SCHEDA 1 Il calcolo letterale ci permette di scoprire la vera essenza della matematica, infatti riecheggia spesso nelle aule durante i corsi di matematica la frase: Ottimo matematico, pessimo calcolatore.., che spiega proprio l approccio al pensiero matematico: Quando affronti un problema infatti: 1. leggi il testo per comprendere la richiesta; 2. fra i numeri e le grandezze espresse, cerchi una relazione matematica; 3. adatti la relazione matematica alla domanda dell esercizio; 4. elabori una soluzione e poi la esprimi prima: 4a) come formula algebrica 4b) sostituisci alla formula diretta o indiretta i numeri 5. svolgi i calcoli. Quindi dire di non saper svolgere i calcoli algebrici e quindi risolvere un problema, molto spesso (non in senso di risolvere una espressione algebrica!!!), nasconde la mancanza di conoscenze e abilità matematiche che già dovresti conoscere. Questa dispensa vuole aiutarti a recuperare e consolidare le conoscenze che dovresti avere per farti comprendere la potenzialità e la facilità del calcolo algebrico. Il percorso che ti propongo è diverso da quello che offrono i libri, in cui l importante sembra applicare il calcolo algebrico solo per risolvere espressioni, ma ci concentreremo sull applicazione in campo aritmetico e geometrico per scoprire quanto sia importante e diffuso l uso delle lettere in matematica. Iniziamo con un esempio geometrico: 1. Se ti chiedessi di calcolare l area di un quadrato con l =6 m. Cosa faresti? SPIEGA IL TUO RAGIONAMENTO (se ti ricordi una formula in particolare motiva la scelta) 2. Inventa un problema con i dati che hai sopra. 3. Conosci le formule per il calcolo (magari le hai studiate a memoria) del quadrato, del rettangolo e del triangolo? Scrivili qui sotto e prova a trovare una relazione logica: 3a) Osserva le formule, trovi qualcosa in comune? 3b) Il calcolo delle aree del quadrato e del rettangolo hanno formule diverse, sapresti darne una spiegazione disegnando le figure geometriche in questione? (dietro il foglio) 3c) Se ti chiedessi di disegnare un trapezio, sapresti ricavarne la formula delle aree (ti suggerisco di pensare al trapezio come ad una figura geometrica composta)? (dietro il foglio) 1
3b) Spazio disponibile. 3c) Spazio disponibile. 4. L esempio del trapezio dovrebbe averti aiutato a capire che non è necessario imparare a memoria le formule, ma che si possono inventare Come? 4a) Prova a spiegare come puoi scrivere la formula dell area del trapezio attraverso la costruzione della tua figura composta. 5. Se non ti è chiaro, prova con il rombo: (caso più semplice!) 5a) Disegna il rombo pensando alle caratteristiche geometriche. Fai il disegno sul foglio con squadrette e righelli. (Oppure con GEOGEBRA senza quadretti). Ti suggerisco di considerare un rombo una figura composta!! 5b) Una volta disegnato dovresti ragionare sulla figura e scrivere la formula facendo qualche passaggio algebrico. Di seguito scrivi il tuo ragionamento. 2
SCHEDA 1a ESERCIZIARIO Qualsiasi siano i numeri, le relazioni geometriche fra lati e angoli SEMPRE VALIDE che ESISTONO e per le quali diamo un nome alle figure (il rettangolo si chiama così perché.., il rombo si chiama così perché ), ti permettono di disegnare una figura geometrica e poi di scrivere e sintetizzare le FORMULE ALGEBRICHE. 1. Ecco nell esempio una figura geometrica irregolare (no lati e angoli tutti uguali fra loro) che non è fra quelle che hai studiato: Come fai a calcolarne le dimensioni del perimetro e area? 1a) Svolgi l esercizio prima dal punto di vista ALGEBRICO. Poi dal punto di vista ARITMETICO 2. In questo esercizio imparerai a fare le moltiplicazioni fra lettere e numeri. 3
3. Prova ora tu a disegnare due figura sconosciute che abbia i suoi quattro lati: 3a, 7a, a, 5a. 2a+3; 2a+3 ; 32; 2a 3a)Calcolane il perimetro e l area scrivendo la formula algebrica. Poi calcola le grandezze (area e perimetro) con a = 4. SPAZIO RISERVATO PER L ESECUZIONE es. 3. 4
SCHEDA 2 Se sei ancora convinto che l algebra non faccia per te, anche se la hai già in mente, provo a convincerti utilizzando l aritmetica, proprio per dimostrarti che l algebra è solo un modo diverso e più importante di scrivere in matematica, invece di usare solo i numeri!!! Continuiamo con un esempio aritmetico. Se un libro è costituito da N pagine ed io ne ho lette 16 pagine ieri, oggi ne leggo il doppio di ieri e domani prevedo di leggerne la metà di oggi. Così facendo ho contato le pagine che mi mancherebbero e sono 36, quante sono le pagine in tutto? Provo con alcune domande a guidarti ed aiutarti nel ragionamento: a) Evidenziamo le parole che ci guidano, io sceglierei quelle che vedi. b) Risolvere il problema vuol dire rispondere a quale domanda? c) Di cosa ha bisogno la soluzione del problema? Spiega il tuo ragionamento. Qualsiasi esercizio può essere affrontato diversamente, le soluzioni possono essere tutte diverse e comunque corrette, ma quale bisogna prediligere? Quale devi scegliere? Questo esercizio può essere svolto da un ragazzo/a di prima, seconda e terza media. La differenza la fa la tua testa ed il tuo ragionamento. Vuoi provare? In un terreno agricolo sono stati piantati ulivi e mandorli per 266 alberi complessivi. Se gli ulivi sono i 4/10 degli alberi di mandorle, quanti sono gli ulivi e i mandorli? RISOLVI IL PROBLEMA con l uso delle frazioni (segmenti) RISOLVI IL PROBLEMA con l uso delle proporzioni (una proprietà in particolare) RISOLVI IL PROBLEMA con l uso dell algebra U = ulivi M = mandorli U + M = U = M + M = 266 5
