Oscillazioni e Onde A. Palano Testi di riferimento: S. Rosati: Fisica Generale, Ambrosiana R. Resnick, D. Halliday, K.S. Krane, Fisica 1, Ambrosiana U. Ingard, W.L. Kraushaar, Introduction to Mechanics Matter, and Waves, Addison-Wesley
Oscillazioni smorzate Consideriamo di un semplice oscillatore armonico. La figura mostra un corpo poggiato su un piano privo di attrito e collegato ad una molla fissata ad un estremo. Spostando il corpo dalla sua posizione di equilibrio, esso iniziera' ad oscillare indefinitamente sempre con la stessa ampiezza. Sappiamo anche che in questo processo si conserva l'energia meccanica, per cui la somma dell'energia potenziale elastica e dell'energia cinetica rimarra' costante nel tempo. In tale situazione la legge oraria del moto sara' del tipo Supponiamo ora di inserire una forza di attrito fra il corpo e il piano di appoggio. Tale forza si opporra' al movimento e produrra' un lavoro negativo. Cio' portera' gradualmente ad una diminuzione dell'energia totale attraverso la relazione: dove e' il lavoro fatto dalle forze non conservative, in questo caso l'attrito. Cio' portera' gradualmente ad una diminuzione dell'energia totale e quindi dell'ampiezza delle oscillazioni. In questo caso avremo a che fare con un "oscillatore smorzato".
Oscillazioni smorzate Supponiamo che la forza di attrito sia dipendente dalla velocita'. La II legge di Newton si scrive quindi come: Supponiamo che le condizioni iniziali siano per t=0. La soluzione della (1) e': in cui e e il periodo vale: dove Osserviamo che la frequenza diminuisce e quindi il periodo aumenta. L'effetto e' pero' generalmente molto piccolo. La quantita ha le dimensioni di un tempo ed e' una misura della vita media dell'oscillatore. Dopo un tempo l'ampiezza e' diminuita di circa 1/3 del valore iniziale.
Oscillazioni smorzate Dalla (2) osserviamo che il periodo diventa infinito quando: Introducendo il fattore di qualita' Q: questo corrisponde ad un valore di Q=1/2 e quindi: In queste condizioni l'oscillatore si dice smorzato criticamente. (a) Q<1/2 (b) Q=1/2 (c) Q>1/2
La Risonanza Tale fenomeno e' presente in diversi capitoli della Fisica anche se, in questo caso, ne faremo una trattazione puramente meccanica. La Figura mostra un oscillatore armonico. Tale oscillatore, se la molla ha una costante elastica K e la massa del corpo e' m, avra' una pulsazione che chiameremo e sara': Il corpo quindi, in assenza di attrito, oscillerebbe secondo la legge: Supponiamo ora che sia presente anche una forza di attrito fra corpo e piano e questa sia di un tipo che dipende linearmente dalla velocita'. Essa potra' essere quindi essere scritta come: Supponiamo ora che, in aggiunta alla forza elastica e alla forza di attrito, sia presente una nuova forza di tipo particolare: una forza oscillante nel tempo, con una sua pulsazione diversa da. Tale forza non necessariamente sara' in fase con il moto, per cui potra' essere scritta mediante un'espressione del tipo: Quale sara' il tipo di moto risultante? Il corpo oscillera' ovviamente con la pulsazione della forza, quindi il suo moto sara' del tipo: Quale relazione esiste fra la forza (2) e lo spostamento (3)? Per arrivare a comprenderlo utilizziamo la seconda legge di Newton, la somma di tutte le forze presenti produrranno un'accelerazione per cui:
La risonanza Ovvero: Teniamo ora presente la (3) e calcoliamo le sue derivate prima e seconda per poterle introdurre nella (4): Tenendo ora presente la (2), che sara' sviluppata secondo l'espressione del seno della somma di due angoli, la (3) diviene: Questa, raggruppando i termini in coseno, si puo' riscrivere come: Perche' i due termini a sinistra e a destra della (6) siano uguali, e' necessario che i coefficienti che moltiplicano i termini in e siano uguali, quindi otteniamo due espressioni: e Dove si e' fatto uso della (1). La (7) e la (8) possono essere combinate insieme per ottenere (8): e. Quadrando e sommando la (7) con la dove si e' fatto uso del fatto che.
