CINEMATICA DEI CAMPI FLUIDI ED EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE

CINEMATICA DEI CAMPI FLUIDI ED EQUAZIONI DI CONERAZIONE M. Capozzi Copyright ADEPRON Tutti i Diritti Riservati - www.aepron.it CINEMATICA DEI CAMPI FLUIDI ED EQUAZIONI DI CONERAZIONE Marco CAPOZZI * * Ingegnere Meccanico; Master in cience in Aerospace Engineering, Mississippi tate University (UA) INTRODUZIONE La Fluioinamica è la scienza che stuia il comportamento ei fluii. I fluii, in senso ampio, sono tutte quelle sostanze nelle quali le forze intermolecolari sono tali a garantire un certo grao i moto relativo fra i esse. I fluii possono trovarsi sia allo stato liquio che allo stato gassoso. Nel primo caso le molecole sono libere i slittare l'una rispetto all'altra, nel secono, invece, le forze i coesione intermolecolari sono eboli, per cui le molecole el gas sono libere i percorrere un certo cammino. Nonostante i gas e i liquii appartengano alla stessa categoria, la iversa entità elle forze intermolecolari etermina elle caratteristiche fisiche iverse. Un fluio viene matematicamente iealizzato come un mezzo continuo. Questo equivale a ammettere che le osservazioni compiute sul fluio in esame riguarino una scala sufficientemente grane a poter trascurare la natura iscreta (ossia numero finito i molecole) el fluio. Più precisamente, a un punto i vista fisico, un continuo è una porzione i spazio riempita i materia in moo tale che una qualunque parte i esso, comunque piccola, è essa stessa un continuo totalmente riempito i materia. Nell'analisi ei fenomeni fluioinamici è utile il concetto i particella i fluio. La particella i fluio è un volume infinitesimo i fluio consierato alla stregua i un punto materiale. PRINCIPALI GRANDEZZE FIICHE engono i seguito riportate le principali granezze impiegate per escrivere fisicamente un fluio. Densità i consieri un volume i fluio in un qualunque punto P ello spazio. Esso conterrà una certa massa M i fluio. Il rapporto fra la massa e il volume totali i fluio contenuti in una certa regione i spazio efinisce la ensità meia r M. Il limite: (1) M lim v0 efinisce la ensità puntuale. Nel caso i fluio omogeneo incomprimibile in stato i quiete, la ensità meia coincie con quella puntuale. i osservi che il limite va arrestato prima che il volume i fluio arrivi a contenere un numero i molecole tale a perere il senso i continuo preceentemente introotto. La ensità è una granezza che può variare puntualmente e nel tempo. Risulta: () x,y,z,t esseno x,y,z le coorinate cartesiane el punto in esame, t il tempo. L unità i misura è kg/m 3. Pressione Le molecole i un fluio sono libere i percorrere cammini el tutto casuali nello spazio. Tale fenomeno è noto come moto Browniano elle molecole. Esseno il moto casuale, le molecole sono libere i scontrarsi nello spazio, in particolare possono esserci urti (elastici) fra le molecole e le pareti i un recipiente che contiene il fluio in esame. econo la teoria cinetica ei gas, la efinizione fisica ella pressione è ata al numero meio i urti molecolari per unità i area nell'unità i tempo. Da un punto i vista pratico, la pressione è efinita come forza esercitata a un fluio in quiete per unità i area i una superficie immersa in esso. Le pressioni si misurano in Pascal, ossia in N/m. Temperatura econo la Teoria cinetica ei gas perfetti in un fluio in quiete la temperatura assoluta è proporzionale alla energia cinetica meia elle molecole. Definita la costante i Boltzmann K B, risulta: (3) 3 E K B T 1

