(c) Peter Debye (1912) teoria in cui si considera lo spettro di tutte le oscillazioni presenti in un corpo.

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1 I CALORI SPECIFICI (a) Hermann Walther Nernst (1906): il terzo principio della termodinamica nell avvicinarsi allo zero assoluto l entropia tende ad assumere un valore costante (indipendente dalla pressione, fase, ecc.). (b) Einstein (1907) (primo modello quantistico per i calori specifici): Se la teoria della radiazione di Planck centra il nocciolo del problema, possiamo aspettarci di riscontrare in altri campi della teoria termica contraddizioni con l attuale teoria [...] e i dati sperimentali, contraddizioni che possono essere eliminate con l indirizzo che abbiamo appena imboccato. (c) Peter Debye (1912) teoria in cui si considera lo spettro di tutte le oscillazioni presenti in un corpo. (d) Sempre nel 1912, indipendentemente da Debye, Max Born e Theodor von Kárman introducono una teoria generale dei calori specifici.

2 Il problema della causalità Rutherford (lettera a Bohr del 1913): Colgo all apparenza una grave difficoltà nella tua ipotesi che non dubito tu abbia ben presente, e cioè come fa un elettrone a decidere con quale frequenza sta vibrando quando passa da uno stato all altro? Mi sembra che avresti dovuto assumere che l elettrone conosca prima dove sta andando a fermarsi. Un problema che è anche connesso con la nozione di vita media introdotta da Rutherford nel 1900 da lui mai menzionato.

3 Una volta introdotto il momento del fotone (quindi anche la sua direzionalità) Einstein si domanda come fa il fotone a sapere in quale direzione muoversi?. Il fatto di affidare al caso l istante e la direzione dei processi elementari è un punto debole della teoria, Che cosa determina l istante in cui il fotone viene emesso spontaneamente? Che cosa decide in quale direzione andrà?. Il carattere casuale degli eventi spontanei continua a tormentare Einstein. Lettera a Besso del 1917: Sento che finora il vero indovinello di cui l eterno inventore di enigmi ci ha fatto dono non è stato affatto compreso. E a Born nel 1920: La faccenda della causalità tormenta molto anche me. L assorbimento e l emissione di quanti di luce possono essere intesi nel senso richiesto da una causalità assoluta, o esiste uno scarto statistico? Devo confessare che mi manca il coraggio di una convinzione; tuttavia mi dispiacerebbe moltissimo dover rinunciare alla causalità assoluta.

4 La nascita della meccanica quantistica

5 Lo stato delle cose nel Due campi: gravitazionale e elettromagnetico. Tre forze: gravitazionale, elettromagnetica e nucleare. Tre particelle: elettrone (1897), fotone ( ) e protone (1919). Due strade: particelle e onde.

6 Le due strade che portano alla MQ: cronologia (prima parte) Louis de Broglie: il 10 settembre 1923 (tesi di dottorato il 25 novembre 1924) propone che comportamento ondulatorio della materia sia simmetrico a quello corpuscolare della radiazione. A ogni particella materiale di impulso p è associata una lunghezza d onda p = h λ. Satyendra Nath Bose: 2 luglio 1924 nuova procedura di conteggio statistico che conduce alla legge di Planck per il corpo nero. Einstein: 10 luglio 1924 estende la procedura di Bose a un gas di particelle materiali monoatomiche. Per questa strada arriva l 8 gennaio del 1925 a associare onde con particelle utilizzando un argomento indipendente da quello di de Broglie. Wolfgang Pauli: 16 gennaio 1925 enuncia il principio di esclusione.

7 Werner Heisenberg: 25 luglio 1925 primo articolo sulla meccanica delle matrici ( Reinterpretazione teorico quantistica delle relazioni cinematiche e meccaniche ). Max Born, Pascual Jordan: 25 settembre 1925 approfondiscono il lavoro di Heisenberg ( Sulla meccanica quantistica, così chiamata per la prima volta da Born in un articolo del 1924). Uhlenbeck e Goudsmit: 17 ottobre 1925 annunciano la scoperta dello spin dell elettrone. Paul A. M. Dirac: 7 novembre 1925 generalizza e formalizza il lavoro di Heisenberg (introduce tra l altro il commutatore [p, q], collegandolo alle parentesi di Poisson {p, q}). Born, Heisenberg e Jordan: 16 novembre 1925 prima complessiva trattazione della meccanica delle matrici. Pauli: 17 gennaio 1926 applicazione della meccanica delle matrici per calcolare lo spettro discreto dell atomo di idrogeno.