La risonanza Da questa possiamo ottenere l'ampiezza : oppure: Dividendo la (8) per la (7), otteniamo la fase relativa: Le equazioni (11) e (12) descrivono il fenomeno della risonanza. Osserviamo in particolare l'equazione (11) che fornisce l'ampiezza dell'oscillazione risultante. Qui notiamo che nel denominatore compare il termine. Se sollecitiamo il sistema con un'oscillazione che abbia una pulsazione proprio uguale a quella naturale del sistema ( ), tale termine diventa uguale a 1. Il termine nella radice quadrata diventa in questo caso zero e il valore di diventa molto grande, frenato solo dal termine R che rappresenta la scala della forza di attrito. Se l'attrito e' molto piccolo o addirittura nullo, l'ampiezza dell'oscillazione puo' risultare infinita. La figura mostra graficamente il fenomeno della risonanza. La (12) invece descrive la fase relativa fra forza e spostamento. Alla risonanza anche la diventa infinita, il che equivale ad avere. Alla risonanza ampiezza e forza sono perpendicolari fra di loro. Per pulsazioni inferiori a quella di risonanza esse sono in fase, per pulsazioni superiori esse sono in opposizione di fase.
Onde Apparente violazione della legge di conservazione della quantita di moto. Occorre considerare, nel bilancio, anche la propagazione dell onda. Onde trasversali su una corda. Figura.
Onde trasversali Vogliamo ora studiare con piu' dettaglio e quantitativamente la dinamica che porta alla formazione di un'onda. La Figura mostra un pezzo di corda nella quale si propaga un'onda. In particolare, consideriamone un tratto infinitesimo. Consideriamo anche due assi cartesiani x e y come in figura. Un tratto di corda momentaneamente fuori dalla sua posizione di equilibrio, tende a ritornarvi a causa delle forze di tipo elastico presenti sulla corda. Queste forze sono rappresentate dalla tensione della corda T che, per definizione, risulta sempre tangente alla corda. L'angolo formato dalla tensione T con l'asse x avra' due valori diversi ai due estremi del tratto che indicheremo con e. Oserviamo ora le componenti della tensione T ai due estremi del tratto del tratto. Notiamo anche come le componenti orizzontali siano uguali e di segno contrario. Lungo l'asse y invece abbiamo un movimento, e questo deve essere provocato dalla somma delle componenti delle due tensioni e. Supponiamo ora che il tratto di corda interessato abbia una densita' lineare, per cui la massa infinitesima del tratto di corda sara': Applichiamo ora la II legge di Newton al tratto di corda: Calcoliamo ora le due componenti delle tensioni e. Poiche' abbiamo indicato con l'angolo formato fra la tensione T e l'asse orizzontale, le componenti saranno semplicemente date da. Faremo ora uso di una proprieta' delle funzioni trigonometriche di angoli molto piccoli. Poiche' in generale lo spostamento trasversale della corda e' molto piccolo, anche gli angoli interessati lo saranno per cui, per un angolo piccolo si puo' verificare che: Ricordiamo ora la rappresentazione geometrica della funzione derivata, ovvero che la derivata di una funzione in un punto non e' altri che la tangente dell'angolo formato dalla retta tangente alla curva nel punto considerato con l'asse delle ascisse. Utilizzando queste informazioni potremo quindi scrivere:
Equazione di D alembert La (1) diviene quindi: dove abbiamo indicato con e le derivate della funzione nei punti 2 e 1. La (2) puo' anche essere scritta come: Teniamo ora presente che il lato sinistro della (3) non e' altri che un rapporto incrementale di una funzione derivata: quindi una derivata seconda. Facendo quindi tendere a zero il tratto, essa diviene: Il risultato ottenuto rappresenta l'equazione differenziale dell'onda e' nota come equazione di D'Alembert. Il procedimento utilizzato fa uso delle onde su una corda ma si pu' dimostrare che esso e' di validita' generale. Per renderla ancora piu' generale, cerchiamo di ricavare il significato del termine attaverso lo studio delle sue unita' di misura. Tenendo presente che la tensione si esprime in Newton e la densita' in Kg/m, otterremo: Il rapporto studiato non e' altri che l'inverso della velocita' dell'onda al quadrato, ovvero: La (4) diviene quindi: Questa rappresenta l'equazione differenziale generale di tutte le onde.
