Lezione Le incertezze nel calcolo strutturale

Sommario Le strutture reali Le incertezze nei materiali L approccio probabilistico

Le strutture reali

Fasi costruttive

Le caratteristiche dei materiali

L acciaio strutturale Acciaio strutturale S235 J0 f y,nom f u,nom εu,nom f y f u εu Componenti f u,nom /f y,nom f u /f y (MPa) (MPa) (%) (MPa) (MPa) (%) IPE300 Flangia 235 360 1.53 28 313 480 1,53 30,7 Anima 235 360 1.53 28 370 489 1,32 35,6 IPE240 Flangia 235 360 1.53 28 315 448 1,42 31 Anima 235 360 1.53 28 347 454 1,31 32,6 HEB280 Flangia 235 360 1.53 28 300 430 1,43 37,1 Anima 235 360 1.53 28 341 450 1,32 34,5 HEB260 Flangia 235 360 1.53 28 341 449 1,31 35,7 Anima 235 360 1.53 28 406 486 1,2 31,8 Piastre 235 360 1.53 28 383 543 1,42 31,5 Mediana Mediana Mediana Mediana (MPa) 341,00 454,00 1,32 32,60 Media Media Media Media (MPa) 346,22 469,89 1,36 33,39 Dev Std Dev Std Dev Std Dev Std (MPa) 34,93 33,96 0,10 2,37 Cov Cov Cov Cov 10,09% 7,23% 7,10% 7,09%

Le incertezze PDF normale 0,014 0,012 0,01 fy fu 0,008 0,006 0,004 0,002 0 0 100 200 300 400 500 600 700

Le incertezze CDF 0,95 1 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 fy fu 200 235 270 305 340 375 410 445 480 515 550 585 620

Valori rilevanti Mediana Indice di posizione, valore per cui la metà dei campioni avrà resistenza inferiore o uguale Moda Valore più frequente Media Valore atteso, per un insieme di grandezze discrete è dato dalla media aritmetica

Distribuzioni normali Deviazione standard nelle distribuzioni normali definisce l ampiezza della curva Il coefficiente di variazione è dato dal rapporto tra la deviazione standard e il valore medio

Calcestruzzo Produttore f cm [MPa] σ c [MPa] COV A 35 5,0 0,143 B 44 7,0 0,159 C 42 3,5 0,083 D 35 3,0 0,086 0,14 0,12 0,1 PD(f c ) 0,08 0,06 0,04 0,02 Tipo A Tipo B Tipo C Tipo D 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 f c resistenza cilindrica

Calcestruzzo Produttore f cm [MPa] σ c [MPa] COV A 35 5,0 0,143 B 44 7,0 0,159 C 42 3,5 0,083 D 35 3,0 0,086 1 0,9 0,8 0,7 PD(f c ) 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 Tipo A Tipo B Tipo C Tipo D 0,1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 f c resistenza cilindrica

Calcestruzzo Valore caratteristico 0,1 f Produttore cm σ c f COV ck [MPa] [MPa] [MPa] A 35 5,0 0,143 26,8 B 44 7,0 0,159 32,5 C 42 3,5 0,083 36,3 D 35 3,0 0,086 30,8 0,09 0,08 0,07 PD(f c ) 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 Tipo A Tipo B Tipo C Tipo D 0,01 0 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 f c resistenza cilindrica

Percentili o frattili Valore della grandezza aleatoria associato a una precisa probabilità di minoramento e cioè a un particolare valore della F(x). il quinto percentile della resistenza del calcestruzzo è quel particolare valore di resistenza tale che solo il 5% delle volte si riscontrano casi in cui la resistenza è uguale o più bassa e quindi è quel particolare valore x per cui F(x)=0,05. PD(f c ) 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 f ck = 26,8 Tipo A Tipo A Tipo D Il cinquantesimo percentile della resistenza del calcestruzzo è la mediana 0,02 0 15 20 25 30 35 40 45 50 55 f c resistenza cilindrica 5%

Misura probabilistica

Metodo probabilistico 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 1 2 3

