PROCESSI DI LÉVY COME MODELLI DI MERCATO

PROCESSI DI LÉVY COME MODELLI DI MERCATO Applicazione della Trasformata di Fourier nell Option Pricing Nicoletta Gabrielli Dipartimento di Matematica G. Castelnuovo Sapienza - Università di Roma 14 Luglio 2009

Teorema S t = S 0 e rt+xt dove X t è un processo di Lévy tale che exp(x t ) sia una martingala. S X = {z = u + iv : v (a, b)} con a < 1 e b > 0 striscia in cui la funzione caratteristica φ T (x) di X T è analitica. Payoff w(x) 0, dove x = log S T, con w(x) integrabile secondo Fourier in una striscia e limitata per x <, con trasformata ŵ(z), z S w. Se S V := S w SX è non vuota, il valore dell opzione è dato da V (S 0 ) = e rt 2π iv+ iv e izy φ T ( z)ŵ(z)dz z S V (1) dove v = Im(z) e Y = log S 0 + rt.

Caso Call Contratto Payoff Payoff Trasformato Restrizioni Call max(s T K, 0) K 1+iz z 2 iz Im(z) > 1 Put max(k S T, 0) K 1+iz z 2 iz Im(z) < 0 K Call coperte min(s t, K ) 1+iz z 2 iz 0 < Im(z) < 1 S X = {u + iv : v (α, β)} con α < 0 e β > 1, con C(S, K, T ) = Ke rt 2π iv1 + iv 1 e izk dz φ T ( z) z 2 iz. v 1 (1, β) (2) k = log S K + rt. Dal momento che β > 1 siamo sicuri dell esistenza del precedente integrale perchè l intervallo (1, β) è aperto.

Γ 1 = t + iv 2 t [ R, R], Γ R = R + it t [v 2, v 1 ], Γ 2 = t + iv 1 t [ R, R], Γ R = R it t [v 2, v 1 ] C(S, K, T ) = S Ke rt 2π iv2 + iv 2 e izk dz φ T ( z) z 2 iz, ν 2 (0, 1) Esempio ν 2 = 1 2 C(S, K, T ) = S SK π e T 2 r 0 ( Re e iuk φ T (u i 2 ) ) du u 2 + 1 4

Γ 3 = t + iv 3 t [ R, R], Γ R = R + it t [v 3, v 1 ], Γ 1 = t + iv 1 t [ R, R], Γ R = R it t [v 3, v 1 ] Put-Call Parity C(S, K, T ) = P(S, K, T ) + S Ke rt.

Ke rt 2π iv1 + iv 1 [ i e izk φ T ( z) z i ] =: I 1 + I 2. z i Γ 1 = t + iv 1 t [ R, R], Γ R = R it t [0, v 1 ], L 1 = t t [ɛ, R], C ɛ = e iθ θ [0, π], L 2 = t t [ R, ɛ], Γ R = R + it t [0, v 1 ]. Formula di tipo Black-Scholes C(S, K, T ) = SΠ 1 Ke rt Π 2, Π 1 = 1 2 + 1 + [ e iuk φ T (u i) ] Re du π 0 iu Π 2 = 1 2 + 1 + [ e iuk φ T (u) ] Re du. π 0 iu

VG f VG (x) = Φ X (u) = 2e ( θx/σ2 ν t ν 2πσΓ(t/ν) K t ν 1 2 ( x 2 ) t 2σ 2 /ν + θ 2 ( 1 ) σ 2 x 2 (2σ 2 /ν + θ 2 ) 1 ) t ν 1 iθνu + (σ 2 ν/2)u 2 2ν 1 4 dove K ν (z) = 1 2 ( z 2 ) ν 0 z2 u e 4u u ν 1 du, z > 0

Distribuzione VG

( 1 c C = S 0 Ψ d 1 con Ψ(a, b, γ) = + 0 Φ Formule implementate, (α + s) ν, ν 1 c ( 1 a u + b ) u t ν ) ( ) Ke rt 1 c Ψ d 2, α ν t, ν 1 c 2 ν u γ 1 e u du Γ(γ) VGP C = Se qt Π 1 Ke rt Π 2 con Π 1 = 1 + 1 + Re 2 π 0 Π 2 = 1 + 1 + Re 2 π 0 [ e iuk φt (u i) iu [ e iuk φt (u) iu ] du ] du VGPS C = e αk π + 0 e ivk e rt φ T (v (α+1)i) α 2 +α v 2 +i(2α+1)v dv VGFIC C = e αku N π j=1 e 2π N (j 1)(u 1) e ibv j ψ T (v j ) η [3 + 3 ( 1)j δ j 1 ] con ψ T (v) = e rt φ T (v (α+1)i) α 2 +α v 2 +i(2α+1)v VGFFTC

Risultati numerici Maturity VGP VGPS VGFIC VGFFTC 0.25 3.440135 3.474227 3.475609 3.612954 0.5 6.239446 6.240614 6.247392 6.349113 0.75 8.690884 8.690841 8.707660 8.790918 1 10.981559 10.981577 11.013583 11.079642 Tempo medio 0.022500 0.027500 0.082500 0.025000 Tabella : Prezzi di opzioni call su un assett con prezzo iniziale S 0 = 100, prezzo di esercizio K = 101 e tasso di interesse risk-free r = 0.1. I parametri del processo Variance Gamma scelti sono θ = 0.1435, σ = 0.12136, ν = 0.3.

Merton e λt (λt) n f M (x) = N (x) n! n=0 { ( Φ X (u) = exp t iuγ 1 )} 2 δ2 u 2 + λ(e ium 1 2 σ2 u 2 1) ( 1 con N (x) = exp 2π(σ2 t+nδ 2 ) (x (r σ 2 2 λ(em+δ2 /2 1))t+nm)) 2 2(σ 2 t+nδ 2 ) )

Densità Merton Figura : Densità dei rendimenti log al variare del parametro m. I valori fissi sono T = 0.25, r = 0.03, σ = 0.2, λ = 1, δ = 0.1 Figura : Densità dei rendimenti log al variare del parametro λ. I valori fissi sono T = 0.25, r = 0.03, σ = 0.2, m = 0.03, δ = 0.1

Formule implementate C = e λτ (λτ) n n 0 C n! BS (t, S n, σ n) con σn 2 = σ 2 + nδ2 τ( ) S n = S exp nm + nδ2 λτe m+δ/2 + λτ 2 C BS (τ, S, σ) = e rτ E[H(Se (r σ2 /2)τ+σB τ )] Merton Sum Expansion C = S ) SK T π e 2 (r+q) Re (e iuk φ 0 T (u i2 ) du u 2 + 1 4 Merton+Fourier

Figura : Confronto tra i prezzi Merton e i prezzi Black-Scholes. I parametri comuni sono S = 50, r = 0.05, q = 0.02, T = 0.25, σ BS = 0.2, σ M = 0.141421

Merton Sum Merton+Lewis Tempo impiegato 0.980000 0.260000 Tabella : Contronto tra i tempi impiegati da i due metodi implementati per il Modello Merton con stessi parametri di input.

Merton implied volatility surface - m

Merton implied volatility surface - σ

Merton implied volatility surface - δ

VG implied volatility surface - ν

VG implied volatility surface -θ