Proprieta delle onde Si puo' dimostrare che la soluzione dell'equazione differenziale di D'Alembert deve dipendere dalla posizione x, dal tempo t e dalla velocita' v. Si potra' scrivere quindi come: dove e' una funzione cha ha una forma qualsiasi. I due temini nella (1) descrivono rispettivamente un'onda che si propaga verso destra ( ) o verso sinistra ( ) mantenendo invariata la forma della funzione. Teorema di Fourier. Si definisce periodica una funzione matematica che si ripete in modo identico ad intervalli regolari che vengono definiti ``Periodo''. Si puo' dimostrare che una qualunque funzione matematica periodica si puo' sviluppare in quella che viene definita ``Serie di Fourier''. Tale sviluppo in serie consiste di funzioni seno e coseno con ampiezze, pulsazioni e fasi diverse: La Figura illustra graficamente tale teorema. Essa mostra tre onde sinusoidali che possono essere variate a piacere in ampiezza, fase e pulsazione per ottenere funzioni di varie forme. Tale teorema ci e' molto utile in quanto ci permette di trattare le onde nella loro forma piu' semplice: quella sinusoidale. Onde di forma piu' complessa possono essere sempre immaginate come la somma di tante onde sinusoidali. Scriveremo quindi l'onda elementare (che cammina verso destra) come:
Proprieta delle onde Nella (1) rappresenta l'ampiezza massima dell'oscillazione. Notiamo che tale funzione dipende sia dallo spazio che dal tempo. Il termine si chiama numero d'onda ed e' uguale a: dove rappresenta la lunghezza d'onda. Per comprendere il significato di tali variabili, consideriamo l'onda sinusoidale mostrata nella Figura. Un punto fisso si muove invece di moto armonico verticale, con una pulsazione e un periodo di oscillazione tale che: Le due variabili e non sono indipendenti, ma legate dalla velocita' dell'onda. In un periodo l'onda si muove di un tratto tale che: Per un onda che cammina verso sinistra scriveremo
Proprieta delle onde In alcuni casi e' utile utilizzare la notazione complessa: dove e' sottinteso che viene considerata solo la parte reale. Introducendo una fase :
Onde Sferiche e Onde piane. La Figura mostra un'onda in due dimensioni. Tale onda puo' essere immaginata come prodotta da un'oscillatore che colpisce periodicamente una superficie piana (ad esempio di acqua). Si svilupperanno in questo caso delle onde circolari che si propagano in tutte le direzioni. Se immaginiamo il fenomeno nello spazio, come nel caso di una sorgente luminosa o di un suono, avremo in questo caso onde sferiche. I cerchi dove l'ampiezza dell'onda ha sempre lo stesso valore si chiamano fronti d'onda. Notiamo nella figura che se ci poniamo ad una distanza molto grande dalla sorgente e su una superficie molto piccola, i fronti d'onda possono essere confusi con delle rette. Nel caso spaziale tali fronti d'onda possono essere immaginati come piani. Le onde piane sono quindi onde sferiche osservate a grandi distanze dalla sorgente.
Energia trasportata da un onda La Figura mostra una semplice onda sinusoidale su una corda. Dal punto di vista energetico, poiche' un'onda viene generata dalle proprieta' elastiche della materia, osserviamo che nel suo processo oscillatorio abbiamo una continua conversione di energia cinetica in potenziale e viceversa. In un istante generico saranno presenti tutte e due le forme di energia. Per calcolare l'energia totale trasportata da un pezzo di corda possiamo sfruttare l'istante in cui tutta l'energia e' nella forma cinetica. Questo accade quando il pezzo di corda passa attraverso la posizione di equilibrio, ovvero e' orizzontale. Se consideriamo allora un pezzo di corda di lunghezza e densita' lineare, essa contiene una massa, la sua velocita' sara' e quindi la sua energia cinetica sara': Se scriviamo l'equazione dell'onda come: derivando rispetto al tempo avremo: Imponiamo ora che la corda stia passando per la sua posizione di equilibrio, Cio' equivale a richiedere che sia y=0, ovvero dalla (2) questo accade quando : Imponendo questa condizione nella (3), e quindi otteniamo: Sostituendo nella (1): Se vogliamo calcolare l'energia trasportata da un pezzo di corda di lunghezza l dobbiamo integrare: Da notare, nella (4) come l'energia trasportata dall'onda dipenda dal quadrato dell'ampiezza.
