matematica per le seconde

lorenzo pantieri matematica per le seconde degli istituti professionali www.ipscesena.it

Questo lavoro, scrit- to per gli alunni dell Istituto Versari-Macrelli di Cesena, spiega il programma di matematica degli Istituti professionali italiani. Ringrazio i Dirigenti scolastici Lorenza Prati e Mauro Tosi per aver sostenuto questo progetto, e i miei colleghi Silvia Bagnoli, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Giulia Degli Angeli, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni, Giuseppe Guarrasi, Gilda Mautone, Emanuela Montanari, Monica Morelli, Emanuele Parini, Enrico Petroncini, Manuela Pompili ed Elisabetta Turci per l aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un grazie altrettanto speciale va ai miei studenti, per i consigli durante la stesura di un opera che senza il loro contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio. Se avete idee su argomenti da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura che di sostanza (ed è probabile che ce ne siano parecchi, soprattutto del primo tipo, ma anche del secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare le opportune correzioni in versioni successive. Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo lavoro risultino di facile comprensione e quali invece si potrebbero spiegare meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per chiarire se si tratta di un incomprensione vostra o di uno sbaglio mio. È con questo spirito che ho scritto questo lavoro: spero che possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere. Lorenzo Pantieri Matematica per gli Istituti professionali Copyright c 05-07 lorenzo.pantieri@gmail.com Il frontespizio riproduce la litografia Relatività di Maurits Cornelis Escher e l incisione Tassellazione del piano con uccelli, dello stesso autore.

I N D I C E scomposizione dei polinomi. Raccoglimenti. Riconoscimento di prodotti notevoli 5.3 Trinomio speciale 7.4 Regola di Ruffini.5 MCD e mcm 5.6 Esercizi 7 frazioni algebriche 9. Condizioni di esistenza 9. Semplificazione 3.3 Operazioni 3.4 Espressioni 36.5 Esercizi 37 3 equazioni fratte 47 3. Risoluzione delle equazioni fratte 47 3. Formule inverse 53 3.3 Esercizi 54 4 geometria analitica 63 4. Piano cartesiano 63 4. Punti 64 4.3 Segmenti 65 4.4 Esercizi 7 5 sistemi lineari 75 5. Sistemi determinati, indeterminati, impossibili 76 5. Principi di equivalenza 77 5.3 Risoluzione dei sistemi lineari 78 5.4 Problemi che si risolvono con i sistemi 89 5.5 Esercizi 9 6 prove invalsi 05 6. Algebra 05 6. Geometria 0 6.3 Probabilità e statistica 5 6.4 Esercizi 8

S C O M P O S I Z I O N E D E I P O L I N O M I Definizione. Scomporre un polinomio in fattori significa scriverlo come prodotto di due o più polinomi; se poi ciascun polinomio di tale prodotto non è ulteriormente scomponibile, allora la scomposizione è in fattori irriducibili. Per esempio: perché sappiamo che ( + 3)( 3) = 9 allora una scomposizione del binomio 9 è ( + 3)( 3) perché sappiamo che ( + )( + 3) = + 5 + 6 allora una scomposizione del trinomio + 5 + 6 è ( + )( + 3) Polinomi come 9 e + 5 + 6 si dicono riducibili. Ci sono invece altri polinomi che non si possono scomporre, come per esempio + 9; questi polinomi si dicono irriducibili. Definizione. Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di altri polinomi, tutti di grado inferiore a quello dato. Si dice irriducibile in caso contrario. Le regole per eseguire la scomposizione non sono del tutto nuove perché in molti casi si tratta di leggere da destra verso sinistra le formule già note sul prodotto di polinomi e sui prodotti notevoli.. raccoglimenti Raccoglimento totale Per eseguire il raccoglimento a fattor comune (o raccoglimento totale) di un polinomio P si procede come segue: si calcola il MCD fra i monomi di P

scomposizione dei polinomi si scrive P come prodotto del MCD trovato per il polinomio che si ottiene dividendo ciascuno dei monomi di P per tale MCD Per esempio: a + ay = a( + y) 6a + 4ab = a(3a + b) Un raccoglimento di questo genere si può fare anche quando il fattore comune, anziché essere un monomio, è un polinomio. Per esempio, nel polinomio (a ) + y(a ) si può raccogliere il binomio (a ), ottenendo (a ) + y(a ) = (a )( + y) Dopo un raccoglimento a fattor comune, il numero di termini che si trovano all interno delle parentesi deve essere uguale al numero dei termini del polinomio. Per esempio: } 3 + {{ + } = ( } + {{ + } ) tre termini tre termini Esercizio. Scomponi (a + b) y(a + b) + (a + b). Soluzione. Il fattore comune è (a + b), quindi (a + b) y(a + b) + (a + b) = (a + b)( y + ) Esercizio. Scomponi (a ) + y(a ) + ( a). Soluzione. I primi due addendi hanno (a ) come fattore comune, ma nel terzo troviamo ( a). Conviene allora evidenziare dapprima il segno nell ultima parentesi: (a ) + y(a ) + ( a) = (a ) + y(a ) (a ) Il fattore comune è a. Raccogliendolo otteniamo: (a )( + y )

. raccoglimenti 3 Raccoglimento parziale Talvolta non esiste un fattore comune a tutti i termini da poter raccogliere, ma capita che ci siano dei fattori comuni solo a qualche termine. Per esempio, nel polinomio a }{{ + b } + ay + by }{{} i primi due termini hanno in comune il fattore, mentre gli ultimi due hanno in comune il fattore y. Possiamo allora eseguire dei raccoglimenti parziali mettendo in evidenza questi fattori comuni parziali: (a + b) + y(a + b) Quella che abbiamo ottenuto non è ancora una scomposizione del polinomio di partenza perché abbiamo una somma, ma ci siamo messi nelle condizioni di poter effettuare un raccoglimento totale, visto che (a + b) è un fattore comune ai due addendi. Eseguendo il raccoglimento atteniamo (a + b)( + y) che è la scomposizione cercata. Questo procedimento è applicabile tutte le volte che è possibile un successivo raccoglimento totale; non serve invece se non si riesce a mettere in evidenza un fattore comune. Esercizio 3. Scomponi y a + ay. Soluzione. Si può eseguire un raccoglimento parziale: y a + ay = ( y) a( y) = ( y)( a) }{{}}{{} Esercizio 4. Scomponi y a + az. Soluzione. Proviamo a eseguire un raccoglimento parziale: y a + az }{{}}{{} = ( y) a( z) Questa volta il raccoglimento, anche se eseguito correttamente, non è di alcuna utilità perché non ha messo in evidenza un fattore comune. Per scomporre il polinomio, sempre che sia possibile, occorre procedere per altra via.

4 scomposizione dei polinomi Esercizio 5. Scomponi a + ay + 3 + 3y. Soluzione. Il raccoglimento parziale si può fare in diversi modi. Possiamo raccogliere a fra i primi due monomi e 3 fra gli ultimi due: a + ay + 3 + 3y = a( + y) + 3( + y) = ( + y)(a + 3) }{{}}{{} Oppure possiamo raccogliere fra il primo e il terzo monomio, e y fra il secondo e il quarto: }{{} a +ay + }{{} 3 +3y = (a + 3) + y(a + 3) = (a + 3)( + y) Le due scomposizioni, ovviamente, coincidono. Talvolta si usa una combinazione tra il raccoglimento totale e quello parziale, come nell esempio seguente. Esercizio 6. Scomponi a + b + 4ay + 4by. Soluzione. Mettiamo in evidenza il fattore per tutto il polinomio: (a + b + ay + by) Raccogliamo fra i primi due termini all interno della parentesi e y fra gli ultimi due: (a }{{ + b } + ay + by }{{} ) = (a + b) + y(a + b) ] = (a + b)( + y) ] In definitiva, la scomposizione del polinomio è (a + b)( + y) in cui abbiamo eliminato le parentesi quadre perché superflue.

