Fisica quantistica: fondamenti

Fisica quantistica: fondamenti L argomento EPR sulla completezza della teoria quantistica, l entanglement Christian Ferrari e Matteo Nota Corso di aggiornamento Locarno, 11 aprile 2008

Svolgimento del pomeriggio: sommario Da Planck a Copenhagen PAUSA L articolo EPR Introduzione storica Lettura dell articolo Analisi della struttura logica dell articolo Commenti e prime conclusioni PAUSA L entanglement Le correlazioni quantistiche L argomento EPR (versione bohmiana con gli spin 1/2) PAUSA Conclusione generale Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 1 / 35

Le premesse della fisica quantistica (1900-1925) Kirchhoff e Bunsen (1860), Balmer (1885), Stefan (1879) Hertz (1887), Wien (1893), Zeeman (1896) Röntgen (1895) (Stokes, Thomson, Sommerfeld, Bragg) Lummer, Pringsheim, Rubens, Kurlbaum (Berlino, 1900)... Planck (1900-1908) E n = nhν = Rottura epistemologica Realismo ondulatorio Einstein (1905, 1917) E = hν, p = k Dualismo onda-particella de Broglie (1923) hν = mc 2 (onda pilota) Schrödinger Meccanica ondulatoria Lyman (1906-1914) Paschen (1908) Rutherford-Perrin (1911) Stark (1913) Brackett (1922) Pfund (1924) Compton (1923) Pauli, Krönig, Uhlenbeck e Goudsmit (1925) Lo spin 1925 Bohr-Sommerfeld (1913) (n,l,m l ) Principio di corrispondenza 1913-1918 1920 Heisenberg, Born, Jordan Meccanica delle matrici Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 2 / 35 Positivismo

La scuola di Copenhagen Realismo ondulatorio Schrödinger Meccanica ondulatoria Ann. Phys. (4), 79, 361-376 (1926) Ricevuto il 27 gennaio 1926 Schrödinger (1926) von Neumann (1932) isomorfismo Heisenberg, Born, Jordan Meccanica delle matrici Zeit. Phys., 33, 879-893 (1925) Ricevuto il 29 luglio 1925 Positivismo operatori H = L 2 (R 3 ; C) Algebra non commutativa Spazio di Hilbert matrici H = l 2 (C) Interpretazione di Copenhagen (1927) Il formalismo è solo uno strumento di predizione. Non permette di visualizzare la realtà (ed è inutile cercare di rappresentarla). La misura introduce una discontinuità nell evoluzione dello stato (cosiddetta riduzione del pacchetto d onda ). La misura non è descritta come processo fisico. Articolo EPR (1935) Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 3 / 35

Dov è il problema? Misura delle componenti S x e S z dello spin. z Sz sconosciuto z Sz conosciuto x Sx conosciuto [S x, S z ] 0 Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 4 / 35

Introduzione storica a EPR (Articolo New York Time, 4 maggio 1935) Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 5 / 35

Introduzione storica a EPR Einstein è da poco a Princeton. Aveva lavorato alcuni anni prima con Boris Podolsky, che lo raggiunge. Nathan Rosen, più giovane, entra a Princeton nel 1934 e collabora presto con Einstein. Così si formò EPR. L articolo è pubblicato nel maggio 1935. La versione definitiva è redatta da Podolsky (forte impronta logica). L idea centrale è di Einstein, ma questo ne criticò la pesante macchinosità logica che, secondo lui, schermava l argomentazione principale. Dopo l intervista a Podolsky, nel New York Time (4 maggio 1935), scrive a Schrödinger: [L articolo] non ha messo in evidenza quello che avevo davvero in mente, dato che l argomento principale è, in qualche modo, sepolto sotto l erudizione. EPR non presenta un paradosso, ma mira a mostrare una carenza dell interpretazione di Copenhagen. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 6 / 35

Lettura dell articolo EPR: estratto dall articolo del NYT Due esigenze imposte a qualsiasi teoria fisica: Physicists believe that there exists real material things independent of our minds and our theories. We construct theories and invent words (such as electron, positron,... ) in an attempt to explain to ourselves what we know about our external world and to help us to obtain further knowledge of it. Before a theory can be considered to be satisfactory it must pass two very severe tests. 1 Correttezza First, the theory must enable us to calculate facts of nature, and these calculations must agree very accurately with observations and experiments. 2 Completezza Second, we expect a satisfactory theory, as a good image of objective reality, to contain a counterpart for every element of the physical world. A theory (... ) if it satisfies the second requirement, it may be called a complete theory. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 7 / 35