Energia trasportata da un onda La Figura mostra un'onda sferica che si propaga da una sorgente puntiforme. Supponiamo ora che l'onda venga percepita da un rivelatore che abbia una superficie A. Vogliamo calcolare l'energia raccolta da tale rivelatore. Supponiamo di indicare con E l'energia trasportata da ogni fronte d'onda. Tale energia sara' distribuita su una sfera e quindi la densita' di energia sulla sfera sara : dove r e' il raggio della sfera. Se il rivelatore si trova ad una distanza r dalla sorgente, esso raccogliera' un'energia pari a: Per cui la quantita' di energia raccolta dal rivelatore diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza.
Interferenza e onde stazionarie Il fenomeno dell'interferenza e' molto importante e, ancora una volta, e' presente in molti settori della fisica. In questi esempi ne mostreremo gli effetti sulle onde trasversali, ma questi si possono estendere facilmente a tutti i tipi di onde. Principio di sovrapposizione. Lo spostamento prodotto da due o piu onde e la somma degli spostamenti che le singole onde provocherebbero separatamente. La FIGURA mostra due onde trasversali che viaggiano nella stessa direzione con la stessa velocita' e la stessa pulsazione. Le due onde mantengono anche una differenza di fase costante. Chiameremo queste due onde ``coerenti''. Questa caratteristica risulta essenziale per ottenere il fenomeno dell'interferenza. Per semplicita' supporremo anche che le due onde abbiano la stessa ampiezza. Scriveremo le due onde come: L'onda risultante sara': Ricordiamo ora le formule di prostaferesi: Per cui la (3) diventa: La (5) mostra ancora un'onda che si propaga verso destra e sfasata di rispetto alle due onde. Osserviamo pero' che l'ampiezza dell'onda e' rappresentata dal termine:
Interferenza e onde stazionarie Tale ampiezza dipende dalla differenza di fase. Se le onde si dicono in fase e abbiamo quella che si chiama interferenza costruttiva. L'ampiezza risultante e' il doppio dell'ampiezza di ciascuna onda. Se, ovvero allora le due onde sono in opposizione di fase, l'ampiezza risultante e' nulla e abbiamo interferenza distruttiva. Questa caratteristica e' peculiare delle onde, per cui la somma di due onde puo' dare anche contributo nullo. Supponiamo ora di avere due onde che camminino in direzioni opposte: Sommando otterremo: La (6) non rappresenta piu' un'onda che si propaga, in quanto i termini spaziale e temporale sono separati. Otteniamo invece un'onda stazionaria, in cui l'ampiezza varia secondo una funzione Quando il valore del coseno e' nullo, l'ampiezza e' nulla e tale rimane per sempre. Tali punti vengono chiamati nodi. Un esempio di onde stazionarie e' rappresentato dalle vibrazioni di una corda fissa ai due estremi, come quella di una chitarra. In questo caso, se L e' la lunghezza della corda, e' facile dedurre che si possono formare onde stazionarie governate dalle legge che nella lunghezza L vi puo' solo essere un numero intero di mezze lunghezze d'onda.