. riconoscimento di prodotti notevoli 5 Esercizio 7. Scomponi a + ay + az + b + by + bz. Soluzione. Non c è alcun fattore comune a tutto il polinomio. Proviamo a mettere in evidenza per gruppi di termini, evidenziando a tra i primi tre termini e b tra gli ultimi tre: a + ay + az + b + by + bz = a( + y + z) + b( + y + z) = ( + y + z)(a + b) }{{}}{{} Gli esempi precedenti ci permettono di fare alcune considerazioni sui modi di raccoglimento totale e parziale. Innanzitutto occorre verificare se c è la possibilità di un raccoglimento totale. Se il polinomio ottenuto dopo il raccoglimento lo permette, bisogna raccogliere parzialmente per gruppi di monomi di uguale numerosità: a due a due, a tre a tre, e così via. La scelta dei termini fra cui raccogliere a fattor parziale non segue regole precise se non quella di cercare di arrivare alla possibilità di un successivo raccoglimento totale; sarà l esperienza via via maturata a guidarti nelle scelte. Può capitare che un raccoglimento parziale fatto in un certo modo non permetta di fare la scomposizione; prima di abbandonare questo metodo conviene tuttavia provare a eseguire raccoglimenti in un altro modo.. riconoscimento di prodotti notevoli Le formule che abbiamo imparato sui prodotti notevoli si possono anche leggere da destra verso sinistra per individuare i polinomi da cui provengono tali espressioni e rendere quindi possibile la loro scomposizione. Quadrato di un binomio Ricordiamo le formule: a + ab + b = (a + b) a ab + b = (a b) Se un polinomio è costituito da tre addendi, due dei quali sono quadrati di monomi o di altri polinomi, è quindi possibile che tale trinomio sia il quadrato di un binomio. Per stabilirlo bisogna verificare che il terzo termine sia proprio il doppio prodotto delle basi considerate. Se il doppio prodotto ha segno +, interporremo il segno + fra le basi, se ha segno interporremo il segno.

6 scomposizione dei polinomi Esercizio 8. Scomponi + 6 + 9. Soluzione. Il primo e il terzo termine sono quadrati, rispettivamente di e di 3, e il secondo termine è il doppio prodotto degli stessi monomi ( 3 = 6). + 6 + 9 Quindi possiamo scrivere: () (3) + 6 + 9 = ( + 3) Esercizio 9. Scomponi +. Soluzione. Il primo e il terzo termine sono quadrati, rispettivamente di e di, e il secondo termine è il doppio prodotto degli stessi monomi, quindi: + = ( ) Esercizio 0. Scomponi 9a ab + 4b. Soluzione. Il primo e il terzo termine sono quadrati, rispettivamente di 3a e di b, e il secondo termine è il doppio prodotto degli stessi monomi, quindi: 9a ab + 4b = (3a b) Differenza di quadrati Ricordiamo la formula: a b = (a + b)(a b) Se un binomio è costituito dalla differenza di due monomi che sono dei quadrati, per scomporlo basta quindi individuare le basi dei due quadrati e scrivere il prodotto della loro somma per la loro differenza.

.3 trinomio speciale 7 Esercizio. Scomponi 9 6. Soluzione. I due termini sono i quadrati rispettivamente di 3 e di 4. 9 6 (3) 4 Quindi: 9 6 = (3 + 4)(3 4) Esercizio. Scomponi (a 3) b. Soluzione. Il due termini sono i quadrati rispettivamente di a 3 e di b, quindi: (a 3) b = (a 3) + b] (a 3) b] = (a 3 + b)(a 3 b).3 trinomio speciale Supponiamo di dover scomporre il trinomio di secondo grado + 5 + 6 Per scomporlo bisogna cercare i due numeri interi che hanno per somma il coefficiente del termine di primo grado (cioè 5) e per prodotto il termine noto (cioè 6). Questi due numeri sono e 3. Allora si può scrivere: + 5 + 6 = ( + )( + 3) che è la scomposizione cercata. Questa procedura si può applicare a tutti i polinomi di secondo grado della forma + s + p tali che il coefficiente del termine di secondo grado è uguale a il coefficiente del termine di primo grado s e il termine noto p sono numeri interi s si può esprimere come somma di due numeri interi a e b (s = a + b)

8 scomposizione dei polinomi p è uguale al prodotto degli stessi due numeri a e b (p = a b) Un trinomio di questo tipo si dice trinomio speciale (o caratteristico). Per scomporlo basta individuare i due numeri interi a e b tali che s = a + b e p = a b, e scrivere che: + s + p = + (a + b) + a b = ( + a)( + b) Per cercare i due numeri a e b conviene partire dal loro prodotto (il termine noto del trinomio), scrivere tutte le coppie di numeri interi che danno quel prodotto e cercare fra queste coppie quella che ha per somma il coefficiente del termine di primo grado. Esercizio 3. Scomponi + 6 + 8. Soluzione. In questo caso s = 6 e p = 8. A meno del segno, il termine noto 8 si può scrivere come prodotto di due numeri interi solo come: 8 4 Poiché il prodotto è positivo, i numeri cercati sono concordi; poiché la somma è positiva, questi numeri sono entrambi positivi. I numeri cercati sono quindi e 4 (s = a + b = + 4 = 6, p = a b = 4 = 8). Quindi il trinomio si scompone in: + 6 + 8 = ( + )( + 4) Esercizio 4. Scomponi 5 + 6. Soluzione. In questo caso s = 5 e p = 6. A meno del segno, il termine noto 6 si può scrivere come prodotto di due numeri interi solo come: 6 3 Poiché il prodotto è positivo, i numeri cercati sono concordi; poiché la somma è negativa, questi numeri sono entrambi negativi. I numeri cercati sono quindi e 3, per cui: 5 + 6 = ( )( 3)

.3 trinomio speciale 9 Esercizio 5. Scomponi + 3 0. Soluzione. In questo caso s = 3 e p = 0. A meno del segno, il termine noto 0 si può scrivere come prodotto di due numeri interi solo come: 0 5 Poiché il prodotto è negativo, i numeri cercati sono discordi; poiché la somma è positiva, il valore assoluto del numero positivo è più grande del valore assoluto del numero negativo. I numeri cercati sono quindi e 5, per cui: + 3 0 = ( )( + 5) Esercizio 6. Scomponi 3. Soluzione. In questo caso s = e p = 3. A meno del segno, il termine noto 3 si può scrivere come prodotto di due numeri interi solo come: 3 Poiché il prodotto è negativo, i numeri cercati sono discordi; poiché la somma è negativa, il valore assoluto del numero negativo è più grande del valore assoluto del numero positivo. I numeri cercati sono quindi 3 e. Quindi il trinomio si scompone in: 3 = ( 3)( + ) Esercizio 7. Scomponi + +. Soluzione. In questo caso s = p =. Poiché non esistono due numeri interi che soddisfano le condizioni richieste, il trinomio non è un trinomio speciale. In effetti, si dimostra che il trinomio è irriducibile. Trinomi riconducibili a trinomi speciali In alcuni casi si può applicare il metodo per scomporre un trinomio speciale anche quando il trinomio non è di secondo grado.

0 scomposizione dei polinomi Esercizio 8. Scomponi 4 5 + 4. Soluzione. Facciamo la sostituzione = t Il polinomio P assegnato diventa t 5t + 4 che è un trinomio speciale: t 5t + 4 = (t 4)(t ) Ritorniamo all incognita ponendo t = : P() = ( 4)( ) I polinomi 4 e sono entrambi differenze di quadrati: P() = ( 4) ( ) = ( )( + )( )( + ) che è la scomposizione cercata. Esercizio 9. Scomponi 4 0 + 9 = 0. Soluzione. Con la sostituzione = t il polinomio P assegnato diventa t 0t + 9 che è un trinomio speciale: t 0t + 9 = (t 9)(t ) Ritorniamo all incognita ponendo t = : P() = ( 9)( ) I polinomi 9 e sono entrambi differenze di quadrati: P() = ( 9) ( ) = ( 3)( + 3)( )( + ) che è la scomposizione cercata.