Lettura dell articolo EPR Estratto dall articolo del NYT: Hundred of thousands of experiments and measurements have shown that, at least in cases when matter moves much slower than light, the theory of Planck, Einstein, Bohr, Heisenberg and Schrödinger known as quantum mechanics is a correct theory. Einstein, Podolsky and Rosen now discuss the question of the completeness of quantum mechanics. = La teoria quantistica è corretta. Criterio di realtà nell articolo EPR: non è strettamente un criterio empirico perché riposa totalmente sulla possibilità di predire il valore di una grandezza fisica con una certezza massima; porta quindi sullo statuto delle grandezze osservabili e non direttamente sulla loro osservazione. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 8 / 35

Argomentazione logica in due parti di EPR Parte I Partendo dalla descrizione dello stato di una particella con un valore definito della quantità di moto, si giunge alla conclusione che la quantità di moto e la posizione non verificano simultaneamente il criterio di realtà. Questo ragionamento si estende a qualsiasi coppia di osservabili A e B che non commutano. Deduzione logica: (a) la fisica quantistica non è completa; (b) due grandezze che non commutano non verificano simultaneamente il criterio di realtà. OPPURE L ultima alternativa non equivale all affermazione che due grandezze non commutative non possono essere misurate simultaneamente! (correttezza della teoria). Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 9 / 35

Argomentazione logica in due parti di EPR Parte II Partendo dal formalismo supposto completo, si mostra che è possibile attribuire una realtà a due osservabili che non commutano (negazione della proposizione (b)). Deduzione logica: Necessariamente, la teoria quantistica non è completa. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 10 / 35

Struttura logica dell articolo EPR: premesse Esigenze per una teoria fisica (pag. 777) corretta: adeguata all esperienza; completa: ogni elemento della realtà fisica deve avere una controparte nella teoria fisica. Quest ultima esigenza dipende da cosa si intende per realtà fisica. Criterio di realtà (pag. 777) Se, senza disturbare in alcun modo un sistema, possiamo predire con certezza (cioè con probabilità uguale ad uno) il valore di una grandezza fisica, allora esiste un elemento di realtà fisica corrispondente a tale grandezza fisica. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 11 / 35

Struttura logica dell articolo EPR Postulato: si accetta il criterio di realtà. Definiamo le proposizioni: C = la fisica quantistica è completa ; R = [A, B] 0 { R(A) R(B)}. Parte I (pp. 778-79) Alternativa logica: Parte II (pp. 779-80) C R Assumendo C si dimostra che: [A,B] 0 {R(A) R(B)} R quindi: C R C R Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 12 / 35

Struttura logica dell articolo EPR Parte I: C R Parte II: C R Conclusione: Da I e II segue C R C R C R R ed è vera se e solo se C è vera, ossia se la fisica quantistica non è completa. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 13 / 35

Complemento di logica P Q P Q P Q P Q 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Quindi P Q P Q Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 14 / 35

Commenti e prime conclusioni Bohr: Il criterio di realtà non è minimale ed è inadeguato alla nuova razionalità suggerita dalla fisica atomica. Il criterio di realtà non è un criterio empirico: si basa su una certezza che non dipende dall osservazione (oggettività); presuppone la correttezza della teoria quantistica e quindi un adeguazione della teoria a qualsiasi prova empirica. Il criterio di realtà contiene ipotesi implicite: realtà locale. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 15 / 35

Spazio di Hilbert: gli stati puri Lo spazio di Hilbert per modellizzare sistemi a due particelle quantistiche è H = H 1 H 2 dove H 1 e H 2 descrivono gli stati puri delle particelle 1 e 2. Base: Se B H1 = {f i } n i=1 e B H 2 = {g i } m i=1 allora {e k } = {f i g j } è una base ortonormata di H 1 H 2 e dim C H 1 H 2 = nm. Prodotto scalare: Norma: (ψ 1 ψ 2, ϕ 1 ϕ 2 ) H = (ψ 1, ϕ 1 ) H1 (ψ 2, ϕ 2 ) H2 Operatori: ψ 1 ψ 2 H1 H 2 = ψ 1 H1 ψ 2 H2 A B(ψ 1 ψ 2 ) = Aψ 1 Bψ 2 Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 16 / 35