Esercizio Due altoparlanti e un ricevitore di onde acustiche sono disposti ai vertici di un triangolo rettangolo di cateti a e b. I due altoparlanti sono comandati da un generatore di segnali sinusoidali di frequenza variabile fra 100 e 1200 Hz. La velocita' del suono sia v. Calcolare per quali frequenze si ottengono sul ricevitore massimi di interferenza sapendo che i due altoparlanti oscillano in fase. I massimi si ottengono quando la differenza fra i cammini dai due altoparlanti al ricevitore e' un multiplo intero della lunghezza d'onda. La differenza di cammino in questo caso e': Quindi otteniamo: Poiche': Otteniamo le frequenze dei massimi: Nell'intervallo trasmesso, per N=1,2,3 abbiamo =333, 666, 999 Hz 19
Velocita' di gruppo e di fase. Treni d'onda di lunghezza infinita e durata infinita. Onda piana: Superfici di fase costante: Differenziando si ottiene la velocita' di fase: Nella realta' si ha a che fare con treni d'onda di lunghezza finita: pacchetti d'onda. Sovrapposizione di un continuo di onde monocromatiche di durata infinita. Se la propagazione avviene in un mezzo dispersivo (velocita dipendente dalla lunghezza d onda), la dispersione produce velocita' di fase diverse e il treno si deforma, dilatandosi. 20
Velocita' di gruppo e di fase. Consideriamo due onde con uguale ampiezza ma frequenza prossima: L'onda risultante e' data da: Questa si puo' scrivere come: e l'onda si propaga con una pulsazione: e numero d'onda: L'ampiezza e' data da: 21
Velocita' di gruppo e di fase. Questa ha una forma sinusoidale con una pulsazione: e numero d'onda: I piani di fase costante sono dati da: Velocita' di fase: I piani di fase costante per l'ampiezza dell'oscillazione si ottengono da: Differenziando otteniamo la velocita' di gruppo: 22
Se le frequenze sono molto prossime: Velocita' di gruppo e di fase. Mezzi dispersivi in cui v cresce con (dispersione normale) la velocita' di gruppo e' minore di quella di fase. Se v diminuisce con : Dispersione anomala,. Pacchetto d'onde: velocita' di gruppo e' la velocita' con cui si sposta l'intero pacchetto. L'energia si propaga con la velocita' di gruppo. Fenomeno dei battimenti. Sovrapposizione fra due onde aventi frequenze prossime. 23
Onde su due mezzi diversi. Corda vibrante Supponiamo di avere due corde (1) e (2) legate in un punto. Mettiamo in questo punto l'origine delle coordinate. L'onda incidente su scrive come: Le onde trasmesse e riflesse sono: Lo spostamento verticale in ogni punto della corda (1) e': per la corda (2): Il punto di contatto ha x=0. In questo punto dobbiamo avere: Quindi: oppure: Ricordando ora la discussione delle onde trasversali su una corda, abbiamo: Poiche' e' piccolo. Per la corda (2). 24
Corda vibrante Allora: Analogamente, per la corda (2) si puo' scrivere: Nel punto di giunzione le due forze devono essere uguali, ponendo anche e semplificando T, otteniamo: e semplificando: oppure: e abbiamo anche: Risolvendo il sistema di equazioni abbiamo: che forniscono le ampiezze delle onde riflesse e rifratte. 25
Ricordando che Corda vibrante possiamo scrivere: Ricordando che: (sostituire m con ρ) otteniamo: Indichiamo con T il coefficiente di rifrazione (o trasmissione): In dichiamo con R il coefficiente di riflessione: Notiamo che T e' sempre positivo, quindi l'onda trasmessa e' sempre in fase con quella incidente. R invece puo' essere positivo o negativo a seconda se o. L'onda riflessa puo' essere in fase o in opposizione di fase con l'onda incidente. Notiamo che l'energia trasmessa o riflessa sono proporzionali a e. 26
. Corda vibrante 27
Onde longitudinali e trasversali L'onda che abbiamo studiato finora aveva una importante proprieta' per cui il processo oscillatorio avviane nelle direzione perpendicolare allo spostamento. Tale onda viene definita ``trasversale''. Tali tipi di onde sono molto comuni in fisica. Ad esempio la luce e' un'onda elettromagnetica di tipo trasversale in cui i campi elettrici e magnetici oscillano nella direzione perpendicolare alla direzione di propagazione. La FIGURA mostra la propagazione di un'onda elettromagnetica. Onde trasversali si producono sulla superficie di separazione fra due mezzi con densita' diverse (ad esempio le onde del mare) o nei solidi. Un'altro tipo di onde e' rappresentato dalle ``onde longitudinali''. Qui l'oscillazione avviene nella stessa direzione dello spostamento del'onda. La FIGURA mostra un esempio di onda longitudinale che si propaga su una molla di lunghezza molto grande. In questo caso osserviamo come la deformazione della molla si propaghi come una perturbazione che deforma la densita' delle spire. Un meccanismo analogo vale per un'onda che si propaghi in un materiale solido. Un parallelepipedo solido puo' essere rappresentato come un oggetto elastico. Una perturbazione produce una deformazione elastica locale che poi si trasmette attraverso il solido.