.4 regola di ruffini Esercizio 0. Scomponi 4 + 5 + 6. Soluzione. Con la sostituzione = t il polinomio P assegnato diventa che è un trinomio speciale: t + 5t + 6 t + 5t + 6 = (t + )(t + 3) Ritorniamo all incognita ponendo t = : P() = ( + )( + 3) che non è ulteriormente scomponibile, per cui quella appena scritta è la scomposizione cercata..4 regola di ruffini Quando la scomposizione di un polinomio non si può fare con uno dei metodi precedenti, l unica cosa che rimane è la regola di Ruffini. Dato un polinomio P() di grado n, se riusciamo a trovare un numero a per cui P(a) = 0, allora possiamo scomporre P() = ( a) Q() dove Q() ha grado n. Il problema di scomporre un polinomio P() si riconduce quindi a quello della ricerca di un numero a che sostituito alla renda nullo il polinomio. Un numero di questo tipo si dice anche zero del polinomio. Il numero a non va cercato del tutto a caso. Se il polinomio è a coefficienti interi e il coefficiente di grado massimo è uguale a, possiamo restringere il campo di ricerca di questo numero: gli zeri interi del polinomio vanno cercati tra i divisori del termine noto. Illustriamo la regola di Ruffini con un esempio. Esercizio. Scomponi 3 6 + 6. Soluzione. Gli zeri interi di P() sono da ricercare fra i divisori del termine noto 6: ± ± ± 3 ± 6

scomposizione dei polinomi Sostituiamo questi numeri in P() finché ne troviamo uno che lo annulla. Per = si ha: P() = 3 6 + 6 = 6 + 6 = 0 quindi il polinomio si può scomporre come P() = ( )Q(), con Q() polinomio di secondo grado. Disegniamo il seguente schema: scriviamo i coefficienti di P(), ordinato secondo le potenze decrescenti della variabile. Se manca un coefficiente, occorre mettere 0. L ultimo coefficiente è messo esternamente alla griglia. Nell angolo a sinistra dello schema si pone lo zero del polinomio trovato, in questo caso. Coefficienti numerici del polinomio P() da scomporre Zero di P() 6 6 Termine noto di P() Il primo coefficiente si riporta inalterato nella parte sottostante: 6 6 Moltiplichiamo lo zero del polinomio per il coefficiente appena trascritto e riportiamo il risultato sotto il secondo coefficiente: = 6 6 Sommiamo i due termini appena incolonnati: 6 + = 5 6 6 5 Moltiplichiamo lo zero del polinomio per la somma ottenuta: ( 5) = 5

.4 regola di ruffini 3 6 6 5 5 Sommiamo i due termini appena incolonnati: 5 = 6 6 6 5 5 6 Moltiplichiamo lo zero del polinomio per la somma appena ottenuta: 6 = 6 6 6 5 6 5 6 0 Sommiamo i due termini appena incolonnati: 6 + 6 = 0 6 6 5 6 5 6 0 coefficienti di Q() qui deve sempre venire 0 I numeri che abbiamo ottenuto nell ultima riga, cioè, 5 e 6, sono i coefficienti del polinomio Q() = 5 + 6. Possiamo allora scrivere: P() = ( )( 5 + 6) Il polinomio 5 + 6 è un trinomio speciale 5 + 6 = ( )( 3) In definitiva: P() = ( )( )( 3)

4 scomposizione dei polinomi Esercizio. Scomponi 3 7 6. Soluzione. Gli zeri interi di P() sono da ricercare fra i divisori divisori di 6: ± ± ± 3 ± 6 Per = si ha: Per = si ha: P() = 3 7 6 = 7 6 0 P( ) = ( ) 3 7 ( ) 6 = + 7 6 = 0 quindi P() = ( )]Q() = ( + )Q(), con Q() polinomio di secondo grado. Nota lo 0 nella prima riga, in corrispondenza del termine di secondo grado mancante in P. 0 7 6 6 6 0 Quindi: P() = ( + )( 6) Il polinomio 6 è un trinomio speciale: 6 = ( 3)( + ) In definitiva: P() = ( + )( 3)( + ) Esercizio 3. Scomponi 3 8. Soluzione. Per = si ha: P() = 3 8 = 8 8 = 0 quindi P() = ( )Q(), con Q() polinomio di secondo grado. Nota i due zeri nella prima riga, in corrispondenza dei termini di secondo e di primo grado mancanti in P.

.5 mcd e mcm 5 0 0 8 4 8 4 0 Quindi: P() = 3 8 = ( )( + + 4) Si dimostra che + + 4 è irriducibile. In definitiva, quella appena scritta è la scomposizione richiesta. sintesi sulla scomposizione Quando si deve scomporre un polinomio bisogna guardare bene la sua forma per capire quale, fra i metodi che abbiamo visto, è il più adatto. In generale, conviene seguire una procedura di questo tipo: si verifica se si può eseguire un raccoglimento totale si verifica se si può eseguire un raccoglimento parziale si verifica se il polinomio è lo sviluppo di un prodotto notevole (quadrato di un binomio se ha tre termini o differenza di quadrati se ne ha due) si verifica se il polinomio è un trinomio speciale si stabilisce se è possibile scomporlo con la regola di Ruffini si usa una combinazione dei metodi precedenti.5 mcd e mcm Quando eseguiamo la divisione tra due numeri interi a e b, diciamo che a è divisibile per b (o che a è multiplo di b) se esiste un intero q tale che a = qb. I numeri a, b e q si dicono rispettivamente dividendo, divisore e quoziente. Allo stesso modo, dati i polinomi A() e B(), diremo che A() è divisibile per B() (o che A è multiplo di B) se esiste un polinomio Q() tale che A() = Q()B(). I polinomi A(), B() e Q() si dicono rispettivamente dividendo, divisore e quoziente. Se due o più polinomi hanno uno stesso polinomio divisore, si dice che esso è un divisore comune a tali polinomi. Fra tutti i divisori comuni a due o più polinomi si chiama massimo comun divisore (MCD) quello di grado più grande.

6 scomposizione dei polinomi Definizione 3. Il massimo comune divisore di due polinomi A e B, indicato con MCD(A, B), è il polinomio di grado più grande fra tutti i divisori comuni ad A e B. Per determinare il MCD fra due o più polinomi: si scompongono i polinomi in fattori irriducibili si scrive il prodotto dei soli fattori comuni con l esponente più piccolo con cui compaiono Se un polinomio è divisibile per altri polinomi, si dice che esso è multiplo comune a tali polinomi. Due o più polinomi possono avere infiniti multipli comuni; quello di grado più piccolo si chiama minimo comune multiplo (mcm). Definizione 4. Il minimo comune multiplo di due polinomi A e B, indicato con mcm(a, B), è il polinomio di grado più piccolo tra tutti i multipli comuni diversi da zero di A e di B. Per determinare il mcm fra due o più polinomi: si scompongono i polinomi in fattori irriducibili si scrive il prodotto dei fattori comuni e non comuni con l esponente più grande con cui compaiono Esercizio 4. Determina MCD e mcm fra i seguenti polinomi: 4 4 6 + + 6 Soluzione. Scomponiamo in fattori i due polinomi: 4 4 = 4( ) = 4( + )( ) 6 + + 6 = 6( + + ) = 6( + ) Allora: MCD = ( + ) mcm = ( + ) ( )

.6 esercizi 7 Esercizio 5. Determina MCD e mcm fra i seguenti polinomi: 8a + 6ab + 8b 4a 4 4a b a + ab Soluzione. Scomponiamo in fattori i tre polinomi: 8a + 6ab + 8b = 8(a + ab + b ) = 8(a + b) 4a 4 4a b = 4a (a b ) = 4a (a b)(a + b) a + ab = a(a + b) Allora: MCD = 4(a + b) mcm = 4a (a + b) (a b) Definizione 5. Due polinomi A e B si dicono primi tra loro se non hanno divisori comuni, a parte le costanti. Per esempio: e 4 sono primi tra loro, perché non hanno divisori comuni, essendo = ( + )( ) 4 = ( + )( ) 9 e 6 + 9 non sono primi tra loro, perché hanno 3 come divisore comune: 9 = ( + 3)( 3) 6 + 9 = ( 3).6 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Scomponi in fattori raccogliendo a fattor comune. 3y + 6 3( + y)] b 3 + 3b b(b + 3) ] 3 3y y 3y( 4y)] 4 3 a ( a) ] 5 9a 3 6a 3a (3a ) ] 6 5 5 5( 3)] 7 8 y y 6y(3 y) ] 8 4 y (4y ) ]

