Esercitazione 1 - Scienza delle Finanze Giuseppe Piroli Esercizio 1 - Puro scambio e scatola di Edgeworth Esercizio - Perdita netta di monopolio 1 Puro scambio e scatola di Edgeworth Si consideri un'economia di puro scambio dove esistono solo due consumatori, denominati A e B. Le loro funzioni di utilità sono U a x a y a e U b x b y b. La dotazione iniziale di A è.x a 0, y a 4/ e quella di B è.x b 4, y b 16/. 1)Si ricavi l'equazione della curva dei contratti. )Si denisca, date le dotazioni iniziali A e B, il cosiddetto nucleo dell'economia. 3)Si ricavi un vettore dei prezzi che garantisca l'equilibrio concorrenziale di Walras. 4)Si determini l'allocazione ottimale per i due consumatori. Soluzione 1) La curva dei contratti è il luogo dei punti di tangenza delle curve di indifferenza dei due consumatori. Per trovare l'equazione della curva dei contratti si risolve il seguente sistema in tre equazioni SM S >< a SM S b x a C x b X y a C y b Y La prima equazione impone che le curve di indifferenza dei due consumatori siano tangenti tra loro. Le altre due equazioni assicurano che le quantità totali dei beni disponibili nell'economia siano uguali alla somma delle dotazioni dei due individui. Risolvendo il sistema per i nostri dati si ha y a y b y >< x a x b >< a x b y b x a y b y ax b >< x a x a C x b 4! x a C x b 4! x a C x b 4! y a C y b 0 y a C y b 0 y a C y b 0 1
>< x a C x b 4 < y a C y ax b 0! x b 4 x a! y a x a C y a.4 x a / 0x a! y x a x a C y a x b 0x a a y a x a C 4y a y a x a 0x a! 4y a 0x a! y a 0 4 x a La curva dei contratti è y a 0 4 x a! y a 0.3x a Si osservi che l'allocazione iniziale dei beni dei due individui non giace sulla curva dei contratti. ifatti, per l'individuo A, si ha che 4 6 0.3 0. ) Il nucleo dell'economia è il tratto della curva dei contratti compreso tra le curve di indifferenza passanti per le dotazione iniziali dei due consumatori. Il valore dell'utilità della dotazione iniziale di A è di U a x a y a 0 4 160, quindi, per trovare il punto che si trova sia sulla curva di indifferenza iniziale di A e sia sulla curva dei contratti, si imposta il seguente sistema in due equazioni < 160 x a y a y a 0.3x a Risolvendo il sistema si ha x a 9.79. alla curva dei contratti, poi, si ricava y a.16. L'intersezione tra la curva dei contratti e la curva di indifferenza passante per la dotazione iniziale di A è rappresentata dal punto N di coordinate.x a 9.79, y a.16/. Il livello di utilità della dotazione iniziale di B è U b x b y b 4 16 64. Poichè x a C x b 4, si ha x b 4 x a. Ugualmente, poichè y a C y b 0, si ha che y b 0 y a. Per trovare l'ntersezione tra la curva di indifferenza iniziale di B e la curva dei contratti si può, quindi, scrivere < 64 x b y b < 64.4 x a /.0 y a / < 64.4 x a /.0 y a /!!! y a 0.3x a y a 0.3x a y a 0.3x a < 64 40 4y a 0x a C x a y a <! y a 0.3x a 0 416 4y a 0x a C x a y a y a 0.3x a! 0 416 4 0.3x a 0x a C x a 0.3x a! 0 416 0xa 0x a C 0.3x a!