Onde longitudinali e trasversali Analoga e' la situazione per un gas, dove invece la perturbazione e' rappresentata da una variazione di pressione. Nel caso delle onde longitudinali in un fluido, si definisce il modulo di compressibilita' K dalla relazione: dove e' la pressione applicata e e' la variazione di volume relativa. La (1) puo' essere compresa come la legge di Hook per un fluido. La velocita' dell'onda longitudinale vale quindi: dove e' la densita' del mezzo. Nel caso dell'acqua m/sec, nel caso dell'aria m/sec (suono).
Onde longitudinali e trasversali Nel caso dei solidi sono presenti invece due tipi di onde, longitudinali e trasversali. Per le onde longitudinali si applica lo stesso ragionamento che per le onde nei fluidi. In questo caso l'elasticita' del mezzo viene descritta dalla relazione: Qui e' la forza di compressione o trazione applicata ad una sbarra di lunghezza e sezione. Tale forza provoca una variazione di lunghezza. Il termine che rappresenta l'elasticita' del mezzo e' il modulo di Young. La velocita' dell'onda longitudinale si scrive quindi come: dove e' la densita' del mezzo. Un'altro tipo di elasticita' nei solidi e' quello dovuto all'elasticita' di scorrimento. Se si applicano ad un volume di solido delle forze tangenziali, si ha una deformazione del volume tale che: dove e' la forza applicata tangenzialmente alla superficie e e' l'angolo di deformazione. viene chiamato modulo di scorrimento. Questa elasticita' e' responsabile di onde trasversali la cui velocita' e' data da: Normalmente le onde longitudinali nei solidi sono piu' veloci di quelle trasversali e nei metalli risulta
Effetto Doppler L'effetto Doppler e' un fenomeno molto importante che ha permesso di avere informazioni sulla struttura dell'universo. Esso si basa sul fenomeno che la frequenza di un'onda viene percepita in modo diverso quando la sorgente o l'osservatore siano in moto. Consideriamo prima il caso in cui la sorgente sia in moto e l'osservatore a riposo. La Figura mostra una sorgente di onde sferiche in moto con velocita' costante e un osservatore a riposo. Consideriamo due fronti d onda consecutivi e quindi distanziati da un intervallo di tempo pari al periodo T. Supponiamo di indicare con la velocita' dell'onda e con la velocita' della sorgente. Nell'intervallo di tempo T la sorgente si sara' spostata di una distanza. Il primo fronte d'onda deve percorrere una distanza PO per giungere ad O, il secondo fronte d'onda deve percorrere una distanza SP ma viene emesso dopo un tempo T. Indichiamo con l'angolo formato da PO con la linea di moto della sorgente. Il tempo impiegato dal primo fronte d'onda per giungere in O e': Il tempo impiegato dal secondo fronte d'onda per giungere in O e': La differenza di tempo e':
Effetto Doppler Si puo' facilmente ricavare che la differenza di percorso SO-PO puo' essere ottenuta come: Sostituendo nella (1): Passando alle frequenze ( ): La (2) e' l'espressione dell'effetto Doppler per una sorgente in moto. Per un angolo la sorgente si avvicina all'osservatore per cui il denominatore della (2) e' minore di 1 e la frequenza. Nel caso della luce questo viene denominato spostamento verso il violetto. Per un angolo la sorgente si allontana dall'osservatore per cui e quindi il denominatore diviene maggiore di 1. In questo caso. Nel caso della luce questo prende il nome di spostamento verso il rosso.
Effetto Doppler, Moto della sorgente Supponiamo che un osservatore M si muova con velocita' rispetto ad un treno di onde piane che si muove con velocita' v. Sia x la direzione del moto delle onde e x' quella dell'osservatore che formano un angolo. Rispetto all'osservatore le onde si spostano con velocita': Il numero di onde osservate da M nell'unita' di tempo e' quindi: Se M si avvicina alla sorgente, e quindi e viceversa.