8 scomposizione dei polinomi 9 5 3 (5 ) ] 0 3 ( )( + )] 3a + 3 3(a + )] a b 4a b a b(b ) ] 3 a 4 a 3 a a (a + a + ) ] 4 a( + y) b( + y) ( + y)(a b)] 5 ( 3y) y(3y ) (y + )( 3y)] Scomponi in fattori con il raccoglimento parziale. 6 y + a ay ( y)(a + )] 7 3a 6a + (3a + )( )] 8 a + b ay by (a + b)( y)] 9 3a 9a + 3 ( 3)(3a )] 0 a + a + b + b ( + )(a + b)] a 4a + ( )(a )] 3 + ( )( + ) ] 3 3 + ( )( + ) ] 4 3 + + + ( + )( + ) ] 5 b b y + y ( y)(b + ) ] 6 a 3 + a + a + (a + )(a + ) ] 7 a + a a (a + )(a )] 8 b b + by y (b )(b + y)] 9 a a + 8b 4ab ( a)(a + 4b)] 30 3 + + + ( + )( + ) ] 3 3 3 + 9 3 (3 )( + 3) ] Scomponi in fattori raccogliendo prima a fattor comune e poi parziale. 3 3 3 3 + 3 3 3( )( + ) ] 33 a 7 + 4a 3 a 5 8a a(a 4 + 4)(a ) ] 34 3 y + y + y + y y( + )( + ) ] 35 b + b y b by b( + y)(b )] 36 b b by + b y b(b )( + y)] 37 6 + 7 + 0 + 6 ( + )( + 6) ] 38 3 + a a ( + )( a)] 39 b + 4b a 4a ( + )(b a)] 40 4 + 3 ( )( + ) ] 4 3 4 + 9 6 3 8 3( + 3)( ) ] 4 3 4 3 3 + 3 3 3( )( + ) ] Scomponi in fattori riconoscendo il quadrato di un binomio. 43 a a + 44 + 4 + 4 45 y 6y + 9 46 6t + 8t + 47 4 + + 4 48 9a 6a + 49 4 + 9 (a ) ] ( + ) ] (y 3) ] (4t + ) ] ( + ) ] (3a ) ] ( 3) ] 50 4 a + ab + b 5 9 + 4 + 5 53 4 9 a4 4a + 9 4 3 + 9 ( ) ] a + b (3 + ) ] ( ) ] 3 a 3 ( ) ] 3

.6 esercizi 9 54 4 + 4y + y ( + y) ] 55 a 4 + 36a + a 3 a (a + 6) ] 56 6y + 9y ( 3y) ] 57 5 + 0 + ( + 5) ] 58 5 0 + ( 5) ] 59 00 + a b 4 + 0ab (0 + ab ) ] 60 9 a + ab + b 3 ( ) ] 3 a + b 6 5a 0a + (5a ) ] 6 3a ab + b 3(a b) ] 63 5 + 4 4 + 4 3 3 ( + ) ] 64 y 3 y + 8 y y(3 y) ] Scomponi i seguenti polinomi come differenza di quadrati. 65 a 5b (a + 5b)(a 5b)] 66 6 y (4 y)(4 + y)] 67 5 9 (5 3)(5 + 3)] 68 4a 4 9b (a 3b)(a + 3b) ] 69 6y ( 4y)( + 4y)] 70 44 9y 9(4 y)(4 + y)] 7 6a 4 8b (4a 9b)(4a + 9b) ] 7 a b 4 c (ab c)(ab + c) ] 73 4 6 9y 4 ( 3 3y )( 3 + 3y ) ] 74 + a (a )(a + )] a ( 75 4 y a 9 y )( a 3 + y )] 3 76 a 50 (a 5)(a + 5)] 77 4a + b (b a)(b + a)] 78 a b 4 + 49 (7 ab )(7 + ab ) ] 79 a 4 6 (a )(a + )(a + 4) ] 80 6a 9b (4a 3b)(4a + 3b)] 8 9 4 (3 )(3 + )] ( )( )] 8 4 + 83 a 9b (a + 3b)(a 3b)] ( )( )] 5 5 5 84 6 a 4 a 4 a + 85 6 + 5 (5 4)(5 + 4)] 86 4 y 8 ( y )( + y )( + y 4 ) ] 87 (a ) b (a b)(a + b)] Scomponi in fattori i seguenti trinomi speciali. 88 5 36 ( 9)( + 4)] 89 7 + 6 ( 6)( )] 90 3 + ( )( )] 9 + 6 + 8 ( + )( + 4)] 9 + 7 + ( + 3)( + 4)] 93 3 ( 3)( + )] 94 + 9 + 8 ( + 3)( + 6)] 95 5 + 6 ( 3)( )] 96 8 9 ( 9)( + )] 97 7 + ( 4)( 3)] 98 6 + 8 ( 4)( )] 99 3 4 ( 4)( + )] 00 + 5 4 ( )( + 7)] 0 + 4 ( )( + 6)] 0 3 + ( )( )] 03 + 3 0 ( )( + 5)] 04 + 3 + ( + )( + )] 05 + 35 ( 5)( + 7)] 06 + 5 36 ( 4)( + 9)] 07 + 8 + 7 ( + )( + 7)] 08 0 + 4 ( 6)( 4)] 09 + 0 ( 4)( + 5)] 0 + 4 45 ( 5)( + 9)] 4 ( 7)( + 3)]

0 scomposizione dei polinomi + 4 ( 3)( + 7)] 3 0 + ( 7)( 3)] Scomponi in fattori i seguenti polinomi con la regola di Ruffini. 4 3 4 + + 6 ( + )( )( 3)] 6 3 5 + 8 4 ( )( ) ] 5 3 + 5 + 3 ( ) ( + 3) ] 7 3t 3 t t + 4 (3t )(t )(t + )] Scomponi in fattori i seguenti polinomi con i metodi che conosci. 8 4 y 4 + y ( )(4 y)] 9 3 + 3 4 ( 3)( )] 0 6 4y + 4y 6( y) ] 8a 6a 3 b a(9 4ab)(9 + 4ab)] 4 45 ( 9)( + 5)] 3 y 3 5y 4y y(y 8)(y + 3)] 4 a 3 + 4a + 4a a(a + ) ] 5 8ab a 3 a(b a)(b + a)] 6 + ( ) ] 7 a 4 + b 4 a b (a b) (a + b) ] 8 + 3 ( 8)( 4)] 9 8 + 5 ( 5)( 3)] 30 3 5 + 6 ( 3)( )] 3 4a + 4a + (a + ) ] 3 4 y 4y + (y ) ] 33 3 + 9 9 ( + )( + 3)( 3)] 34 a + 6a + 9 (a + 3) ] 35 y 6y 4y(3 4y)] 36 a ay a( y)( + y)] 37 7t 8 7(t )(t + )] 38 + 8 + 8 ( + ) ] 39 5y 4 0y + (5y ) ] 40 a + a + 36 (a + 6) ] 4 5 4 5 y 4 5 ( y )( + y ) ] Scomponi in fattori i seguenti polinomi con i metodi che conosci. 66 ay + 3 a 3 y 4 + 0y + 5y ( + 5y) ] 43 + 6 40 ( 4)( + 0)] 44 6 7 ( 9)( + 3)] 45 a + b 3ay 3by (a + b)( 3y)] 46 a + 4ay + 4ay a( + y) ] 47 6 3 y y + 6y 3 6y( y) ] 48 + 3 8 ( 4)( + 7)] 49 + 4 ( 4)( + 6)] 50 8a 4 b b 3 b(3a b)(3a + b) ] 5 9 + 0 ( 5)( 4)] 5 3a 50ab a(4 5b)(4 + 5b)] 53 4y y + 9 (y 3) ] 54 + 4 45 ( + 9)( 5)] 55 a + 8ay + 8ay a( + y) ] 56 a + ay + 3ay 3a( + y) ] 57 a + 4a 3 (a 4)(a + 8)] 58 9y + 6y + (3y + ) ] 59 9a 9 9(a )(a + )] 60 + 9 0 ( )( + 0)] 6 30 ( 6)( + 5)] 6 3 + 4 + 0 ( + )( + 5)] 63 + + 4 ( + 3)( + 8)] 64 + 8 + ( + )( + 6)] 65 5 + 4 ( 4)( )] (a )(y 3 ) ] 67 5a( + 3y) 3( + 3y) ( + 3y)(5a 3)] 68 3y 3 6y ay + a (y )(3y a) ]

