Estrazioni senza restituzione da un urna di composizione incognita. Consideriamo n estrazioni senza restituzione da un urna contenente N palline, di cui r sono bianche, con r incognito. Introdotta la partizione {H 0,H 1,...,H N }, con H r = nell urna ci sono r palline bianche. Per ogni i =1,...,n, consideriamo l evento E i = l i-esima pallina estratta è bianca. Per ogni i = 1,...,n, e per ogni r =0, 1,...,N,siha P (E i H r )= r N, P(E i)= NX r=0 r N P (H r), e quindi gli eventi E 1,E,...,E n sono equiprobabili. Anche in questo caso l indipendenza stocastica, in generale, non sussiste più. Ad esempio, per N =, assumendo equiprobabili le ipotesi H 0,H 1,H e osservando che P (E 1 E H r )=P (E 1 H r )P (E E 1 H r )= r(r 1) N(N 1), G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 196
equindi P (E 1 E H 0 )=P (E 1 E H 1 )=0,P(E 1 E H )=1, si ha P r=0 P (E E 1 )= P (E 1E H r ) 1 3 1 (E 1 ed E sono ancora correlati positivamente). Infine, per ogni r e per ogni h, siha = 3 > 1 ; P (X = h H r )= n h N r N r n h = r h N n N n r h, cioè X H r H(N, n, r N ). Allora P (X = h) = P N r=0 P (X = h H r)p (H r )= = P N ( n h)( N r h n ) r=0 ( N P (H r )= P N ( h)( r N n h) r r=0 r ) ( N P (H r ), n) ovvero, la distribuzione di probabilità di X è una mistura di distribuzioni ipergeometriche. G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 197
Esempio 48 Si considerino estrazioni senza restituzione da un urna contenente palline, di cui r bianche, con r incognito. Posto P (H r )= r, con si può verificare che 0 + 1 + =1, r < 1, 8 r, P (E 1 )= 1 1 +, P(E E 1 )= 1, P(E 1 E )=. 1 + Verifichiamo se esistono coppie di valori ( 1, ) (0, 1) (0, 1) (con 1 + < 1) tali che P (E 1 )P (E )=P (E 1 E ) cioè 1 + =, ovvero 1 +4 1 4( )=0. La precedente equazione parametrica ha soluzioni 1 = ± p. Dalla Figura 3 osserviamo che per ogni fissato (0, 1) la soluzione 1 = + p =( p ) G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 198
è un valore appartenente a (0, 1) e inoltre si ha ( p )+ apple 1. y 1.5 1.0 0.5-0.5 0.5 1.0 x Figura 3: Parabola di equazione ( 1 x + y) = y Se consideriamo la funzione f( )=( p )= p (1 p ), G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 199
Si ha 0 apple f( ) apple 1, 0 apple f( )+ apple 1. Come si può verificare, per 1 = f( ),risulta P (E 1 )=P (E )= 1 1 + = p, equindi P (E E 1 )= = P (E )(E 1 ). Ovvero, per 1 = f( ) abbiamo che gli eventi E 1,E sono stocasticamente indipendenti. Inoltre, per 0 apple 1 <f( ),siha mentre, per f( ) < 1 apple 1, siha Ad esempio, se P (E ) < p <P(E E 1 ); P (E ) > p >P(E E 1 ). = 1 k, 1 = p (1 si ha: P (E E 1 )=P (E )= 1 k. p )= 1 k 1 1 k, 0 = 1 1 k, G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 00
Eventi scambiabili La nozione di scambiabilità gioca un ruolo fondamentale nell esame delle possibili relazioni che sussistono tra valutazioni di probabilità e frequenze osservate. Definizione 8 Gli eventi E 1,...,E n sono scambiabili se, per ogni fissato h, con 0 apple h apple n, i costituenti del tipo E i1 E ih E c i h+1 E c in (51) hanno la stessa probabilità p n,h (dipendente solo da n edah), per ogni permutazione (i 1,...,i n ) di (1,...,n). Ovvero, gli eventi E 1,...,E n sono scambiabili se la probabilità che esattamente h siano verificati è la medesima qualunque siano gli h eventi a ermati. Consideriamo i quattro casi di estrazioni con o senza restituzione da un urna di composizione nota o incognita, contenente N palline, e indichiamo con E i l evento l i-ma pallina estratta è bianca. sono scam- Si può verificare che, in tutti e quattro i casi, gli eventi E 1,...,E N biabili. Infatti: -nelprimocaso(estraz. con rest. da un urna di comp. nota) siha: p n,h = p h q n h, 8 (i 1,i,...,i n ), 1 apple n apple N ; G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 01
