74 Unità idattica N 29 Quadrilateri inscrittibili e circoscrittibili Unità idattica N 29 Quadrilateri inscrittibili e circoscrittibili 01) Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza 02) Quadrilateri inscrittibili in una circonferenza 03) Quadrilateri circoscrittibili ad una circonferenza 04) Poligoni regolari Pagina 74 di 78
Unità idattica N 29 Quadrilateri inscrittibili e circoscrittibili 75 Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza efinizione : Un poligono è inscritto in una circonferenza quando i suoi vertici sono punti della circonferenza. efinizione : Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza quando i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. Quadrilateri inscritti e circoscritti ad una circonferenza efinizione : Un quadrilatero è inscritto in una circonferenza se i suoi vertici sono punti della circonferenza. Osservazione : Una condizione necessaria va posta come tesi, una condizione sufficiente va posta come ipotesi. Quadrilateri inscrittibili in una circonferenza Teorema ondizione necessaria e sufficiente perché α un quadrilatero sia inscrittibile in una circonferenza è che i suoi angoli opposti sono supplementari. O 2β 2 α B Hp { B inscritto in una circonferenza Th { B ˆ + ˆ B 180 β Pagina 75 di 78
76 Unità idattica N 29 Quadrilateri inscrittibili e circoscrittibili B ˆ e O ˆ B sono rispettivamente angoli alla circonferenza ed al centro che insistono sullo steso arco B. Pertanto : B ˆ β OB ˆ 2β. B ˆ e O ˆ B sono rispettivamente angoli alla circonferenza ed al centro che insistono sullo stesso arco B. Pertanto : B α OB ˆ 2α. Ma : 2α + 2β 360 α + β 180 Teorema inverso : Hp { B ˆ + ˆ B 180 Th { B inscrittibile in una circonferenza Quadrilateri circoscrittibili in una circonferenza efinizione : Un quadrilatero si dice circoscritto ad una circonferenza se i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. M I Hp { B circoscritto in una circonferenza O B Th { B + B + N L Teorema : ondizione necessaria e sufficiente perché una quadrilatero convesso sia circoscrittibile ad una circonferenza è che la somma di due suoi lati opposti sia uguale alla somma degli due lati opposti. Ricordando che risultano uguali i segmenti di tangente condotti da un punto ad una circonferenza possiamo scrivere : Pagina 76 di 78
Unità idattica N 29 Quadrilateri inscrittibili e circoscrittibili 77 I IB N N I + IB + N + N M BL M L M + BL + M + L Sommando membro a membro otteniamo B + B + Teorema inverso : Hp { B + B + Th { B circoscrittibile in una circonferenza orollario : Un rettangolo è inscrittibile Un rombo è circoscrittibile Un quadrato è inscrittibile e circoscrittibile. Poligoni regolari efinizione : Un poligono si dice regolare se è equilatero ed equiangolo. B Teorema : Se dividiamo una circonferenza in tre o più archi F uguali e congiungiamo successivamente i punti di O divisione, otteniamo un poligono regolare inscritto in quella circonferenza. E Pagina 77 di 78
78 Unità idattica N 29 Quadrilateri inscrittibili e circoscrittibili imostrazione : ividiamo la circonferenza in un numero qualsiasi ( nel nostro caso 6 ) di archi uguali mediante i punti, B,,,, E, F. ongiungendo successivamente tali punti otteniamo il poligono ( esagono ) BEF che vogliamo dimostrare essere regolare. Infatti : B B E EF F B B E EF F Inoltre : ˆ Bˆ ˆ ˆ Eˆ Fˆ in quanto angoli alla circonferenza che insistono su archi uguali. Il poligono BEF è regolare in quanto risulta essere equilatero ed equiangolo. Teorema : Se dividiamo una circonferenza in tre o più archi uguali e conduciamo le tangenti nei punti di divisione otteniamo un poligono regolare R F L M circoscritto alla circonferenza. ividiamo la circonferenza, ad esempio in 6 archi E O B uguali mediante i punti, B,,, E, F nei quali conduciamo le rette tangenti alla circonferenza. Q P N Otteniamo il poligono LMNPQR che voglio dimostrare essere regolare. I triangoli MB, BN, P, QE, ERF, FL sono triangoli isosceli fra loro uguali per avere : 1) le basi fra loro uguali in quanto corde che sottendono archi congruenti 2) gli angoli alla base uguali in quanto angoli alla circonferenza che insistono su archi uguali. Ne deduciamo che : L ˆ Mˆ Nˆ Pˆ Qˆ Rˆ Inoltre : LM MN NP PQ QR RL in quanto somma di segmenti uguali, che sono lati obliqui di triangoli isosceli uguali. Il poligono LMNPQR, essendo equilatero ed equiangolo è regolare. Pagina 78 di 78