CINEMATICA DEI CAMPI FLUIDI ED EQUAZIONI DI CONERAZIONE M. Capozzi Copyright ADEPRON Tutti i Diritti Riservati - www.aepron.it esseno T la temperatura assoluta el gas. Consierata la velocità quaratica meia elle molecole v, e enotata con m la massa elle molecole, sussiste la seguente relazione: (4) 1 mv 3 K B T La temperatura si misura in grai Kelvin (K). RICHIAMI DI ANALII ETTORIALE Per efinire gli argomenti che seguiranno è necessario introurre ei richiami i cinematica ei fluii, la quale fornisce gli strumenti in grao i escrivere il moto ei fluii. Le granezze e/o gli operatori che intervengono nella escrizione cinematica i un fluio sono i tre tipi: - scalari - vettoriali - tensoriali In un campo scalare, una generica granezza è completamente efinita in un punto qualsiasi el campo in un qualunque istante i tempo a un singolo numero. In un campo vettoriale, una generica granezza è efinita a più elementi, in funzione elle imensioni ello spazio vettoriale in cui si opera. e le granezze, scalari o vettoriali, sono inipenenti al tempo, il campo si ice stazionario. I tensori sono egli operatori che per l'appunto- operano su altre granezze come, a esempio, i vettori. i introucono brevemente alcuni concetti i base nell analisi el moto i un continuo necessari per poter efinire matematicamente l equazione i continuità. ia fissato un generico riferimento nello spazio. i consieri una particella i fluio in moto lungo una generica traiettoria (Figura 1). Consierati ue istanti i tempo t 0 iniziale e t generico è possibile associare a tale particella ue raggi vettore, o vettori posizione, che escrivono rispettivamente la posizione i tale particella al tempo t 0 e t. iano essi R(X,Y,Z) e r(x,y,z). Consierata una terna i riferimento cartesiano, il vettore r è esprimibile in funzione ei versori i 1,i,i 3 associati a tale terna: (5) r = x 1i 1+x i +x 3i 3 La preceente formula può essere espressa faceno uso ella notazione i Einstein in forma compatta: Figura 1 (6) r = x ki k Un aspetto molto importante nell'analisi ei fluii sono le erivate temporali i granezze scalari, vettoriali e tensoriali che vengono i seguito introotte. i consieri una granezza F (scalare, vettoriale o tensoriale) che sia funzione ello spazio e el tempo che rappresenti una generica proprietà el fluio. F può essere espressa come F(R,t) o F(r,t). La trasformazione che consente i passare a r a R o a R a r è etta Jacobiano, e ha espressione: (7) x i J(R, t) et Xi i suppone che lo Jacobiano sia sempre efinito in ogni punto ello spazio e a ogni istante i tempo. i fa notare che le granezze in grassetto o barrate sono vettori. ono possibili ue erivate temporali ella funzione F: (8) (9) F F(r,t) t t F F(r,t) t t con r fisso con R fisso

CINEMATICA DEI CAMPI FLUIDI ED EQUAZIONI DI CONERAZIONE M. Capozzi Copyright ADEPRON Tutti i Diritti Riservati - www.aepron.it La prima erivata rappresenta la variazione i F nel tempo rispetto a un osservatore fisso, la secona rappresenta la erivata materiale o sostanziale i F, ossia la variazione i F nel tempo vista a un osservatore che si muove con il fluio. Le velocità ottenute erivano R rispetto al tempo sono ette velocità Lagrangiane, quelle che utilizzino r sono ette velocità Euleriane. Analogamente si procee per le accelerazioni. É possibile efinire un legame fra le granezze Lagrangiane e quelle Euleriane. iene i seguito introotto il graiente i un vettore (anch esso è un vettore per efinizione): (10) i k x k Consierata la espressione ell'accelerazione Euleriana: (11) a r,t ur,t t la erivata /t rappresenta la erivata temporale totale. Applicano la regola i erivazione a catena alla preceente espressione si ottiene: (1) u x a r,t t t u x o, equivalentemente: (13) a r,t u u u t x Tenuto conto ella efinizione ata i graiente e tenuto conto ella rappresentazione cartesiana el vettore velocità u, si introuce la erivata sostanziale Euleriana: (14) Du u u grau Dt t É possibile imostrare che l'operatore graiente, ato un vettore u, goe ella seguente proprietà: (15) u grau grau u In conseguenza i ciò la erivata sostanziale D/Dt assume forma: (16) Du u grau u Dt t L'operatore: (17) ovvero (18) D Dt gra t D u gra Dt t u è etto erivata sostanziale. i osservi che /t e D/Dt sono lo stesso operatore. La ifferenza i notazione fu introotta a tokes per evienziare la necessità i istinguere i termini convettivi a quelli locali ell'accelerazione. Consierati un campo i moto i un fluio e una linea, se la linea risulta essere tangente in ogni suo punto alla velocità el fluio, allora essa prene il nome i linea i corrente. Le linee i corrente sono efinite in un istante i tempo t, esseno la velocità el fluio efinita al vettore posizione e al tempo stesso. La linea percorsa a un punto materiale si chiama traiettoria. e 3

