Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi
Parte 3, 2 Trasformata di Laplace: Strumento per lo studio delle equazioni differenziali lineari. Mediante tale strumento l equazione differenziale alla base del modello di un sistema dinamico lineare tempo invariante verrà trasformata in un dominio (dominio di Laplace) in cui l analisi del sistema stesso e la sintesi del controllo potranno essere svolte molto semplicemente Dominio temporale Trasf. Laplace Dominio Laplace Equazione differenziale lineare tempo invariante Funzione di trasferimento
Parte 3, 3 Rappresentazione numeri complessi: Forma cartesiana Piano di Gauss parte immaginaria parte reale Forma polare Passaggio tra le due formulazioni: modulo argomento Trasformazione biunivoca se
Parte 3, 4 La trasformata di Laplace si applica ad una qualunque funzione a valori complessi coniugati o reali e di variabile reale Notazione: La trasformata di Laplace risulta definita per ogni appartenente al semipiano del piano di Gauss posto a destra di una retta parallela alla asse immaginario la cui posizione dipende da (dominio di convergenza) Nel nostro contesto risulta una funzione reale di variabile reale (evoluzione dello stato, uscita, ingresso di un sistema)
Parte 3, 5 Sotto talune (non restrittive) ipotesi la trasformata di Laplace risulta univoca e la trasformazione inversa risulta definita come dove è una qualunque ascissa appartenente al dominio di convergenza di Notazione: Le due funzioni hanno lo stesso contenuto informativo (trasformazione biunivoca). Vedremo che l analisi nel dominio di Laplace sarà più agevole
Parte 3, 6 Problema Oggetto - Analisi equazione differenziale associata ad un sistema dinamico - Sintesi di un controllore in retroazione per un sistema Soluzione Oggetto Problema Immagine (dominio Laplace) Soluzione Immagine (dominio Laplace)
Parte 3, 7 Proprietà della trasformata di Laplace Linearità Derivazione Integrazione Traslazione temporale Teorema valore iniziale Teorema valore finale
Parte 3, 8 Trasformazione segnali elementari:
Trasformazione segnali elementari: Parte 3, 9 Riferimento a tabella per trasformazioni meno elementari
Esempi trasformazione funzioni complesse Parte 3, 10
Parte 3, 11 Definizione funzione di trasferimento Modello del sistema (lineare e tempo invariante) nel dominio temporale L evoluzione temporale dello stato e dell uscita e dato dal contributo dell evoluzione forzata (effetto dell ingresso) e dell evoluzione libera (effetto dello stato iniziale) Considerando come segnali temporali possiamo procedere a trasformare la relazione sopra nel dominio di Laplace
Parte 3, 12 Dalla proprietà delle derivate si ha che e quindi, trasformando entrambe i membri dell equazione di stato e utilizzando la proprietà di linearità, ovvero, considerando la trasformazione dell uscita,
Parte 3, 13 Evoluzione del sistema nel dominio di Laplace (soluzione del sistema di equazioni differenziali): Evoluzione forzata Evoluzione libera La trasformata di Laplace consente di trasformare una equazione differenziale in una equazione algebrica di immediata soluzione
Parte 3, 14 Problema Oggetto Soluzione Oggetto Problema Immagine Soluzione Immagine
Parte 3, 15 (funzione di trasferimento) La funzione di trasferimento risulta essere una funzione razionale fratta (rapporto di polinomi in ) in cui l ordine del polinomio al denominatore è (ordine del sistema) mentre quello al numeratore è. Infatti matrice di polinomi ordine vettore reale vettore polinomio ordine
Parte 3, 16 L ordine del numeratore risulta essere uguale a quello del denominatore nel caso (collegamento algebrico ingresso-uscita) grado relativo: differenza tra l ordine del polinomio a denominatore e quello a numeratore (numero sempre >=0) La funzione di trasferimento si dice propria se il grado relativo è zero, strettamente propria altrimenti. L effetto della risposta libera risulta essere una funzione razionale fratta con l ordine del polinomio a numeratore < di quello a denominatore vettore matrice di polinomi ordine N.B.: Stesso polinomio a denominatore di polinomio ordine vettore
Parte 3, 17 Nel caso lo stato iniziale sia zero la funzione di trasferimento descrive completamente il comportamento dinamico di un sistema lineare tempo invariante (permette di calcolare l andamento dell uscita a fronte di un qualunque ingresso). Rappresentazione a blocchi: Le radici del polinomio si dicono zeri della f.d.t. Le radici del polinomio si dicono poli della f.d.t.