- nel secondo caso (estraz. senza rest. da un urna di comp. nota) siha: p n,h = N n pn h N pn, 8 (i 1,i,...,i n ), 1 apple n apple N ; -nelterzocaso(estraz. con rest. da un urna di comp. incognita) siha: p n,h = P N r=0 r N h N r N n h P (Hr ), 8 (i 1,i,...,i n ), 1 apple n apple N ; -nelquartocaso(estraz. senza rest. da un urna di comp. incognita) siha: p n,h = P N r=0 ( N n r h ) ( N r ) P (H r), 8 (i 1,i,...,i n ), 1 apple n apple N. Un altra definizione di eventi scambiabili è la seguente Definizione 9 Gli eventi E 1,...,E n sono scambiabili se, per ogni fissato h, con 1 apple h apple n, gli eventi del tipo E i1 E ih (5) G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 0
hanno la stessa probabilità (dipendente solo da h), per ogni sottoinsieme {i 1,...,i h } {1,...,n}. Si dimostra il seguente Teorema 6 Le Definizioni 8 e 9 sono equivalenti. 16 Esercizio 3 Consideriamo i quattro casi di estrazioni con o senza restituzione da un urna di composizione nota o incognita, contenente N palline, e indichiamo con E i l evento l i-ma pallina estratta è bianca. Verificare che, in tutti e quattro i casi, gli eventi E 1,...,E N sono scambiabili secondo la Definizione 9. 16 Vedi Lad, F. 1996. Operational Subjective Statistical Methods, Wiley, New York. G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 03
Esercizio 4 Da un urna contenente 4 palline, di cui almeno bianche, si e ettuano 3 estrazioni senza restituzione. Definiti gli eventi H r = nell urna ci sono r palline bianche, r =, 3, 4, si ponga P (H 4 )=P (H 3 )=p e si indichi con X il numero aleatorio di volte in cui esce pallina bianca nelle 3 estrazioni. Calcolare i valori coerenti di p e la probabilità = P (H 3 X =), in funzione di p. Determinare inoltre l insieme I dei valori coerenti di p tali che E(X). p ; = ; I = Esercizio 5 In un lotto di 10 componenti ci sono pezzi difettosi. I componenti vengono esaminati a caso (senza restituzione) per individuare i due difettosi. Si supponga che dal lotto venga tolto un pezzo (senza essere esaminato) e che siano controllati i rimanenti 9 pezzi. Definito l evento H = il pezzo tolto dal lotto è difettoso, E i = l i-mo pezzo esaminato è non difettoso, i = 1,...,10, calcolare: P (H E 1 ),P(E E 1 ),P(E c Ec 8 ),P(Ec 3 (Ec 1 _ Ec ). Calcolare inoltre la varianza del numero aleatorio X = E 1 + E + E 3. (Sfruttare il fatto che gli eventi E 1,E,...,E 9 sono scambiabili. Osservando ad esempio che P (E c Ec 8 )=P (Ec Ec 1 )) G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 04
Varianza Relativamente ad un numero aleatorio X abbiamo visto che il valore atteso E(X) si può interpretare come il valore centrale della distribuzione di probabilità di X. Inalcunicasi la conoscenza del valore atteso può essere su ciente per sintetizzare la distribuzione di probabilità (valore di sintesi). In generale è troppo restrittivo descrivere delle valutazioni di probabilità solamente attraverso il valore atteso. Si pensi di dover decidere la scelta dell investimento di un capitale in due attività che assicurano rispettivamente i guadagni aleatori X, Y, con X = 100,P(X =100)= 1 40,P(X = 40) = 1 Y = 100100,P(Y =100100)= 1 100040,P(X = 100040) = 1 il valore atteso dei due guadagni è E(X) =E(Y )=30, quindi giudicando in base al valore atteso sarebbe indi erente scegliere il primo o il secondo investimento. Osserviamo però che il secondo è più rischioso perchè sono maggiori i possibili scarti del guadagno dal valor atteso. Esempio 49 Consideriamo la scelta a caso di una persona da una popolazione statistica costituita da due individui: uno mangia polli (supponiamo, a settimana) e l altro 0 G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 05
polli. Sia X il numero (aleatorio) di polli mangiati settimanalmente dalla persona estratta. Si ha ( 0, P(X =0)= 1 X =,, P(X =)= 1. Adesso, consideriamo il caso in cui entrambi gli individui mangiano 1 pollo a settimana. Sia Y il numero (aleatorio) di polli mangiati settimanalmente dalla persona estratta. Si ha Y =1, P(Y =1)=1. Allora: E(X) =E(Y )=1, Il valore atteso ci dice che in entrambe le popolazioni gli individui mangiano mediamente un pollo a settimana. Ad esempio se nella prima popolazione abbiamo Enzo che mangia polli e Marco che non ne mangia, allora il valore atteso si limita a dire che entrambi mangiano mediamente un pollo. Per tale motivo si introduce il concetto di varianza, un indice che valuta la dispersione di X attorno al suo valor atteso E(X). Definizione. Sia X un numero aleatorio e sia E(X) =m. SidefinisceVarianza di X e si indica con Var(X) o con la seguente quantità X Var(X) =E[(X m) ] (53) G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 06