CINEMATICA DEI CAMPI FLUIDI ED EQUAZIONI DI CONERAZIONE M. Capozzi Copyright ADEPRON Tutti i Diritti Riservati - www.aepron.it la velocità non è funzione el tempo, si parla i moto stazionario o permanente. i richiama ora il teorema ella ivergenza, anche etto teorema i Gauss. Consierato un vettore i velocità u, esso è esprimibile, in un generico riferimento, come u(u x,u y,u z) o, alternativamente, come u(u,v,w). i efinisce ivergenza i un vettore v lo scalare: (19) u v w ivu x y z Dato un vettore v il teorema ella ivergenza afferma che: (0) ivv v n La ivergenza si può essere interpretata fisicamente come il flusso i un vettore attraverso un volume unitario. i efinisce rotazionale i un vettore un vettore, usualmente inicato con le notazioni equivalenti: (1) rot v gra v efinito come segue: () rotv w v u w v u i k y z z x x y EQUAZIONE DI CONTINUITÁ Con l applicazione ei concetti e egli operatori preceentemente esposti è possibile eterminare la equazione i continuità. Essa è una equazione basilare nell analisi ei problemi i fluioinamica e consente, inoltre, una prima classificazione ei fenomeni fluioinamici in relazione alla loro maggiore o minore comprimibilità. i consieri un volumetto i fluio all'istante t 0. Questo avrà volume infinitesimo 0 pari a: (3) t 0 X1X X3 esseno X 1, X, X 3 le imensioni el cubetto all'istante i riferimento iniziale. A un generico istante i tempo t il volume sarà. Il cambiamento i volume può essere espresso matematicamente come: (4) r r r 0 X 1 X X 3 t (t ) i ricora che il prootto misto i tre vettori a (bxc) equivale all'area el parallelepipeo avente lati pari ai mouli ei tre vettori. In conseguenza i ciò è possibile scrivere: (5) (t) J(t 0 ) esseno J lo Jacobiano efinito nell'equazione (7). i richiamano ora la formula i Eulero, i cui si omette la imostrazione, e il teorema el trasporto i Reynols. La formula i Eulero afferma che la rapiità con cui varia il Jacobiano rispetto al tempo è ata a: (6) J t Jivu Il teorema el trasporto i Reynols è estremamente importante in quanto consente i trattare granezze variabili nel tempo come se fossero fisse. ia ata una proprietà generica F el fluio riferita all'unità i volume. ia F = F(r,t) la generica espressione i tale proprietà. Consierato un volume i controllo (t) variabile nel tempo, il cumulativo i tale proprietà nel volume sarà: (7) F r,t v t 4

CINEMATICA DEI CAMPI FLUIDI ED EQUAZIONI DI CONERAZIONE M. Capozzi Copyright ADEPRON Tutti i Diritti Riservati - www.aepron.it ove v = v(t), esseno anch'esso variabile nel tempo. La rapiità con cui questa granezza varia nel tempo è esprimibile attraverso la erivata: (8) Il problema associato all'ultimo integrale è che l'infinitesimo i integrazione v non è fisso nel tempo, i conseguenza è impossibile calcolarlo così come appare nella (8). In virtù ella (5) e (6), e svolgeno la erivata temporale, si ottiene: (9) ossia: t t F r,t v t F r,t v t t 0 t FJ v0 (30) F J FJv0 J Fv t t t t 0 t 0 0 Quini: (31) F F J F Jivu v0 J Fivu v t t t 0 t 0 0 ovvero, in base alla (5): (3) t F r,t v t DF Fivu v t Dt La (3) esprime il teorema el trasporto i Reynol. É aesso possibile enunciare l equazione i continuità. Consierato il teorema i Reynols, se la proprietà in questione è la ensità, la conservazione ella massa (vei paragrafo successivo) contenuta in un volume i fluio porta a scrivere: (33) D ivu v 0 t Dt La (33) è valia per qualunque volume v(t), per cui è valia sempre e risulta: (34) D ivu 0 Dt La (34) è la forma ifferenziale ella equazione i continuità. Per flussi stazionari essa prene forma: (35) iv u 0 che, nelle ulteriori ipotesi semplificative i incomprimibilità el fluio (ensità costante), iventa: (36) ivu 0 EQUAZIONI DI CONERAZIONE i presentano ora i seguito le equazioni i conservazione ella fluioinamica. Esse sono tre: - conservazione ella massa; - conservazione ella quantità i moto; - conservazione ell energia. 5