8 Erwin Schrödinger: 27 gennaio 1926 la prima di quattro sezioni dell articolo Quantizzazione come problema agli autovalori che inaugura la meccanica ondulatoria. Enrico Fermi: 7 febbraio 1926 il primo articolo sulla statistica di Fermi- Dirac. Born: 25 giugno 1926 primo lavoro sull interpretazione statistica della funzione d onda. Dirac: 26 agosto 1926 rideriva la legge di Planck da principi primi e indipendentemente ottiene la statistica di Fermi-Dirac. Clinton J. Davisson e Lester H. Germer: 3 marzo 1927 rivelano la diffrazione di un fascio di elettroni da parte di un cristallo. Heisenberg: 23 marzo 1927 presenta le relazioni di indeterminazione.

9 Prime interpretazioni della nuova meccanica Born (25 giugno 1926) nel suo lavoro On the quantum mechanics of collision processes introduce l interpretazione statistica della ψ. In generale ψ 2 dv misura la probabilità della particella di trovarsi nell elemento di volume dv. Quindi la meccanica ondulatoria non dà una risposta alla domanda: Dove si trova precisamente la particella dopo la collisione?; essa può rispondere solo alla domanda: Qual è la probabilità che la particella si trovi in una certa regione dopo la collisione?. Il moto delle particelle - afferma Born in questo primo lavoro - si conforma alle leggi della probabilità, ma la probabilità stessa si propaga secondo le leggi della causalità.

10 Prime interpretazioni della nuova meccanica La questione interpretativa riceverà un particolare impulso dopo il mese di marzo del 1927 quando Heisenberg pubblica l articolo con le relazioni di indeterminazione. p q h 2π E t h 2π Le relazioni di indeterminazione hanno come controaltare filosofico quello che Bohr chiama principio di complementarità, da lui enunciato nel settembre del Nel noto dibattito tra Einstein e Bohr le relazioni di indeterminazione svolgeranno un ruolo cruciale: Einstein tenterà di trovare un controesempio alle relazioni di indeterminazione per dimostrare l inconsistenza della teoria, mentre Bohr dimostrerà che i controesempi di Einstein non sono corretti e quindi che la teoria è consistente. (1)

11 Se ne può capire la ragione ricordando la relazione p = h λ particella alla lunghezza d onda della sua funzione d onda. che lega l impulso della Per misurare la posizione di una particella (per esempio un elettrone) è necessario farla interagire con un altra particella (per esempio un fotone). L informazione sulla posizione q dell elettrone sarà tanto più accurata, quanto minore è la lunghezza d onda associata al fotone (ci vuole una lunghezza d onda piccola per apprezzare piccole differenze di posizione q). Piccola lunghezza d onda implica grande impulso (p = h ): la misura di λ posizione ottenuta dall urto con un fotone dotato di grande impulso necessariamente modifica in modo significativo lo stato di moto dell elettrone, rendendo grande l incertezza sul suo impulso. In conclusione: piccola incertezza sulla posizione implica grande incertezza sull impulso, e viceversa, come indicato dalla relazione di Heisenberg. Nel caso di particelle macroscopiche la disuguaglianza risulta sempre soddisfatta, data l estrema piccolezza di h, per qualsiasi accuratezza raggiungibile dagli strumenti di misura, e pertanto non pone limiti (se non quelli dovuti allo strumento di misura) alla precisione delle misure.