0.3x a 40x a C 416 0! x a 40 p 4 0.3 416 1.6 < x 0 a 3.76 x a 15.3 La prima delle due soluzioni è incompatibile con la disponibilità del bene X, quindi si sceglie la seconda. Poichè x a 15.3, utilizzando la curva dei contratti, si ottiene y a 1.67. Chiamiamo M il punto di coordinate.x a 15.3, y a 1.67/. Il nucleo dell'economia è il tratto della curva dei contratti y a 0.3x a denito dai valori di x a compresi nell'intervallo 9.79 x a 15.3. 3) Un vettore di prezzi per il mercato concorreziale (walrasiano) deve assicurare l'equilibrio su tutti i mercati. Secondo la legge di Walras, se tutti i mercati sono in equilibrio tranne uno, anche questo ultimo mercato deve essere in equilibrio. Poichè in questo caso ci sono solo due mercati, quello del bene X e quello del bene Y, è sufciente cercare i prezzi di equilibrio per un solo mercato. Afnchè un mercato, ad esempio quello di X, sia in equilibrio, la somma delle domande dei due consumatori deve essere uguale alla somma delle loro dotazioni del bene stesso (eccesso di domanda nullo). Ricaviamo, quindi, la domanda di ciascun consumatore per il bene X. Per il consumatore A si ha >< SM S a p x p y p x x a C p y y a R a ove il reddito di A è uguale al valore della sua dotazione iniziale risolvendo il sistema, si ottiene la domanda di A >< y a x a p x p y p x x a C p y y a 0p x C 4p y! x d a 0p x C 4p y p x R a 0p x C 4p y. Per cui, Nella stessa maniera si ricava la domanda di B >< y b x b p x p y p x x b C p y y b 4p x C 16p y! x d b 4p x C 16p y p x La quantità di X disponibile sul mercato è pari alla somma delle dotazioni iniziali dei due consumatori X 0 C 4 4. La somma delle domande di A e B deve uguagliare la diponibilità totale di X sul mercato x d a C x d b X 3
0p x C 4p y C 4p x C 16p y 4! 4p x C0p y 4p x! 4p x 0p y! p x 0 p x p x p y 4 5 6 Un vettore di prezzi capace di assicurare l'equilibrio walrasiano è, quindi, p x 5 e p y 6. 4) Per ottenere le scelte ottime di A e B è sufciente sostituire i prezzi di equilibrio nelle rispettive funzioni del bene X e ricavare 1 quelle del bene Y. x d a 0p x C 4p y p x x d b 4p x C 16p y p x y d a 0p x C 4p y p x y d b 0p x C 4p y p x! x? a 0p x C 4p y p x 1.4! x? b 4p x C 16p y p x 11.6! y? a 0p x C 4p y p y 10.3! y? b 0p x C 4p y p y 9.6 L'utilità di A per il paniere di scelta ottima è 56.667 e quella di B è 11.13, ovviamente entrambi superiori a quelle delle dotazioni iniziali. Nella Figura 1 sono indicati il punto delle dotazioni iniziali dei due consumatori ed il punto 0 delle loro scelte ottime. 1 Nel caso della funzione di utilità Cobb-ouglas è possibile sfruttare le sue proprietà per ricavare direttamente le funzioni di domanda di x e y. Per la generica funzione di utilità U Ax y, le rispettive funzioni di domanda sono x d R C p x e y d R, dove R è il reddito del consumatore. ifatti, e rappresentano la quota relativa di reddito che il C p y consumatore utilizza per acquistare ciascun bene. 4
Y B M ' N A X Figura 1 - Scatola di Edgeworth 5
Perdita netta di monopolio Sia X 100 P la funzione di domanda di mercato per il bene X e CT 0X il suo costo totale di produzione. Si calcoli la perdita sociale netta causata dalla presenza di un monopolista su tale mercato. Soluzione Si calcola prima l'equilibrio per il mercato concorrenziale utilizzando la nota condizione prezzo costo marginale.p C M/. Il C M si ottiene derivando la funzione del costo totale rispetto a X C M @CT @ X 0 (1) Sostituiamo il valore del costo marginale nella funzione di domanda di mercato ed si ottiene la quantità X di equilibrio per il mercato concorrenziale X 100 0 0 () Nella Figura, per disegnare la