CINEMATICA DEI CAMPI FLUIDI ED EQUAZIONI DI CONERAZIONE M. Capozzi Copyright ADEPRON Tutti i Diritti Riservati - www.aepron.it Da queste tre equazioni i base se ne sviluppano altre che possono essere convenientemente utilizzate per escrivere i fenomeni fluioinamici. Conservazione ella massa Il principio i conservazione ella massa afferma che, ato un volume i controllo, la variazione temporale all interno i tale volume è nulla, cioè per un fluio i ensità r risulta: (37) t ρv 0 Nel paragrafo preceente si è imostrato che la (37) equivale a: (38) ove u è il vettore velocità el flusso. Il simbolo D/Dt che compare nella (38) rappresenta la erivata sostanziale o tokesiana i r, e ha espressione (relazioni (17) e (18)): (39) Dρ ρivu v 0 Dt D Dt t u gra t gra u Esseno il volume i integrazione ella (38) arbitrario, l equazione ella conservazione ella massa prene forma (40) Dρ ρivu 0 Dt che è proprio l equazione (34). Conservazione ella quantità i moto La conservazione ella quantità i moto è la secona legge ella inamica applicata ai fluii: esso afferma che la variazione temporale ella quantità i moto i un volume i fluio eguaglia la risultante elle forze i superficie e i massa applicate rispettivamente alla superficie e al volume stesso. e è un volume i fluio e la corrisponente superficie, allora: (41) t ρuv ρfv ts ove f è il campo i forze volumiche agenti sull elemento consierato, t rappresenta le azioni egli sforzi viscosi sulla superficie el volume consierato. Per inciso la (41) è il punto i partenza per le Equazioni i Navier-tokes, il sistema i equazioni carine ella fluioinamica. Conservazione ell energia Il principio i conservazione ell energia è la trascrizione in forma fluioinamica el celeberrimo principio i Lavoisier: Nulla si crea e nulla si istrugge, ma tutto si trasforma. In termini fisici, il principio afferma che la variazione nel tempo ell energia totale contenuta in un volume i fluio è uguale al lavoro compiuto alle forze i massa e i superficie sommato al flusso netto i calore che attraversa la superficie el volume consierato. L energia interna i un fluio è legata al suo stato i agitazione molecolare. L energia totale i un fluio è la somma i energia cinetica e energia interna. L espressione ell energia totale i un fluio è ata a: (4) e u u g r in cui la u barrata inica l energia intrinseca el fluio, il termine quaratico l energia cinetica e il prootto scalare rappresenta l energia potenziale el campo gravitazionale (usualmente omesso in quanto trascurabile). e è la superficie che racchiue il volume i fluio, enotata con e l energia totale per unità i massa risulta: 6

CINEMATICA DEI CAMPI FLUIDI ED EQUAZIONI DI CONERAZIONE M. Capozzi Copyright ADEPRON Tutti i Diritti Riservati - www.aepron.it (43) t ρev ρe ns knts t us La (43) esprime l equazione i conservazione ell energia. Per quanto concerne il flusso termico, in base alla equazione ei Fourier risulta: (44) q kt in cui k è il coefficiente i conuttività termica el fluio e T la temperatura. Esso è negativo per la convenzione secono la quale sono negative le quantità uscenti al sistema. 7