Metodo probabilistico confronto tra s e r 3000 calcoli con estrazioni casuali delle variabili F L Ec b h γ cls s r E=r-s (kn) cm (kn/cm 2 ) (cm) (cm) (kn/cm 3 ) (cm) (cm) (cm) 43,23 414,60 2662,42 31,04 61,19 0,00002161 0,75 2,01 1,26 55,40 415,04 2687,48 30,62 63,11 0,00002903 0,89 2,19 1,30 53,37 416,14 2656,40 31,28 60,82 0,00002827 0,95 1,92 0,97 57,47 466,97 3141,76 30,48 59,11 0,00002456 1,34 2,79 1,45 62,40 523,13 3351,90 29,57 59,52 0,00003083 2,00 2,55 0,55 49,99 498,52 3031,01 30,58 61,65 0,00002533 1,34 2,32 0,98 57,60 488,52 2688,91 31,55 58,65 0,00002462 1,80 1,86 0,06 55,60 406,73 2235,60 29,44 56,53 0,00002983 1,43 2,50 1,07 59,47 409,06 1962,97 30,17 58,87 0,00002572 1,51 2,51 1,00 57,36 518,83 2112,05 30,89 61,50 0,00002607 2,47 2,43-0,03 62,22 454,95 2935,14 29,86 63,17 0,00002889 1,22 2,73 1,51 51,10 485,98 2953,63 32,22 58,23 0,00002275 1,44 2,72 1,28 57,23 503,82 2888,15 27,89 61,45 0,00002476 1,79 1,94 0,15 53,29 409,16 2141,77 28,88 57,55 0,00002071 1,36 2,42 1,06 60,92 464,58 2541,57 28,46 63,11 0,00002628 1,53 1,90 0,38 69,45 436,04 3365,47 29,61 57,72 0,00002461 1,32 2,44 1,12 55,18 382,58 3009,59 30,99 58,67 0,00002324 0,73 2,62 1,89 58,93 436,39 2903,61 30,91 59,39 0,00002288 1,16 2,01 0,85 54,73 462,57 3217,79 30,42 61,03 0,00002433 1,11 1,84 0,73 50,97 485,77 2550,15 28,52 58,96 0,00002518 1,81 2,67 0,87 53,75 428,57 3681,89 30,46 59,09 0,00002266 0,82 2,10 1,28 55,74 482,38 2487,84 29,93 64,29 0,00002514 1,46 2,07 0,61 55,06 454,09 3393,52 31,96 58,91 0,00003219 1,10 2,38 1,28 52,38 445,49 3802,68 30,86 59,37 0,00002305 0,86 2,50 1,65 62,97 494,16 2953,43 29,70 58,89 0,00002248 1,89 2,51 0,61 54,60 450,57 3058,08 29,37 61,77 0,00001908 1,05 1,89 0,85 53,13 425,71 1918,53 28,65 60,99 0,00002287 1,47 1,98 0,51 63,53 451,26 2580,89 31,08 59,65 0,00002549 1,54 2,12 0,57 51,63 469,49 2552,80 30,28 63,56 0,00002337 1,24 2,01 0,77 48,32 480,44 3357,34 30,13 62,19 0,00002626 1,04 2,39 1,35 55,27 402,81 3015,19 29,91 58,38 0,00002068 0,88 2,00 1,11 57,02 367,21 2570,12 30,66 61,28 0,00002575 0,70 2,76 2,07 56,94 464,65 2514,61 31,21 60,14 0,00002686 1,54 2,70 1,15 59,63 443,12 3308,37 28,36 59,15 0,00001606 1,15 2,68 1,53

Metodo probabilistico Freccia s 350 300 250 200 150 100 50 0-1 -0,8-0,6-0,4-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4

Metodo probabilistico 400 350 300 250 200 150 100 50 0-1 -0,8-0,6-0,4-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4

Metodo probabilistico Valutazione di una funzione esito data dalla differenza tra la freccia s e il gioco r E =r-s Quando la funzione esito è positiva o uguale a zero, la verifica è positiva. Quindi la probabilità di collasso dipende dalla diseguagianza: E =r-s < 0

Metodo probabilistico 250 200 150 100 50 0-1 -0,8-0,6-0,4-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3

Valutazione della probabilità di insuccesso 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,044 0-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Probabilità di collasso di riferimento Eurocodice 1 Cedimento strutturale P f *=10-6 per un anno di vita P f *=10-4 per il tempo di vita T S Perdita di funzionalità P f *=10-3 per un anno di vita P f *=1,5 10-1 per il tempo di vita T S

Metodo probabilistico Si può tener conto delle caratteristiche aleatorie delle grandezze e dei processi in gioco, e di tutte le incertezze, anche in relazione alle fasi di esecuzione e all uso della costruzione Metodo probabilistico completo Valutazione diretta della probabilità di collasso Analisi di Montecarlo Metodo probabilistico indiretto Valutazione della probabilità di collasso attraverso il coefficiente β, indice di sicurezza Metodo semiprobabilistico (Livello 1) Geometria strutturale deterministica Coefficienti parziali di sicurezza per materiali ed azioni

In sintesi I valori delle grandezze fisiche coinvolte nel processo progettuale sono aleatori Il riferimento ai frattili del 5% e del 95% (valori caratteristici) consente la classificazione delle caratteristiche dei materiali e delle azioni Non esistono strutture sicure, ma strutture che offrono probabilità di superamento delle soglie prefissate nelle diverse condizioni di funzionamento limitate e coerenti con il quadro normativo di riferimento L approccio probabilistico è più complesso di quello deterministico e richiede la calibrazione di metodi più semplici e quindi più adatti alle applicazioni correnti