12 La nostra interpretazione dei dati sperimentali - dirà Bohr al Congresso di Como, settembre si basa essenzialmente sui concetti classici: per questo ci poniamo il problema se un elettrone sia un onda o un corpuscolo. Nel caso classico, la relazione tra oggetto osservato e strumento di misura può, in linea di principio essere controllata perfettamente, e quindi se l elettrone è un corpuscolo non è un onda, e viceversa: in altre parole il fisico classico può dedurre dal risultato della misura che una delle due descrizioni è errata. Nel caso quantistico, dato che una realtà indipendente nel senso fisico usuale [classico] del termine non può essere attribuita né al fenomeno né agli strumenti di misura, si deduce che l elettrone è un onda o un corpuscolo a seconda dello strumento di misura usato. Quindi, per evitare i presunti paradossi legati al dualismo onda-corpuscolo, bisogna considerare il nuovo nesso che la teoria quantistica introduce tra oggetto e strumento.

13 Questa situazione è chiamata da Bohr complementarità: La natura stessa della teoria dei quanti ci obbliga a considerare il coordinamento spaziotemporale [proprio dei corpuscoli] e l enunciato di causalità [delle onde], l unione dei quali caratterizza le teorie classiche, come aspetti complementari, ma mutuamente esclusivi della descrizione, rappresentazioni complementari dei fenomeni che solo considerati insieme offrono una generalizzazione naturale del modo classico di descrivere le cose.

14 Le statistiche quantistiche In meccanica classica è sempre possibile distinguere particelle identiche: se ad un determinato istante t 0 la particella A occupa la posizione r 1 e la particella B (identica ad A) occupa la posizione r 2, possiamo seguire la traiettoria di entrambe così da essere sempre in grado di distinguere a tempo t > t 0 la particella A dalla particella B. Questo non è più possibile per particelle identiche in meccanica quantistica: una misura di posizione provoca immediatamente incertezza sulla velocità. Diventa impossibile seguire passo per passo le traiettorie delle particelle, e distinguere la particella A dalla particella B.

15 Tale limitazione intrinseca trova espressione nella forma della funzione d onda ψ(r 1, r 2 ) del sistema di due particelle quantistiche identiche. Lo stato fisico del sistema deve rimanere invariato se si scambiano le due particelle, poiché non si possono distinguere l una dall altra. Questo implica che ψ(r 1, r 2 ) 2 la probabilità che una delle particelle si trovi in r 1 e l altra in r 2, deve essere invariante sotto lo scambio di r 1 con r 2 ). Perché questo avvenga si deve avere ψ(r 1, r 2 ) = ±ψ(r 2, r 1 ): scambiando le particelle la funzione ψ deve essere invariante o cambiare di segno (si dice allora rispettivamente simmetrica o antisimmetrica). Per particelle non interagenti, si può scrivere la funzione d onda del sistema in termini di prodotti delle funzioni d onda delle singole particelle, e la condizione di invarianza di ψ sotto scambio r 1 r 2 porta in modo univoco alla seguente espressione: ψ(r 1, r 2 ) = ψ A (r 1 )ψ B (r 2 ) ± ψ A (r 2 )ψ B (r 1 ) (1)

16 Entrambe le possibilità sono realizzate in natura: al caso simmetrico corrispondono i bosoni (da Bose, che con Einstein ne studiò la statistica), al caso antisimmetrico i fermioni (studiati da Fermi e Dirac). Un fondamentale teorema della teoria quantistica dei campi (teorema spin-statistica) afferma che sono bosoni le particelle di spin intero e sono fermioni le particelle di spin semintero. L elettrone ha spin 1/2, e quindi è un fermione. In generale, i quarks e i leptoni sono fermioni. Sono bosoni i fotoni, e in genere le particelle che mediano le interazioni fondamentali. Supponiamo che due elettroni (o in generale due fermioni) identici si trovino nello stesso stato fisico, cioè ψ A = ψ B nella ψ(r 1, r 2 ) = ψ A (r 1 )ψ B (r 2 ) ψ A (r 2 )ψ B (r 1 ) allora, ψ(r 1, r 2 ) = 0 il che si interpreta come segue: non possono coesistere nello stesso stato fisico due fermioni identici Questo importante corollario di (1) prende il nome di principio di esclusione di Pauli.