Entanglement In generale ogni Ψ H = H 1 H 2 si scrive come Due casi: Ψ = Xmn k=0 α k e k dove e k B H1 H 2 Ψ si fattorizza come Ψ = ψ 1 ψ 2 : la particella 1 è nello stato ψ 1 e la particella 2 nello stato ψ 2. Ψ non è fattorizzabile, per esempio Ψ = 1 2 (ψ 1 ψ 2 + ϕ 1 ϕ 2 ) la particella 1 è potenzialmente negli stati ψ 1 e ϕ 1 e la particella 2 è potenzialmente negli stati ψ 2 e ϕ 2. Gli stati non fattorizzabili sono detti intrecciati o entangled. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 17 / 35

Entanglement: spin 1/2 Ψ = 1 2 ψ 1 + ψ 2 ψ 1 ψ 2 +Š?= ψ 1 ψ 2 Scriviamo ψ α = X i=± λ α i ψ α i λ α i C, sviluppando otteniamo: X X ψ 1 ψ 2 = λ 1 i ψi 1 i=± j=± λ 2 jψ 2 j = X i=± X j=± = λ 1 +λ 2 +ψ 1 + ψ 2 + + λ 1 +λ 2 ψ 1 + ψ 2 + λ 1 λ 2 +ψ 1 ψ 2 + + λ 1 λ 2 ψ 1 ψ 2. Per descrivere lo stato Ψ dobbiamo avere: λ 1 i λ 2 jψ 1 i ψ 2 j λ 1 +λ 2 + = 0 λ 1 +λ 2 = 1 2 λ 1 λ 2 = 0 λ 1 λ 2 + = 1 2 da cui contraddizione! Ψ non è fattorizzabile. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 18 / 35

Spin intrecciati Consideriamo due spin 1 2 : H = C2 C 2 Stato intrecciato Ψ = 1 2 (ψ 1 + ψ 2 ψ 1 ψ 2 +) I valori ± 2 delle osservabili S z dei due sistemi sono entrambi delle proprietà potenziali. Esperienza z Alice 1 S 2 Bob z Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 19 / 35

Risultati sperimentali Misura Risultato Alice Risultato Bob 1 + /2 /2 2 /2 + /2 3 /2 + /2 4 + /2 /2 5 + /2 /2......... N 1 + /2 /2 N + /2 /2 Per ogni coppia di risultati si osserva una perfetta (anti) correlazione: se durante una misura Alice osserva il valore + 2 per il primo spin, allora Bob osserva il valore 2 per il secondo spin e viceversa. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 20 / 35

Previsioni quantistiche Il 50% delle volte Alice ottiene + /2 e Bob /2, mentre il 50% delle volte Alice ottiene /2 e Bob + /2: Prob Ψ {S z I = ± /2; I S z = /2} = P ψ 1 ± P ψ 2 Ψ 2 = 1 2 È fondamentale sottolineare che queste coppie di valori correlati sono aleatorie, in una singola esperienza è impossibile prevedere con certezza il risultato. Ogni osservatore misura una sequenza aleatoria, e solo dopo aver confrontato i rispettivi risultati che essi possono stabilire che vi è una correlazione perfetta sui risultati della misura: non vi è nessuna trasmissione istantanea di informazione. Lo stato ridotto di Alice (risp. Bob) è misto. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 21 / 35

Previsioni quantistiche Perché lo stato Ψ prevede queste correlazioni? Ψ rappresenta uno stato di conoscenza assoluta per S z S z S z S z Ψ = 2 4 Ψ Quindi Bob deve misurare + /2 se Alice ha misurato /2 e viceversa. È impossibile che Alice e Bob misurino entrambi ± /2. OSS: il formalismo del prodotto tensoriale permette di descrivere le correlazioni osservate empiricamente; cosa impossibile, per esempio, con un prodotto cartesiano! Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 22 / 35

Alcune considerazioni Nello stato Ψ la direzione di ogni singolo spin non è definita (conoscenza assoluta), ma è definita una proprietà della coppia di spin: l orientazione. Infatti, gli spin sono orientati nel verso opposto. In generale, in uno stato intrecciato non sono definite le proprietà di ogni singolo sottosistema, ma è definita una proprietà della coppia. Secondo la fisica quantistica è impossibile descrivere la coppia di particelle come due entità separate, ma le due particelle correlate devono essere considerate come un unica entità. Le due particelle devono interagire alla sorgente per poter essere in uno stato intrecciato: per esempio π 0 e + + e Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 23 / 35