La Var(X) si definisce come il valore atteso del numero aleatorio (X m).indicando con x 1,x,...,x n tutti i possibili valori di X e con p i = P (X = x i ) le rispettive probabilità, possiamo rappresentare X nella seguente forma canonica X = x 1 X = x 1 + x X = x + + x n X = x n e la previsione E(X) nella consueta espressione E(X) =p 1 x 1 + p x + + p n x n. Il n.a. (X m) si può rappresentare nella forma seguente Allora, per la varianza si ottiene (x 1 m) X = x 1 + +(x n m) X = x n. Var(X) =E[(X m) ]= = p 1 (x 1 m) + p (x m) + + p n (x n m) = = P n i=1 p i(x i m). Come si può intuire, la varianza di un n.a. è tanto più grande quanto più la distribuzione di X è dispersa attorno al suo valor atteso, ovvero quanto più sono probabili i valori di X lontani dal valor medio E(X). G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 07
Figura 33: Varianza e Previsione E(X) =E(Z), Var(X) >Var(Z) Dal punto di vista meccanico, dato un sistema di masse, la Var(X) rappresenta il momento d inerzia rispetto al baricentro e quindi misura la dispersione di massa rispetto al baricentro E(X). Scarto quadratico medio (deviazione standard). Lo scarto quadratico medio o deviazione standard di un numero aleatorio X si denota con X e coincide con la radice quadrata della varianza di X: X = q X qvar(x) = (54) G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 08
Esempio. Siano X, Y, Z tre numeri aleatori rispettivamente con le seguenti distribuzioni: P (X = 1) = P (X =1)= 1 P (Y = ) = P (Y = 1) = P (Y =1)=P (Y =)= 1 4 P (Z = ) = P (Z =)= 1 Le previsioni sono uguali, essendo E(X) =E(Y )=E(Z) =0, mentre le varianze sono diverse. Infatti X = 1 ( 1 0) + 1 (1 0) =1 Y = 1 4 ( 0) + 1 4 ( 1 0) + + 1 4 (1 0) + 1 4 ( 0) = 5 Quindi: Z = 1 ( 0) + 1 ( 0) =4 Var(Z) >Var(Y ) >Var(X). Varianza di un indicatore. Dato un evento E con P (E) =p e p(e c )=1 p = q, essendo E( E ) =p, si dimostra che Var( E ) =pq. Infatti E = E[( E p) ]=p(1 p) + q(0 p) = pq. G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 09
Osserviamo che, come mostrato nel grafico sotto, risulta: Var( E ) =pq apple 1 4. Figura 34: Var( E ) G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 10
Proprietà della varianza. 1. Var(X) 0;. Var(aX + b) =a Var(X), per ogni a, b R; (a) Var(X + c) =Var(X); (b) Var(aX) =a Var(X), per ogni a R; (c) Var( X) =Var(X); 3. Var(X) =E(X ) [E(X)]. 4. E[(X c) ] Var(X), per ogni c R; Ricordando che m = E(X), dimostriamo la (3). X = E[(X m) ]=E(X mx + m )= = E(X ) me(x) +m = E(X ) [E(X)]. Dimostriamo la (4). Si ha E[(X c) ]=E[(X m + m c) ]= = E[(X m) +(m c)(x m) +(m c) ]= G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 11
= Var(X) +(m c) Var(X). Osserviamo inoltre che per la deviazione standard si ha (ax+b) = a X, per ogni a, b R. Esempio 50 Sia X il risultato del lancio di un dado. Calcolare var(x). Prima calcoliamo il valore atteso. µ = E(X) =1 = 7. + +3 +4 +5 +6 Per calcolare la varianza di X, costruiamo il numero aleatorio (X µ) e ne calcoliamo il valore atteso E[(X µ) ]. A tal proposito utilizziamo la Tabella G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 1
x P(X = x) (x 7/) 1 1/6 5/4 1/6 9/4 3 1/6 1/4 4 1/6 1/4 5 1/6 9/4 6 1/6 5/4 Tabella 13: Calcolo della varianza. Il valore atteso E[(X µ) ] dato da var(x) = 1 6 = 35 1, e la deviazione standard X = p 35/1 1.707. 5 4 + 9 4 + 1 4 + 1 4 + 9 4 + 5 4 G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 13
Utilizzando le proprietà sulla varianza, possiamo calcolare var(x) con E(X ) µ. Si ha E(X ) = 1 +4 +9 +16 +5 +36 e, = 91 6, var(x) =E(X ) µ = 91 6 7 = 35 1 Supponiamo che venga lanciato un dado non regolare. Sia Y il risultato di tale dado e supponiamo che P (Y =1)=5P (Y = h), h =, 3, 4, 5, 6. Calcolare var(y ) G. Sanfilippo - CdP - - - pag. 14