69 ( ) 3a ( ).6 esercizi ( )( 3a ] 70 3( + y) + 5 + 5y ( + y)(3 + 3y + 5)] 7 b + b y + a + ay ( + y)(a + b ) ] 7 b b y + a ay ( y)(b + a) ] 73 a + b + a b (a + b + )( )] 74 a 3 a b ab + b 3 (a b )(a b) ] 75 0 3 5y + 6y (5 6)( y) ] 76 a 5 6ab 4 a(a b)(a + b)(a + 4b ) ] 77 6y 4 z 4 (y z)(y + z)(4y + z ) ] 78 a 8 b 8 (a b)(a + b)(a + b )(a 4 + b 4 ) ] 79 a 3 + a 4a 4 (a + )(a )(a + )] 80 6a 3 a 9a 6 (a )(a + 3)(3a + )] 8 a + b 3ay 3by (a + b)( 3y)] 8 4a 3 + 8a a (a + )(a )(a + )] 83 3 + 4 3 6 ( 3)( + ) ] 84 8a 4 64a b a (9a 8b)(9a + 8b) ] 85 3 + ( )( + )( + )] 86 3 5 7y 4 3( 3y )( + 3y ) ] 87 6ab 3 + aby y (ab )(3 + y)] 88 8a 4 b 4 (3a b)(3a + b)(9a + b ) ] 89 3a 3 + a 3a (a + )( 3a ) ] 90 6a 5 4ab 4 6a(a b )(a + b ) ] 9 3 + 3 6 8 ( )( + )( + 4)] 9 50a 4 b 3 b 3 b 3 (5a )(5a + ) ] 93 36ab 49a 3 b 3 ab(6 7ab)(6 + 7ab)] 94 a b 5b + a 5 (a 5)(a + 5)(b + )] 95 a 8 (a )(a + )(a + )(a 4 + ) ] 96 50a 3 b 8a 5 a 3 (5b a)(5b + a) ] Calcola il MCD e il mcm dei seguenti gruppi di polinomi. 97 a + 3 5a + 5 a + 6a + 9 a + 3, 5(a + 3) ] 98 a b ab a a b a b, a(a b)(a + b)] 99 b + a b a b 4a, (b a)(b + a)] 00 a 9 3a a 3a + a, a(a 3)(a + 3)] 0 + y + y y ( + y) ( y) + y, ( y)( + y) ]

scomposizione dei polinomi 0 a a 9 a + a 6, (a 3)(a )(a + 3)] 03 +, ( ) ( + ) ] 04 3 +, ( )( )] 05 a b + a + ab b, (a )(a + )(b + )] 06 3 4 9, ( 3)( + 3)] 07 a a + a 3a + a a, (a ) (a ) ] 08 3 3, (3 )] 09 a a a + a a, a(a )(a + )] 0 4 3 +, ( )( )( + )] 4 + 4 4 3 6, 3( ) ( + ) ] Indica la risposta corretta. a. Quale dei seguenti polinomi è scomposto in fattori? A a + ay B ( ) C ( 3) D a(a ) + a b. Il polinomio 0a 4 0a 3 non è divisibile per uno dei seguenti monomi; quale? A a B 5a C 0a 3 D 6a 4 c. Quale dei seguenti polinomi è irriducibile? A 4 B + 4 C 4 + 4 D 4 + 4 + 4 d. Quale dei seguenti trinomi si scompone in ( + 7)( )? A 5 4 B + 5 + 4 C 5 + 4 D + 5 4 e. Quale delle seguenti è la scomposizione del binomio + y? A ( + y)( y) B (y )(y + ) C ( + y)( y) D ( + y)( y) f. L espressione 56 55 è uguale a: A 508 B 509 C 50 D 5 g. Quale dei seguenti è un fattore del polinomio a 3 + 3a + a + 3? A a + B a + 3 C a + 4 D a + 5

.6 esercizi 3 h. Se 3 è uno zero del polinomio P(), allora nella scomposizione di P() compare certamente il fattore: A 3 B + 3 C 9 D + 9 i. Quale delle seguenti è la scomposizione in fattori dell espressione che corrisponde alla seguente descrizione verbale: «sottrai dal numero 7 il triplo del quadrato di»? A 3( 3)( + 3) B (3 9)(3 + 9) C 3(3 + )(3 ) D 3(3 )(3 + ) j. Sia a > 0. L area di un quadrato è data dall espressione 00a + 40a + 4. Quale dei seguenti binomi esprime la lunghezza del lato del quadrato? A 0a + B a + 0 C 0a + 4 D 4a + 0 Due risposte A, tre B, una C e quattro D] 3 Indica la risposta corretta. a. Quale dei seguenti trinomi non è il quadrato di un binomio? A 4 4 + B C 5 + 0 + D 4 + + 9 b. Quale dei seguenti polinomi è il quadrato di un binomio? A 5 + 6 B + + C 6 + 9 D 3 + + + c. Per quale dei seguenti polinomi = non è uno zero? A 5 + 6 B 4 + 4 C 3 8 D d. Qual è la scomposizione del trinomio 7 + 0? A ( + )( + 5) B ( + )( 5) C ( )( + 5) D ( )( 5) e. Un polinomio A() di grado 0 è divisibile per un polinomio B() di grado 5. Qual è il grado per polinomio quoziente? A B 5 C 0 D 50 f. Quale delle seguenti è la scomposizione in fattori dell espressione che corrisponde alla seguente descrizione verbale: «aggiungi 6 al quadrato di, quindi sottrai dalla somma ottenuta il doppio del quadruplo di»?

4 scomposizione dei polinomi A ( 4)( ) B ( + 4) C ( )( + 4) D ( 4) g. Qual è il quoziente della divisione di (a + 3) 3 per a + 3? A 4a + 6a + 9 B 4a + 6a 9 C 4a + a + 9 D 4a 6a + 9 h. Quale dei seguenti polinomi si scompone in (a + )(a 3)? A a 3 3a + a 3 B a 3 + 3a a + 3 C a 3 + 3a + a + 3 D a 3 3a a + 3 i. Qual è la scomposizione in fattori dell espressione 3( + ) ( + )( )? A ( + )( 4) B ( )( 4) C ( )( + 4) D ( + )(4 ) j. Sia > 0. Un rettangolo ha area uguale a 5 + 0 e la lunghezza della base è 5. Qual è il perimetro del rettangolo? A 4 + 0 B 6 + 8 C 8 + 0 D + 8 4 Indica la risposta corretta. Una risposta A, due B, due C e cinque D] a. Qual è la scomposizione del trinomio 3 y + y? A 3( + y) B ( y) C 3( y) D 3( y) b. Il polinomio 63 si scompone in: A ( + 7)( + 8) B ( + 7)( 9) C ( 7)( 9) D ( + 5)( 9) c. Il polinomio (a )y + a si scompone in: A (a + )(y + ) B (a + )(y ) C (a )(y + ) D (a )(y ) d. Il polinomio (a ) (a ) + si scompone in: A (a ) B (a + ) C (a ) D (a + ) e. Il polinomio 5 si scompone in: A ( + 5)( + 3) B ( + 5)( 3) C ( 5)( + 3) D ( 5)( 3)

.6 esercizi 5 f. Il polinomio 4a a + 6ab 3b si scompone in: A (a + )(a + 3b) B (a + )(a 3b) C (a )(a + 3b) D (a )(a 3b) g. Qual è la scomposizione del binomio 5 4y? A (5 + y)(5 + y) B ( 5y)(5 + y) C (5 y)(5 + y) D (5 y)(5 y) h. Il polinomio 6 y si scompone in: A ( 3 y + )( 3 y ) B ( 3 y + ) C ( 3 y ) D (y 3 )(y 3 + ) i. Il polinomio 4 si scompone in: A ( + )( + )( ) B ( + ) ( + )( ) C ( + ) D ( + ) ( ) j. Il polinomio 4a + 9 a si scompone in: A (a 3) B (a + 3) C (a 3)(a + 3) D (3a ) Tre risposte A, una B, cinque C e una D] 5 Indica la risposta corretta. a. Il polinomio 4 0 si scompone in: A ( + 5)( + 4) B ( + 5)( 4) C ( 5)( + 4) D ( 5)( 4) b. Il polinomio a + b ay by + a + b si scompone in: A (a + b)( + y + ) B (a + b)( y + ) C (a b)( + y + ) D (a b)( y + ) c. Il polinomio 5 + 6 40 si scompone in:

6 scomposizione dei polinomi A (5 + 4) B (5 4) C (5 + 4)(5 4) D (4 5) d. Il polinomio a 3 4a + a si scompone in: A a(a ) B a(a + ) C a(a ) D (a + )(a ) e. Il polinomio a + a + 3 si scompone in: A (a + 4)(a + 8) B (a + 4)(a 8) C (a 4)(a + 8) D (a 4)(a 8) f. Il polinomio 5 6 si scompone in: A ( + )( + 6) B ( + )( 6) C ( )( + 6) D ( )( 6) g. Il polinomio a 4 + 7a + si scompone in: A (a + 3)(a + 4) B (a + 3)(a 4) C (a 3)(a + 4) D (a 3)(a 4) h. Il polinomio 3 + si scompone in: A ( + )( ) B ( )( + ) C ( )( ) D ( ) 3 i. Il polinomio 3 8 si scompone in: A ( + )( + 4) B ( )( + 4) C ( + )( 4) D ( )( 4) j. Il polinomio 4 3 si scompone in: A ( + )( + ) B ( + )( ) C ( ) D ( + )( ) 6 Indica la risposta corretta. a. Il polinomio 4 + 4 45 si scompone in: Tre risposte A, quattro B, due C e una D] A ( + 5)( + 9) B ( + 5)( 9) C ( 5)( + 9) D ( 5)( 9)

.6 esercizi 7 b. Il polinomio a + a si scompone in: A (a + ) B (a ) C (a + ) D (a ) c. Il polinomio ( 3) 4( 3) si scompone in: A ( + 3)( + 7) B ( + 3)( 7) C ( 3)( + 7) D ( 3)( 7) d. Il polinomio 4(a 5b) a si scompone in: A (a + 0b)(3a + 0b) B (a + 0b)(3a 0b) C (a 0b)(3a + 0b) D (a 0b)(3a 0b) e. Una sola di queste frasi definisce il massimo comune divisore tra più polinomi. Quale? A È il polinomio di grado maggiore tra quelli che dividono i polinomi dati B C D È il polinomio maggiore tra quelli che dividono i polinomi dati È il polinomio di grado maggiore tra quelli divisibili per i polinomi dati È il polinomio maggiore tra quelli divisibili per i polinomi dati f. Determina il massimo comune divisore tra i polinomi a ab a 3 + a b ab b 3 a b + b 3 ab A B ab a b C ab(a b) (a + b) D ab(a b ) g. Determina il minimo comune multiplo tra i polinomi a ab a 3 + a b ab b 3 a b + b 3 ab A B ab a b C ab(a b) (a + b) D ab(a b ) h. Determina il massimo comune divisore tra i polinomi 4a 3 b 3 + 8a b 4 6a + b 8ay 36by 8a 5 + 3a 4 b + 3a 3 b A 4a 3 b 3 (a + b) ( 3y) B (a + b) C (a + b) D (a b)

8 scomposizione dei polinomi i. Determina il minimo comune multiplo tra i polinomi + y + y y y + y A y C ( y) ( + y) B 3 y 3 D ( + y) ( y) j. Il polinomio 7 + si scompone in: A ( + 3)( + 4) B ( + 3)( 4) C ( 3)( + 4) D ( 3)( 4) Una risposta A, una B, tre C e cinque D]

F R A Z I O N I A L G E B R I C H E Il quoziente fra due monomi o fra due polinomi non sempre si può esprimere come un monomio o un polinomio. Per esempio: a b + + non sono esprimibili mediante polinomi. In casi come questo si parla di frazione algebrica. Definizione 6. Una frazione algebrica è un espressione del tipo A (si scrive B anche A/B) che esprime il quoziente di due polinomi A e B, con B diverso dal polinomio nullo. I polinomi A e B si chiamano termini della frazione algebrica: precisamente A si chiama numeratore e B denominatore. Le espressioni, a b e + sono dunque frazioni algebriche in senso proprio. Tuttavia anche i monomi e i polinomi si possono considerare frazioni algebriche il cui denominatore è uguale a. Questa interpretazione, analoga a quella che abbiamo dato per le frazioni numeriche, ci consente di stabilire una relazione di inclusione fra gli insiemi delle frazioni algebriche, dei polinomi e dei monomi (figura ) che ci permetterà di eseguire le operazioni fondamentali fra una frazione e un polinomio o un monomio. Frazioni algebriche Polinomi Monomi Figura : Insiemi delle frazioni algebriche, dei polinomi e dei monomi. condizioni di esistenza Dal momento che una frazione algebrica rappresenta un quoziente, essa è definita solo in corrispondenza dei valori delle variabili per cui il denominatore è diverso da zero. Per esempio, consideriamo la frazione algebrica

30 frazioni algebriche Essa non è definita quando = : se sostituiamo al posto di otteniamo = 0 che non ha significato. Data una frazione algebrica, l insieme costituito da tutti i valori delle variabili per cui le operazioni in essa contenuta hanno si chiama dominio (o insieme di definizione o insieme di esistenza) della frazione. Nel caso dell esempio precedente il dominio della frazione è costituto dall insieme di tutti i numeri reali diversi da : R \ { }. Spesso, invece di indicare il dominio di una frazione algebrica, si indicano soltanto le condizioni che devono essere soddisfatte perché la frazione algebrica sia definita: esse vengono chiamate condizioni di esistenza della frazione algebrica (e indicate con il simbolo C. E.). Nel caso dell esempio precedente, la condizione di esistenza è. Esercizio 6. Determina le condizioni di esistenza della frazione algebrica. Soluzione. Per individuare le condizioni di esistenza, riscriviamo la frazione algebrica scomponendo in fattori il denominatore: ( + )( ) In base alla legge di annullamento del prodotto, il denominatore è diverso da zero se e solo se tutti i suoi fattori sono diversi da zero, cioè per: Queste sono le condizioni di esistenza; il dominio è l insieme R privato di e, in simboli: R \ {, }. La tabella seguente riporta altri esempi di condizioni di esistenza. Frazione algebrica C. E. Osservazione a + 3 a + a + 3 a + a a + 3 a + a a 0 a nessuna Scomponi il denominatore come a(a + ) e imponi che i due fattori siano diversi da zero Il denominatore è sempre positivo

. semplificazione 3. semplificazione Come per le frazioni numeriche, anche per quelle algebriche possiamo introdurre il concetto di equivalenza. Definizione 7. Due frazioni algebriche A B e C D B C. sono equivalenti se A D = Per indicare l equivalenza tra due frazioni algebriche si usa il simbolo di uguaglianza. Per esempio: = + +, perché ( + ) = ( + ) a ab =, perché a b = ab b Riconoscere l equivalenza è quindi semplice, ma ciò che ci interessa di più è sapere quali sono le operazioni che si possono eseguire su una frazione algebrica per ottenerne una a essa equivalente. Le operazioni lecite sono quelle che applicano la proprietà invariantiva della divisione. Proposizione (Proprietà invariantiva delle frazioni algebriche). Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una frazione algebrica per uno stesso polinomio diverso dal polinomio nullo, si ottiene una frazione equivalente alla frazione data. In base alla proprietà invariantiva, data una frazione algebrica possiamo: dividere numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo), e questo permette di semplificare una frazione moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo), e questo permette di ridurre due o più frazioni allo stesso denominatore, in modo da poterle sommare o sottrarre Definizione 8. Una frazione algebrica si dice ridotta ai minimi termini se i suoi termini sono polinomi primi tra loro. In generale, per ridurre una frazione ai minimi termini (o, come anche si dice, per semplificarla) si dividono il numeratore e il denominatore per il loro MCD. In pratica, la procedura per semplificare una frazione è la seguente: si scompongono numeratore e denominatore si semplificano, come nelle frazioni numeriche, i fattori comuni al numeratore e al denominatore con un tratto di penna

3 frazioni algebriche Esercizio 7. Semplifica 3 + 6. 3 Soluzione. 3 + 6 = 3( + ) = + 3 3 La proprietà invariantiva assicura che il risultato dopo la divisione è equivalente alla frazione iniziale. Esercizio 8. Semplifica la frazione algebrica 6 + 9. 9 Soluzione. 6 + 9 9 = ( 3) ( + 3) ( 3) = 3 + 3 Esercizio 9. Semplifica a + a ab + b + a +. Soluzione. a + a ab + b + a + = a(a + ) b(a + ) + (a + ) = a(a + ) (a + )(b + ) = a (a + ) (a + )(b + ) Attenzione agli errori! Le seguenti semplificazioni sono errate: a + b a + + 4 + + y ( + ) ( + y) + In sostanza, si possono eseguire semplificazioni solo tra fattori e non quando i termini per cui si vuole dividere sono legati agli altri da addizioni o sottrazioni..3 operazioni Somma e differenza Come per le frazioni numeriche, la somma o la differenza di frazioni algebriche che hanno lo stesso denominatore si calcolano sommando o sottraendo i rispettivi numeratori.