Le ipotesi di EPR La versione bohmiana dell argomento EPR utilizza due spin 1 2. Le ipotesi di base, sulle quali si fonda l argomento EPR, sono: il criterio di realtà secondo EPR Se, senza disturbare in alcun modo un sistema, possiamo predire con certezza (cioè con probabilità uguale ad uno) il valore di una grandezza fisica, allora esiste un elemento di realtà fisica corrispondente a tale grandezza fisica; il principio delle cause locali Eventi che occorrono in una regione spazio-temporale data, non possono essere influenzati da una modifica di parametri localizzati in una regione spazio-temporale distante di un intervallo di tipo spazio. I due spin possono essere considerati come due entità separate. La realtà di ogni entità è dunque di tipo locale. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 24 / 35

Le alternative secondo EPR EPR formulano le seguenti alternative: (a) La descrizione quantistica della realtà data dallo stato Ψ non è completa; (b) Quando gli operatori associati a due osservabili non commutano, esse non possono possedere simultaneamente un elemento di realtà fisica per il sistema nello stato Ψ. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 25 / 35

Lo stato per l argomento EPR Lo stato preso in considerazione è lo stato intrecciato Ψ = 1 2 (ψ 1 + ψ 2 ψ 1 ψ 2 +) dove ψ ± sono gli autostati dell osservabile S z. Ma Ψ è un stato di spin totale 0 (invariante per rotazione), quindi Ψ = 1 2 (ϕ 1 + ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 +) dove ϕ ± sono gli autostati dell osservabile S x. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 26 / 35

Lo stato per l argomento EPR Infatti da cui ψ + = 1 2 (ϕ + + ϕ ) e ψ = 1 2 (ϕ + ϕ ) Ψ = 1 2 (ψ+ 1 ψ 2 ψ 1 ψ+) 2 = 1 2 1 2 = 1 1 2 (ϕ 1 + + ϕ 1 ) (ϕ 2 + ϕ 2 ) (ϕ 1 + ϕ 1 ) (ϕ 2 + + ϕ 2 ) 2 1 2 (ϕ1 ϕ 2 +) 1 2 (ϕ1 + ϕ 2 ) + 1 2 (ϕ1 ϕ 2 +) 1 2 (ϕ1 + ϕ 2 ) = 1 2 (ϕ 1 + ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 +) Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 27 / 35

Correlazioni nello stato Ψ Consideriamo le misure di S z e di S x per Alice e Bob nello stato Ψ. Abbiamo le seguenti correlazioni i risultati di S z per Alice e Bob sono correlati S z S z Ψ = 2 4 Ψ i risultati di S x per Alice e Bob sono correlati S x S x Ψ = 2 4 Ψ OSS: Anche se l ipotesi delle cause locali è soddisfatta (quindi anche se essi fanno delle misura in regioni spazio-temporali separati da un intervallo di tipo spazio) valgono queste correlazioni. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 28 / 35

Misure nello stato Ψ Per l ipotesi delle cause locali, la misura di Alice non perturba lo spin di Bob, ma permette di conoscere con certezza S z (Bob) e S x (Bob) S (Bob) z possiede un elemento di realtà (la misura di Alice non fa altro che rivelare un informazione che già preesisteva alla misura), analogamente anche S x (Bob) possiede un elemento di realtà. S (Bob) z e S (Bob) x fisica benché possiedono simultaneamente un elemento di realtà [S z (Bob), S x (Bob) ] 0 = L alternativa (b) è quindi falsa. = Ψ non fornisce una descrizione completa. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 29 / 35

Una conclusione L argomento EPR conclude quindi che la descrizione del sistema con un vettore nello spazio di Hilbert è incompleta. Una teoria più completa della fisica quantistica dovrebbe contenere un informazione simultanea sui valori S z (Bob) e S x (Bob), capace di predire i risultati delle misure di queste osservabili in una regione locale dello spazio in cui è localizzata la particella di Bob (idem per Alice). L idea di EPR è di completare la fisica quantistica con delle variabili supplementari, che furono chiamate variabili nascoste, che corrispondono ad uno stato completo. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 30 / 35

