento. Si è interessati alla variabile casuale X che descrive il numero di carte di cuori ottenute nelle estrazioni. Determinare: a) il valore atteso e la varianza della variabile X i ; b) la probabilità di estrarre tre carte di fiori;
c) la probabilità di estrarre almeno tre carte di fiori; d) la probabilità di estrarre al più tre carte di fiori; a) Dato che l estrazione delle carte dal mazzo di 52 avviene con riposizione, la probabilità di ottenere una carta di cuori rimane costante da estrazione ad estrazione. Le singole estrazioni sono inoltre indipendenti in quanto fisicamente separate. Alla luce di ciò, la variabile casuale X risulta essere una variabile casuale binomiale di parametri n = 5 e p = 13/52 = 1/4. Si ha dunque che: E X = n p = 5 0.25 = 1.25 Var X = n p 1 p = 5 0.25 0.75 = 0.9375 b) La funzione di probabilità di X è: P X = x = 5 x 0.25 x 1 0.25 5 x, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, altrove Quindi: P X = x = 5 3 0.253 0.75 5 3 = 5! 3! 2! 0.0156 0.5625 = 10 0.0156 0.5625 = 0.0879 c) La probabilità di estrarre almeno tre carte di cuori coincide con la probabilità che la variabile casuale X assuma valori maggiori o uguali a 3. Si ha quindi: P X x = P X = 3 + P X = 4 + P X = 5 = 5 3 0.253 0.75 5 3 + 5 4 0.254 0.75 5 4 + 5 5 0.255 0.75 5 5 = 0.0879 + 5 0.25 4 0.75 + 0.25 5 = 0.0879 + 0.0146 + 0.0010 = 0.1035 d) La probabilità di estrarre al più tre carte di cuori coincide con la probabilità che la variabile casuale X assuma valori minori o uguali a 3: P X x = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 = 0.2373 + 0.3955 + 0.2637 + 0.0879 = 0.9844 = 1 P X = 4 + P X = 5. Esercizio 4 Può capitare che alcuni passeggeri pur avendo acquistato un biglietto aereo decidano di non viaggiare. Una compagnia aerea sa che in media il 15% dei passeggeri non si presenta alla partenza e accetta 18
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 prenotazioni su 15 posti liberi. Supponendo che i comportamenti dei passeggeri siano indipendenti, qual è la probabilità che almeno uno rimanga a terra? La variabile X assume valore 0 se il passeggero non si presenta, 1 se si presenta. Gli eventi sono 17. Dunque i parametri sono n = 17 e p = 0.88, e cerchiamo la probabilità che variabile Binomiale con questi parametri abbia valori maggiori di 15: p V 17 > 15 = 17 16 0.8816 0.12 1 + 17 17 0.8817 0.12 0 0.263 + 0.113 = 0.376 Esercizio 5 Si consideri l esperimento lancio di un dado non truccato. Sia X la variabile casuale che assume valore pari alla faccia uscita; 1) Specificare la distribuzione di probabilità della variabile e rappresentarla graficamente; 2) Calcolare valore atteso e varianza usando le definizioni generali; 3) Calcolare valore atteso e varianza usando quanto noto sulla distribuzione uniforme discreta. La variabile casuale X è rappresentata di seguito in forma tabellare e in forma grafica: 1 2 3 4 5 6
Il valore atteso è (secondo la definizione generale): E X = i x i p x i = 1 1 6 + 2 1 6 + 3 1 6 + 4 1 6 + 5 1 6 + 6 1 6 = 3.5 La varianza è (secondo la definizione generale): Var X = E X μ 2 = x i μ 2 p x i i = 1 3.5 2 1 6 + 2 3.5 2 1 6 + 3 3.5 2 1 6 + 4 3.5 2 1 6 + 5 3.5 2 1 6 + 6 3.5 2 1 6 = 2.91 La variabile casuale X è una variabile casuale uniforme discreta: X ~ Ud(6), quindi E X = n + 1 2 = 6 + 1 2 Var X = E X μ 2 = n2 1 12 = 3.5 = 62 1 12 = 2.91