17 Il fatto che gli elettroni nell atomo debbano avere stati fisici diversi spiega la tavola periodica di Mendeleev: in ogni orbitale possono coesistere al più due elettroni (diversi solo per l orientazione dello spin). Il principio di esclusione entra in gioco in molte proprietà salienti della materia: comportamento dei conduttori e degli isolanti, paramagnetismo dei metalli, proprietà molecolari etc., fino a prevedere l esistenza di oggetti studiati in astrofisica come le stelle di neutroni. I bosoni invece possono coesistere nello stesso stato quantistico: è di recente realizzazione il cosiddetto condensato di Bose-Einstein in cui, per temperature molto basse, un gran numero di bosoni condivide lo stesso stato quantico.

18 Paradossi della meccanica quantistica

19 Struttura della teoria (A) Sistemi fisici e loro stati A ogni sistema fisico S (un oggetto o insieme di oggetti fisici) è associato un particolare spazio vettoriale sul campo numerico C (lo spazio di Hilbert H), i cui elementi (modulo 1) corrispondono agli stati fisici del sistema. Siccome H è uno spazio vettoriale (lineare e chiuso rispetto alla operazione di somma di stati) si ha che: Dati ψ, φ H e α, β C anche αφ + βψ H (principio di sovrapposizione degli stati). (B) Proprietà misurabili ( osservabili quantistiche ) Le osservabili di un sistema fisico sono rappresentate da operatori lineari (operatori hermitiani) sullo spazio vettoriale associato al sistema. Se ψ è un autovettore di un osservabile  corrispondente all autovalore a, Âψ = aψ, allora si dice che lo stato ψ ha valore a per la proprietà misurabile rappresentata da Â.

20 (C) Dinamica Dato ψ all istante (iniziale) t = t o e note le forze cui è soggetto il sistema esiste un algoritmo (l equazione di Schrödinger) tramite il quale, in linea di principio, si può calcolare lo stato ψ del sistema in un qualunque istante t > t o : l evoluzione di ψ è lineare e deterministica. (D) Connessione con gli esperimenti (legge di probabilità quantistica) Dato l osservabile Ô sul sistema S individuato dallo stato ψ si ha ψ = i c i Ω i, con Ω i autovettori di Ô con autovalori ω i La probabilità che la misura di Ô abbia come risultato ω i è c i 2 (0 c i 2 1). (E) Collasso o riduzione del vettore ψ Data ψ = i c i Ω i se ottengo nella misura un certo valore ω j la ψ collassa o è ridotta a ψ = Ω j per cui ripetendo la misura successivamente ottengo con probabilità 1 il valore ω j. (D) e (E) sono regole speciali: è il loro carattere stocastico il vero responsabile dell indeterminismo quantistico.

21 I momenti salienti del dibattito tra Einstein e Bohr 1. il V Congresso Solvay (24-29 ottobre 1927, su elettroni e fotoni, presenti tra gli altri Planck, Einstein, Bohr, Heisenberg, Schrödinger, Dirac, de Broglie, Kramers, Pauli, Eherenfest); 2. il VI Congresso Solvay (20-25 ottobre 1930, sul magnetismo); 3. pubblicazione dell articolo di Einstein, Podolsky e Rosen, Can Quantum- Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete, Phys. Rev. 47 (1935), pp , la risposta di Bohr in un articolo con lo stesso titolo che compare sul Phys. Rev. 48 (1935), pp [cf. P. Schilpp, Albert Einstein: philosopher scientist, 1949, tr. it. Boringhieri 1958 e ancora nel 1979 con il titolo Autobiografia Scientifica ]

22 Le questioni dibattute possono essere sintetizzate nei tre seguenti temi: (I) Demarcazione tra classico e quantistico. Esiste, nel sistema fisico complessivo costituito dal (sistema fisico investigato)+(apparato di misura), una linea di demarcazione (difficilmente definibile in via di principio ma identificabile di volta in volta a seconda del sistema complessivo preso in esame) tra parti classiche e parti quantistiche (cioè sostanzialmente che obbediscono alle relazioni di indeterminazione). (II) Consistenza della teoria. Tentativi di Einstein di ideare esperimenti ideali che evidenzino una inconsistenza (contraddittorietà) della teoria. (III) Completezza della teoria. Ammessa la consistenza, la teoria offre davvero una descrizione completa dei sistemi fisici?