curva di domanda di mercato in un piano cartesiano, si misurano P e C M sull'asse delle ordinata e X su quello delle ascisse. Se X 0! P 100 e se P 0! X 100. Il segmento che congiunge i due punti appena individuati è la funzione di domanda. Il costo marginale è una retta parallella all'asse delle X per C M 0. Il costo marginale interseca la curva di domanda nel punto C, che rappresenta l'equilibrio del mercato concorrenziale. Il surplus del consumatore in concorrenza.sc c /, l'area tratteggiata orizzontalmente, è il triangolo di vertici ABC SC c.a B/ C.100 0/.0/ 300 (3) Si ricordi che il surplus del consumatore è la differenza tra la disponibiltà a pagare del consumatore (il suo prezzo di riserva) e il prezzo che egli effettivamente paga per aquistare il bene. Riassumendo, l'equilibrio del mercato concorrenziale è P c 0, X c 0, SC c 300. In questo caso il costo marginale è uguale al costo medio, infatti C Medio CT X 0X X 0. 6
P, CM A=100 B=0 C CM 0 Figura - Equilibrio del mercato concorrenziale 100 X Adesso si analizzi l'equilibrio di mercato in presenza di un monopolista. La condizione di massimizzazione del protto del monopolista è data da ricavo marginale costo marginale.rm C M/.Per ottenere il ricavo totale.rt /, si inverte la funzione di domanda per avere quella inversa X 100 P! P 100 X (4) Poichè RT P X, si può sostituire P con la parte destra della funzione di domanda inversa RT P X.100 X/ X 100X X (5) 7
Il ricavo marginale è la derivata del ricavo totale rispetto a X RM @ RT @ X 100 X (6) Nella Figura 3 si aggiunge il ricavo marginale, misurato sull'ordinata, congiungendo i seguenti punti individuati sugli assi cartesiani se RM 0 allora 0 100 X! X 100 50 e se X 0 allora RM 100 0! RM 100. P, CM, RM A=100 F=60 E B=0 C CM 40 50 0 100 X Figura 3 - Equilibrio di monopolio e perdita netta Imponendo RM C M, che si intersecano nel punto, si ottiene la quantità di X offerta dal monopolista
.100 0/ 100 X 0! X 40 (7) sostituendo X 40 nella funzione di domanda inversa si ricava il prezzo a cui vende il monopolista P 100 X 100 40 60 () Il protto./ del monopolista è dato dal ricavo totale meno il costo totale RT CT.60 40/.0 40/ 400 (9) Il surplus del consumatore nel caso di monopolio è limitato all'area del triangolo AF E SC m.100 60/ 40 La perdita di surplus per i consumatori è pari al trapezio F BC 00 (10) Perdita totale.pt /.F E C BC/.F B/.40 C 0/.60 0/ 400 (11) Una parte di questa perdita, l'area del quadrato F B E, viene ceduta al monopolista sotto forma di protti. La rimanente parte, l'area del triangolo E C, rappresenta una perdita netta, poichè è il valore della quantità del bene X, che non viene prodotta, sebbene esistano dei consumatori che sarebbero disposti a pagare, per quei beni, un prezzo superiore al costo marginale di produzione. La perdita netta.p N/,tratteggiata verticalmente, è Ovviamente si ha P N 1P 1Q E C.60 0/.0 40/ 00 (1) PT P N C SC c SC m (13) Riassumendo, nel caso di monopoli, si ha P m 60, X m 40, 1600, SC m 00, P N 00. Si noti che, in questo caso, la presenza del monopolista implica solo inefcienza allocativa, ma non inefcienza produttiva. ifatti la non efciente allocazione delle risorse determina una perdita netta, ma 9
nessuna congurazione di mercato potrebbe operare a costi marginali inferiori. Il monopolista vende ad un prezzo maggiore del costo marginale, ma per produrre impiega lo stesso costo marginale delle imprese del mercato concorrenziale. Se, invece, i costi marginali fossero crescenti, allora il monopolio causerebbe anche inefcienza produttiva, perchè un numero maggiore di imprese opererebbe ad un costo marginale inferiore. 10