.3 operazioni 33 Con le frazioni numeriche: 5 + 5 = + = 3 5 5 Con le frazioni algebriche: + + + + = + + = + 3 + + Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, occorre prima calcolare un denominatore comune, di solito il mcm fra i denominatori, e poi eseguire la somma o la differenza come nel caso precedente. Con le frazioni numeriche Con le frazioni algebriche 3 4 + 6 + + mcm(4, 6) = mcm(, + ) = ( + ) 9 + 9 + = + ( + ) + ( + ) + + ( + ) = + ( + ) In generale, per sommare o sottrarre due o più frazioni algebriche conviene seguire questa procedura: si semplificano le frazioni che non sono irriducibili si trova il mcm fra i denominatori si riducono tutte le frazioni allo stesso denominatore si eseguono le somme e le sottrazioni si semplifica la frazione ottenuta, se possibile Esercizio 30. Calcola b a + ab a ab + b. Soluzione. Scomponiamo i denominatori: b a(a + b) a b(a + b)

34 frazioni algebriche Determiniamo il denominatore comune e svolgiamo i calcoli: b a ab(a + b) Semplifichiamo la frazione ottenuta: (b a) (b + a) ab (a + b) = b a ab Esercizio 3. Calcola + 3 + 3. Soluzione. Le frazioni sono irriducibili. Il mcm dei denominatori è ( + 3)( 3). Riduciamo le frazioni allo stesso denominatore: ( 3) ( + 3)( 3) + ( + 3) ( + 3)( 3) Sommiamo i numeratori: ( 3) + ( + 3) ( + 3)( 3) Svolgiamo i calcoli: 6 + + 3 ( + 3)( 3) = 3 3 ( + 3)( 3) = 3( ) ( + 3)( 3) Poiché la frazione è irriducibile, questo è anche il risultato della somma. Di solito, per abbreviare la sequenza dei passaggi, l operazione di riduzione allo stesso denominatore si svolge contemporaneamente a quella di addizione fra i numeratori, riducendo i due passaggi a uno solo. In pratica, si omette di scrivere il primo passaggio.

.3 operazioni 35 Esercizio 3. Calcola 9 3 6. Soluzione. Scomponiamo i denominatori: ( + 3)( 3) 3 ( 3) Fai attenzione alla seconda frazione algebrica. Poiché i denominatori delle altre frazioni hanno come fattore 3, che differisce da 3 per i segni dei suoi termini, dobbiamo raccogliere un segno in modo da trasformare 3 in 3: ( + 3)( 3) ( 3) ( 3) È poi opportuno non lasciare il segno negativo al denominatore, ma portarlo davanti alla linea di frazione; questa operazione cambia il segno che c è davanti alla frazione. Svolgiamo i calcoli: ( + 3)( 3) + 3 ( 3) + ( + 3) ( + 3) ( + 3)( 3) = + + 6 3 ( + 3)( 3) = + 5 ( + 3)( 3) Poiché la frazione è irriducibile, questo è anche il risultato. Prodotto e quoziente Anche queste operazioni si eseguono con regole analoghe a quelle viste per le frazioni numeriche. Il prodotto di due frazioni algebriche si esegue scomponendo in fattori le singole frazioni e semplificando in croce : i fattori che compaiono al numeratore di una frazione si possono semplificare con quelli che compaiono al denominatore dell altra. Per esempio: + + = + + =

36 frazioni algebriche Il quoziente di due frazioni si esegue moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda. Per esempio: + : + + = + + + = + L elevamento a potenza si ottiene elevando a quella potenza il numeratore e il denominatore. Per esempio: ( ) 3 3 = + ( + ) = 9 ( + ) Esercizio 33. Calcola a a + b 9 3b 9 a. Soluzione. Scomponiamo i polinomi delle due frazioni: (a ) 3(b 3) (b + 3)(b 3) a Eseguiamo le semplificazioni possibili: (a ) (b + 3) (b 3) 3 (b 3) a = 3(a ) b + 3 Esercizio 34. Calcola 3 6 : +. Soluzione. 3 6 : + = 3 6 ( )( + ) = + 3( ) + = 3.4 espressioni In un espressione, le operazioni tra frazioni algebriche devono essere eseguite rispettando la consueta precedenza: prima le eventuali potenze poi le moltiplicazioni e le divisioni infine le somme e le sottrazioni a cominciare dalle parentesi più interne.

.5 esercizi 37 Esercizio 35. Calcola ( a + ) a a + a. Soluzione. ( a + ) a = a + + a (a + )(a ) = a + a (a )(a + ) a Esercizio 36. Calcola ( 4 ) : + 4 4 3 + 4 8 + ] + + Soluzione. ( ( + )( ) ) 4 : + 4 ( ) + 4( ) + ( + 4) ( 4) = ( + )( )( + 4) ( )( + 4) + 4 + 3 + 4 3 + 4 = ( + ) ( ) ( + 4) ( ) ( + 4) + 4 + = 8 + 4 + + ] + = + + + ] + + ] + ] + ] + = 4 + + = 4.5 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Semplifica le seguenti frazioni algebriche. 4 + 4 4 ] + 3 4 4 + 3 + ] ( )( + 4) ab + b + a + a a + a + ] a + b a + 4 5 + 5y 3 + 3y + a + ay 5 ] a + 3

38 frazioni algebriche 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 3a 3 3a a + 9a 4 b ab + a b b + 6a 4ab + 3a b 4a + 4a + 4 + 4y 3 + 3y + a + ay + y + y + a + ay 3a + 6a + 3 + 6 6a + 6 + a + a 3 + a + a + a + + a + + 5 + 6 + 6 + 9 + + a a + 4 3 4 4 + 8 8 + + 3 6a b 3 9a 3 b ab 3a b + 3a + 7 + 9 4y a ay + 4y 3 + 3 + + + a a b + ab + 4 + a + 3 8 + 4 a + a ab + b + a + 6 + 5 3 + + + ] a 3a + ] a b ] 3a b a + ] 4 a + 3 ] a + ] a ] + + ] + + 3 ] a 4( ] + ) + ] + + 3 3a b ] a ] + 4 3 ] a + ] + a ] b + ] + 7 + 6 ] a b + ] + + 5 ] + 5 6 7 8 9 30 3 3 33 34 35 36 37 38 39 40 4 4 43 44 45 a a ab + b + a + 4 + 4y 6 + 6y + a + ay 3 + 3 3 + 3 y y + a ay a 6 b 9 c 0 0a 7 b 5 c 6 a 7 + a 5 a + 6 + 3 36 9 0a 4 b 3 c 4 5ab 3 c 6 d 9 3 + 9 a + 4a + 0 + 5 5 t t t 4 5 4 0 4a 4a + a a 4 + 8t 3t + 5 t t 0t + 5 3 + + + + 6a a 8a 3 a 4 + 4 a ] b + ] a + 3 ] + ( ) ] a + 3b 4 c 4 ] 5a a 5 ] ] 3( ) a 3 ] 3c d ] 3 3 ] ] 5 + 5 ] t + t ] + 5 ] a a ( ) ] 6t ] ] t + 5 5 t ] irriducibile] ] 3a + ]