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24 L articolo di Einstein, Podolsky e Rosen (1935) Ammettiamo che la teoria sia consistente, ma è anche completa? Quali sono le condizioni che definiscono la completezza di una teoria? Perché una teoria sia completa ogni elemento di realtà fisica deve avere una controparte nella teoria. Quali sono gli elementi di realtà fisica? Se, senza disturbare in alcun modo un sistema, è possibile predire con certezza (cioè con probabilità uguale a 1) il valore di una quantità fisica, allora esiste un elemento di realtà fisica corrispondente a questa quantità fisica [il sistema possiede oggettivamente la relativa proprietà].

25 L idea è quella di mettersi nelle condizioni di predire con certezza il risultato di una misura che verrà compiuta (in futuro) su un sistema senza interagire in alcun modo con esso. Questo significa che ora (prima della misura, non appena possiamo predirne con certezza il risultato) ci deve essere qualcosa nel sistema (con il quale non interagisco), una qualche proprietà oggettiva, in virtù della quale quella misura futura debba dare proprio quel risultato. Se le predizioni empiriche della meccanica quantistica sono corrette argomentano EPR usando la meccanica quantistica contro sé stessa allora ci sono elementi di realtà del mondo che non hanno corrispondenza nella descrizione data dalla teoria quantistica.

26 EPR Consideriamo il seguente esempio. Due particelle, le cui variabili coniugate di moto e di posizione sono rispettivamente (p 1, q 1 ) e (p 2, q 2 ), si trovano in uno stato iniziale di quantità di moto totale definita P = p 1 + p 2 e di distanza relativa definita Q = q 1 q 2 ([P, Q] = 0, quindi è possibile misurarli simultaneamente). Dopo l interazione iniziale si lasci andare le particelle ognuna per suo conto e dopo un sufficiente lasso di tempo si compiano osservazioni sulla particella 1: misurando p 1 si conoscerà p 2 senza intervenire sulla particella 2 e, successivamente, misurando q 1 si conoscerà q 2 senza intervenire sulla particella 2. Quindi p 2 e q 2 sono entrambi, simultaneamente, elementi di realtà della particella 2, per i quali la meccanica quantistica non ha strumenti di descrizione e quindi la meccanica quantistica è incompleta. La località è un punto cruciale Se all istante della misurazione i due sistemi non interagiscono più, nessun cambiamento reale può aver luogo nel secondo sistema come conseguenza di un qualunque intervento sul primo. Gli elementi di realtà di un sistema fisico non possono essere influenzati istantaneamente a distanza. La particella 2 possiede quindi una proprietà che non trova espressione nell apparato formale della teoria (la ψ del sistema).

27 Abbiamo dimostrato in precedenza che o (A) la descrizione quantistica della realtà data dalla funzione d onda è incompleta o (B) quando gli operatori corrispondenti a due quantità fisiche non commutano le due quantità non possono avere realtà simultanea. Abbiamo assunto che la descrizione della realtà fornita dalla funzione d onda fosse completa e siamo arrivati alla conclusione che due quantità fisiche associate a operatori non commutanti possono avere realtà simultanea. Quindi la negazione di (A) conduce alla negazione dell unica altra alternativa (B). Siamo quindi forzati a concludere che la descrizione quantistica della realtà fisica data dalle funzioni d onda è incompleta. Si potrebbe criticare la conclusione sulla base del fatto che il nostro criterio di realtà non è sufficientemente restrittivo. Infatti, si potrebbe non arrivare alla nostra conclusione se si sostenesse che due o più quantità fisiche possono essere considerate come elementi simultanei di realtà solo quando possono essere simultaneamente misurati o predetti. Da questo puntodi vista siccome p 2 e q 2 non commutano non possono essere simultaneamente reali. Questo però rende la realtà di p 2 e q 2 dipendente dal processo di misura condotto sul primo sistema, che non disturba in alcun modo il secondo. Nessuna ragionevole definizione di realtà potrebbe permettere questo fatto.