Conclusione: La teoria quantistica può essere considerata completa? Stati intrecciati Ψ = 1 2 (ψ 1 + ψ 2 ψ 1 ψ 2 +) ϕ 1 ϕ 2. Non-separabilità: il sistema è l insieme dei due spin e non può essere scomposto (lo stato non è fattorizzabile), indipendentemente dalla distanza: correlazioni. Non-località: di conseguenza non si può agire su una particella senza disturbare in nessun modo la seconda particella. Questo formalismo evidenzia in modo particolare una relazione tra non-separabilità e non-località. Questa relazione proviene dalla particolarità della misura quantistica. La teoria quantistica è completa? Pur ammettendo (molto ragionevolmente) la correttezza della teoria quantistica, rimane legittima (e aperta) la questione della sua completezza. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 31 / 35

Conclusione: Dopo EPR Il criterio di realtà (EPR) è un criterio metateorico: Non concerne la validità di quello che dice la teoria (correttezza), ma il come lo dice. Non può essere direttamente confrontato con l esperienza empirica. Dalla sua accettazione dipende la costruzione logica di EPR e quindi la validità della sua conclusione. Non è possibile confrontare direttamente la sua conclusione con l esperienza: ammettendo la correttezza della teoria quantistica, si ammette la non possibilità (di principio) di confutarla empiricamente. Dal punto di vista logico, è unicamente possibile mostrare che il criterio di realtà rimane un postulato valido producendo una teoria completamente equivalente sul piano empirico alla teoria ortodossa, ma che lo verifichi: variabili nascoste. Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 32 / 35

Conclusione: Dal criterio di realtà alle variabili nascoste locali David Bohm (1952): formulazione alternativa, con variabili nascoste (Teoria di de Broglie-Bohm). Le particelle hanno una traiettoria continua, guidata da un potenziale quantico. Realizza solo in parte il programma EPR: comportamento determinista delle particelle, ma rimane il problema della località. Il potenziale quantico assume valori non trascurabili all infinito. Il cuore dell argomento EPR mette in gioco la località (stati intrecciati). La teoria quantistica nasconde variabili locali? Disuguaglianze di Bell (1964)! Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 33 / 35

Einstein e la separabilità/località Einstein nel 1948 scrive:... è caratteristico per le cose fisiche di essere concepiti come disposti in un continuo spazio-temporale. Sembra essenziale per questa disposizione delle cose introdotte in fisica che quest ultime, ad un istante dato, rivendichino un esistenza indipendente l una dall altra, nella misura in cui esse di trovano in differenti regioni dello spazio. Senza l ipotesi della muto esistenza indipendente delle cose separate spazialmente le une dalle altre, ipotesi che trova la sua origine nel pensiero di tutti i giorni, il pensiero fisico che ci è familiare non sarebbe possibile. Non si vede come le leggi fisiche potrebbero essere formulate e verificate senza una tale separazione. La teoria dei campi a spinto questo principio al suo estremo, nel fatto che essa localizza in elementi dello spazio (quadridimensionale) arbitrariamente piccoli le cose elementari che essa considera come fondamentali ed esistenti indipendentemente le une dalle altre oltre, che le leggi elementari postulate per esse. Per l indipendenza relativa degli oggetti distanti spazialmente (A e B), l idea seguente è caratteristica: un influenza esterna su A non provoca un effetto immediato su B; questo è conosciuto come il principio di azione locale, che si trova applicato in modo consistente solo nella teoria dei campi. (trad. da: Quanten-Mechanik und Wirklichkeit, 1948) Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 34 / 35

Bibliografia M. Le Bellac, Physique quantique, CNRS Editions (2003) D. Bohm, Quantum Theory, Prentice-Hall (1951) N. Bohr, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Phys. Rev. 48 (1935) A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Phys. Rev. 47 (1935) M. Esfeld, Philosophie des sciences, PPUR (2006) J. von Neumann, Les fondements mathématiques de la mécanique quantique [1932], Gabay (1988) V. Scarani, Interférences et correlations quantiques, Vuibert (2003) A. Shimony, I fondamenti concettuali della meccanica quantistica, in La nuova fisica, a cura di P. Davies, Bollati-Boringhieri (1992) A. Whitaker, Einstein, Bohr and the quantum dilemma, Cambridge (1996) Intervista a B. Podolsky, New York Times, 4 maggio 1935 Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 35 / 35