SCHEDA 2a ESERCIZIARIO Prova ora tu a risolvere i problemi dal punto di vista ALGEBRICO. 1. In una fattoria ci sono vitelli, capre e animali da cortile per un totale di 75 capi. I vitelli sono i 2/5 di tutti gli animali, mentre le capre sono i 2/3 degli animali da cortile. Quanti vitelli, capre e animali da cortile ci sono? 2. Esegui la somma fra monomi simili (HANNO LA STESSA PARTE LETTERALE COMPRESI GLI STESSI ESPONENTI) 3. Dato il polinomio (più monomi separati da operazioni) scritto di seguito, inventa un problema: 3 a + 5/2 a +15 = 98 (TESTO) 4. In questo esercizio devi scoprire quali operazioni compie per passare da un passaggio a quello successivo. Il tuo ragionamento scrivilo nel box. 6
SCHEDA 3 Continuiamo con un esempio più difficile. La funzione matematica. Il rettangolo ABCD ha il lato AB triplo del lato BC. Indica BC = x ; determina il perimetro del rettangolo in funzione di x. 2p=. Spiega perché è necessaria la condizione x 0 ; rappresenta graficamente nel riferimento cartesiano la funzione perimetro. Determina ora l area in funzione di x, area= ; rappresenta la funzione area, nello stesso riferimento. La tabella mostra i valori assunti da y al variare di x. Quale delle seguenti è la relazione tra x e y? [A] y=x+1 [B] y=x2+1 [C] y=2x-1 [D] y=2x2-1 1. Proviamo anche con altri problemi: in una tabella sono stati raccolte le ore di luce di lampadine a basso consumo energetico. Ogni lampadina viene provata fino a quando non esaurisce la sua emivita (durata dalla accensione al suo consumo e quindi spegnimento). 1a) Completa la tabella dove mancano i valori. WATT 30 45 75 90 100 120 130 Ore di luce 60 90 120 180 240 300 2a) Trovi una relazione fra le due grandezze espresse in tabella (misura del tempo delle ore di luce e la potenza delle lampadine in Watt)? 3a) Sapresti spiegare se la relazione è sempre valida e quindi scrivere la relazione in lettere? 7
SCHEDA 4 Ora le cose più facili..il calcolo fra le lettere 1. Lettere per esprimere proprietà 1a) Per esprimere le proprietà delle operazioni tra numeri si usano le lettere per indicare che valgono per numeri qualsiasi. La scrittura: a + b + c = (a + b) + c = (a + c) + b esprime la proprietà associativa dell addizione. In essa le lettere a, b, c indicano numeri qualsiasi. I due schemi di calcolo ci dicono che per sommare tre numeri, è indifferente aggiungere alla somma dei primi due il terzo oppure aggiungere al primo la somma degli altri due. 1b) Possiamo distinguere un caso numerico (SPECIFICO) e uno CASO generale (MATEMATICO), come nell esempio: a) Determina l altezza h relativa all ipotenusa BC del triangolo rettangolo ABC. AB = 8m. AC =15m. b) Se AB fosse = (2a + 1) e BC = b + 5 mentre AC = 3b + a. Calcolando il perimetro, come ti comporti per sommare i lati? Scrivi il tuo ragionamento. Per aiutarti, le lettere diverse le sommi oppure no? E i numeri? 2. Discussione collegiale mediata dal docente. (procedure di calcolo e definizione dei polinomi.) SCRIVI LE CONCLUSIONI DELLA DISCUSSIONE. 3. L algebra ci aiuta in tutti i campi della matematica, aritmetica, geometria piana e anche solida. Prendiamo come esempio una scatola, di cioccolatini, una scatola di scarpe, un pacco di Amazon.. In matematica io lo rappresento con GEOGEBRA così: 8
3a) Se ti chiedessi quanto spazio occupa il pacco, che calcolo faresti? Generalizza la questione indicando con a, b, c la misura delle sue dimensioni e scrivi la formula per calcolare il volume del solido. Non è necessario conoscere la formula a memoria ragiona su questo esempio: Il volume della scatola avente le dimensioni di 7cm. 10cm. 2cm. è 140 cm 2. SCRIVI IL TUO RAGIONAMENTO. 3b) Se raddoppiamo ciascuna dimensione, cosa succede al volume? Fai una tabella, inserendo le dimensioni e riducile o aumentale a piacere, MA TUTTE CON STESSA MISURA (se le raddoppi, triplici, dimezzi.)e poi calcola il relativo volume. Cosa noti? 3c) L area di un rombo ha le diagonali rispettivamente lunghe: (2x _ y) e (5x _ y). Calcola l area ed il perimetro. (ATTENZIONE AI PRODOTTI NOTEVOLI)!! 3d) Giunto alla fine della dispensa dovresti saper svolgere i calcoli fra polinomi, ridurli e calcolare i prodotti notevoli (livello avanzato, non indispensabile per tutti!). 9