28 [Bohm, 1951] Consideriamo un sistema composto da due particelle di spin 1/2 in uno stato di singoletto (spin totale 0), e supponiamo che il sistema venga scisso nelle due particelle (da un processo che non influenzi il loro momento angolare totale) che iniziano a muoversi liberamente in direzione opposta. Lo stato del sistema sarà descritto dalla seguente funzione d onda: Ψ = 1 2 [ψ + (1)ψ (2) ψ (1)ψ + (2)], un espressione che vale qualunque sia la direzione in cui misuriamo lo spin. Ogni misura dello spin sulla particella (1) in una certa direzione fornisce una misura indiretta della stessa componente dello spin della particella (2). Possiamo sempre fare misure successive dello spin della particella (1) lungo le direzioni x, y, z, riorientando liberamente l apparato di misura lungo la traiettoria di volo della particella ottenendo valori (impredicibili) definiti del suo spin in diverse direzioni (incompatibili). Ma questo avviene senza in alcun modo disturbare la particella (2) quindi devono esistere elementi di realtà definiti in (2) corrispondenti alla simultanea definizione di tutte e tre le componenti del suo spin. Siccome la funzione d onda specifica al più una di queste componenti in un certo istante di tempo, essa non fornisce una descrizione completa.

29 Il problema della misurazione quantistica Qual è il significato del collasso della funzione d onda? È possibile renderlo consistente con l evoluzione deterministica descritta dall equazione di Schrödinger? Sia S un sistema fisico e A uno strumento di misura. Lo stato di S sia descritto da c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 e quello di A (inizialmente) da α i,... Allora l evoluzione del sistema complessivo S + A è esprimibile come segue: Ψ i S+A = (c 1ψ 1 + c 2 ψ 2 ) α i Ψ f S+A = c 1ψ 1 α f 1 + c 2ψ 2 α f 2 (5) ma Ψ f S+A è uno stato puro diverso da una miscela statistica che vorrebbe ψ 1α f 1 con probabilità c 1 2 e ψ 2 α f 2 con probabilità c 2 2 per le diverse letture su A. In Ψ f S+A, se non si ammette il postulato di proiezione, coesistono tutti gli stati che pure sono macroscopicamente distinti (stato inconcepibile). Il postulato di proiezione sancisce un dualismo nell evoluzione dinamica: stocastica-non lineare-irreversibile versus deterministica-lineare-reversibile Esso è conseguenza del dualismo delle situazioni fisiche tra sistemi microscopici (che collassano) e macroscopici (classici, che attuano la riduzione). Questa distinzione, facile spesso da stabilire in pratica, è difficilmente definibile in linea di principio e introduce una vaghezza descrittiva e interpretativa nella teoria fisica fondamentale, che sembra incapace al suo interno di dar conto del processo di misura.

30 Il problema della misurazione quantistica: ortodossia e paradossi Posizione ortodossa Esistono sistemi (apparati di misura) che non obbediscono alle leggi della teoria quantistica. La catena di von Neumann Sia dato un sistema S descritto da c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 e una successione di misure con strumenti A, B,... che hanno indici inizialmente negli stati individuati da α i, β i,..., si ha allora: Ψ i S+A+B+... = (c 1ψ 1 + c 2 ψ 2 ) α i β i... (c 1 ψ 1 α f 1 + c 2ψ 2 α f 2 )βi... (c 1 ψ 1 α f 1 βf 1 + c 2ψ 2 α f 2 βf 1 )... Ψf S+A+B+... interrompendo la catena (collasso) al primo passo tutti gli altri leggeranno la stessa cosa: ma dove e perché interrompere la catena?

31 Due sono i paradossi particolarmente noti legati al problema della riduzione della funzione d onda: Il gatto di Schrödinger ( Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik [L attuale situazione nella M.Q.], Die Naturwissenschaften 23 (1935), , ) [ristampato in Wheeler e Zurek (eds.), Quantum Theory of Measurement, Princeton 1983]: (c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) (GAT T O) i c 1 ψ 1 (GAT T O) vivo +c 2 ψ 2 (GAT T O) morto L amico di Wigner ( Remark on the Mind-Body Question,in The Scientist Speculates, I.J. Good (ed.), Basic Books, New York 1962, ristampato in E.P. Wigner, Symmetries and Reflections, Indiana Univ. Press, 1967).

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