.5 esercizi 39 46 47 48 49 50 5 5 53 54 55 56 57 58 59 60 6 6 63 64 65 + 5 + 4 + + a a a + a 6 9t + 6t + 3t + t 5a + 5 a 9 + 4t 5 t + 5t 4 + 4 + 4 + 4 a 3 6a 6 + 9a 4 a 3 ab a b + ab + 4 + 4 4 y y 3 3 y 3 y y y 3 y + + 4 + 3 3 3y 6 + 6 6y 6y b a a + ab + b 8 3ab + 3a b 9 3 4 + 4 + 4 3 ] + 4 + a ] a + 3 ] 3t + t 5 ] a 3 ] + + ] t 5 t ] + 4 ] a 3 + 3a ] a b b ] + y ] ] ] y irriducibile] ] ( + ) ] b a a + b + ] ( + ) ] 3a b ] + 3 + + ] ( ) 66 67 68 69 70 7 7 73 74 75 76 77 78 79 80 8 8 83 84 85 86 a 3 ab a 6 a b 0 4 40 5 4 + 0 3 3 y y 4 + 3 + ab + b + a + b b + b a b + ab a + b 4 + 9 4 9 ab + ac + db + dc b + c ac + ad bc bd bc bd ac + ad 0 + 5 4 5 ac + bc a c b c + 3 4 4 + y 4 + y 4 y 4 3 + 4 + (a + b) c (c a) b 6 3 + 3 + y 6y 9 a + 3 a 3 a a 5 9 y y 7y + 6 5 + 6 3 0 4 + 0 ] a(a + b) ] ( ) ] ] + ] a + b b irriducibile] ] 3 + 3 ] a + d ] c + d d c ] 5 + ] c(a b) ] + ( 4) + y ] y ] + irriducibile] ] a + b + c a b c ( ) ] ] + y + 3 ] a 5 ] y + 3 4 y ] 3 5

40 frazioni algebriche 87 88 89 90 9 5 3 4 4 9 0,5 0,5 3 y 3 + y 4 4 y y 4 m 7 mn 4 m 4 n mn 3 ( 3 + ) 4 + ] + 3 ] + ] y y m 3 + n ] n 3 ] + + 9 93 94 95 96 a 3 + a b + ab + b 3 a 4 b 4 a 3 b a b + ab 3 b 4 a 3 b + ab 3 (y + 3) y + 8y + 6 a ay b + by b by a + ay a + a 6 a 8 a 3 + 9a ] a b ] a b a ] y + y + 4 y] ] 3 a Calcola i seguenti prodotti di frazioni algebriche. 97 98 99 3 + 4 + 3 + + 4 + 4 + 4 + 8 + 8 4 6 4 5 + 4 3 4 ] + ] ] 00 0 0 4 a a 3a 3 a 4 9 3 9 3a + ab 6a 9a 4 4 6] ] 3 + 6 + 3 3a ] b(3a ) Calcola le seguenti divisioni di frazioni algebriche. 03 04 05 5 + 6 9 : 6 4 + a a + a : 3 + 3 + 5 0 : + 0 ( ) ] 9 3] 4 ] 06 07 08 6 + 9 9 : 6 4 + 6a b a + b : ab (a + ) a b a a 4 : a a a + 4 ] ] 3a(a b) b(a + ) ] a + a a Calcola le seguenti somme di frazioni algebriche. 09 0 3 4 y + y y + 3 a + a a a a a a + a a a + 3 a + a a + + ] + y y ] 7 6 ] a ] a(a ) ] ] 5 6 7 8 9 0 + + + + + 3 + + 3 + + 6 4 + 3 + ] ( ) ] 3 + ] ( ) ] 3( + 3) ( + 3) ] ( ) ] +

.5 esercizi 4 Vero o falso? Se falso calcola il risultato corretto. a. b. c. d. + y = y + + y = V F + = + V F + y = y + y V F = e. + = + + = V F V F f. g. a b + b a = + a b + = 3 h. y + y = + y y + y V V V F F F 4 affermazioni vere e 4 false] Svolgi le seguenti espressioni contenenti frazioni algebriche. ] + + 3 + 5 + 5 6 3 3 3 + 3 3 + ] 3 4 + ( + ) 6 4 4 + 4 ] + 6 3 + 9 8 3 6y 5 5y 3 y + y 3 ] 3( + y) 4y 5y( + y) 6 + + + ] + 4 ( )( + ) + y 7 + + y + y y + + ] y + y + + 8 3 ] + + 0 4 + 3 3 ( 9 y + y ) ) : ( y + y ] y + y ( )] ] 30 4 + ( ) : + ( 3 ) ( 3 + : ) ] + ( 3 ) ( 3 : + 5 : 5 3 ) ] 0 ( 33 + + + ) ] + + + 4 ( 5 34 + 4 + 4 + + + 6 ) ] + 4 4 + 8 + 5 +

4 frazioni algebriche 35 Indica la risposta corretta. a. Semplificando la frazione algebrica 6a 6b b a, otteniamo: A 3(a + b) B 3(a + b) C 3(a b) D 3(b a) b. Qual è il risultato della somma y + y y? A B 0 C D impossibile c. Qual è il risultato del prodotto 5k + 5 6 A 5 B 5 3 3k 3 k? C 5 D dipende da k d. Quale affermazione tra le seguenti è vera per le frazioni 5 5 a b e 5a b 5a b? A La prima vale a b e la seconda vale 0. B Valgono entrambe a b. C Valgono entrambe. D La prima vale a b e la seconda vale. e. A quale delle seguenti descrizioni corrisponde l espressione A Il rapporto tra il quadrato della somma di con y e la somma dei quadrati di e y ( + y) + y. C Il rapporto tra la somma dei quadrati di e y e il quadrato della somma di con y B Il quadrato del rapporto tra la somma di con y e la somma dei quadrati di e y D Il quadrato del rapporto tra la somma dei quadrati di e y e la somma di con y f. Quale delle seguenti espressioni corrisponde alla descrizione «il rapporto tra il successivo del numero naturale n e il successivo del quadrato di n»? A n + (n + ) B n (n + ) + C n n + + g. Considera l espressione. Quale delle seguenti affermazioni è vera? + A L espressione si annulla sia per = che per =. B L espressione non è definita né per = né per =. C L espressione si annulla per = e non è definita per =. D L espressione non è definita per = si annulla per =. D n + n +

.5 esercizi 43 h. La densità di popolazione di una regione è il rapporto tra il numero dei suoi abitanti e la sua superficie. Nel 00 la densità della regione Lombardia era di circa 43,45 abitanti/km e il numero dei suoi abitanti era uguale a 9 866 04. Qual è approssimativamente l area della superficie della Lombardia? A 863 km B 3 863 km C 4 863 km D 5 863 km 36 Indica la risposta corretta. Tre risposte A, una B, due C e due D] a. La semplificazione della frazione algebrica A + B ( ) è C + D + b. La semplificazione della frazione algebrica 3 + + 4 + 4 è A + B C + c. L espressione (a 3b) per a = e b = /3 vale D A B C 0 D ( d. L espressione ) ( : ) si annulla per: A B C D e. A quale dei seguenti valori equivale l espressione 3 3 A B 0 C D f. Qual è la frazione equivalente a y + 6 + 8y y 6 A y 4 y + 4 B + 8y y 6 g. La frazione 3 non è definita per 3 C y + 4 y 4 D 8y y 6 A 3 B 3 C 3 D 3 h. Dato l insieme R dei numeri reali, il campo di esistenza della frazione 7 + 7 è

44 frazioni algebriche A R \ { 0 } B R \ { 7 } C R \ { 7 } D R i. Svolgendo l espressione + + + si ottiene: A + j. Quanto vale ( )? A B B + 4 + 4 + 4 C D C 4 + 4 4 D 4 + 4 + 4 37 Indica la risposta corretta. Tre risposte A, una B, quattro C e due D] a. Considera la funzione f() =. Quanto vale f() f( )? A B 0 C D b. Per quale delle seguenti frazioni deve essere moltiplicata 3 + per ottenere? A 3 + B 3 + ( ) C c. Considerata la funzione f() = 3 ( ) D 3, quanto vale l espressione f() f()? A B C D d. Quanto vale ( + : )? + A B C ( + ) D ( + ) e. Quanto vale + +? A 3 + + B + + C 3 + + D 3 + + f. Quale delle seguenti frazioni non è definita per = 0? A + B + C D + g. La reciproca della frazione 3 è?