Parte 3, 18 Rappresentazioni di una funzione di trasferimento forma fattorizzata
Parte 3, 19 Rappresentazione poli/zeri cc: 2 reali coincidenti
Parte 3, 20 forma fattorizzata forma alternativa costante di trasferimento, guadagno tipo pulsazioni naturali coefficienti di smorzamento costanti di tempo
Parte 3, 21 Forma non fattorizzata Nota: I poli della funzione di trasferimento (radici del polinomio a denominatore) sono un sottoinsieme degli autovalori della matrice di stato (sono tutti gli autovalori di a meno di cancellazioni tra radici del numeratore e del denominatore)
Pendolo inverso: Esempi calcolo funzione di trasferimento Parte 3, 22 Modello del sistema linearizzato: Uscita:
Altoparlante magnetico N S N Modello del sistema: Uscita: Parte 3, 23
Parte 3, 24 Aeroplano Modello linearizzato: Ingressi: Uscite:
Parte 3, 25 Equivalenza funzione di trasferimento/rappresentazione di stato Le due rappresentazioni del modello di un sistema dinamico, rappresentazione di stato e funzione di trasferimento, risultano equivalenti a meno di possibili cancellazioni tra radici del numeratore (zeri) e del denominatore (poli) della fdt. In questo caso il contenuto informativo della fdt è inferiore in quanto non cattura dinamiche che non hanno effetto sulla relazione ingresso-uscita esempi
Esempio 1 Esempi cancellazioni Parte 3, 26 Un parte della dinamica non ha alcun effetto sull uscita (mentre può essere condizionata con l ingresso)
Parte 3, 27 Esempio 2 Un parte della dinamica non ha alcun effetto sull uscita forzata (mentre condiziona l uscita con l evoluzione libera)
Parte 3, 28 Antitrasformata di Laplace Problema Oggetto Soluzione Oggetto Problema Immagine Soluzione Immagine
Parte 3, 29 Problema: data la soluzione della equazione differenziale nel dominio di Laplace calcolare l andamento nel dominio del tempo in funzione dell ingresso e dello stato iniziale (evoluzione temporale dell uscita) funzioni razionali fratte Nel caso (sempre vero nel nostro corso) in cui la trasformata di Laplace dell ingresso sia anch essa una funzione razione fratta allora il problema diviene quello di antitrasformare il rapporto di due polinomi in Grazie alla proprietà di linearità dell operatore anti-trasformata di Laplace la risposta libera e quella forzata possono essere calcolati separatamente e con il medesimo carico computazionale (anti-trasformata di rapporti di polinomi)
Parte 3, 30 Alla luce di questi ragionamenti ci concentriamo sull antitrasformazione della funzione razionale fratta (che nel nostro contesto può rappresentare sia l evoluzione forzata che l evoluzione libera ) Sviluppo in fratti semplici: l obiettivo è riscrivere il rapporto di polinomi come somma di termini elementari facilmente antitrasformabili 1 caso: poli (reali/complessi coniugati) a molteplicità 1 residui Reali se associati a poli reali Complessi coniugati se associati a poli complessi coniugati
Parte 3, 31 Dalla linearità dell operatore anti-trasformata: dalle regole di trasformazione di segnali elementari Quindi: La risposta del sistema (sia per quel che riguarda l evoluzione forzata che libera) è la somma di esponenziali modulati da opportune costanti (residui) dipendenti dalle radici del polinomio a denominatore
Parte 3, 32 Osservazioni: l andamento esponenziale è governato dalla posizione delle radici del polinomio a denominatore ovvero poli della fdt (coincidenti con gli autovalori della matrice di stato) nel caso di evoluzione libera poli della fdt + radici del polinomio a denominatore di nel caso di risposta forzata Gli zeri della fdt e le condizioni iniziali (in generale il numeratore della funzione razione fratta) non influenzano gli andamenti esponenziali bensì i fattori moltiplicativi (residui) Nel caso di poli complessi coniugati occorre eseguire alcune ulteriori manipolazioni al fine di ottenere andamenti temporali con senso fisico (? esponenziali complessi?)
Parte 3, 33 Elaborazione contributo coppia di poli complessi coniugati: residui associati I due esponenziali associati alla coppia di poli possono essere elaborati nel seguente modo:
Parte 3, 34 L effetto di una coppia di poli complessi coniugati a molteplicità singola è data da un segnale periodico di frequenza pari alla parte immaginaria dei poli modulato in ampiezza da un segnale esponenziale governato dalla parte reale dei poli. Il valore dei residui associati influenza la costate moltiplicativa e la fase
Parte 3, 35 Tabella riassuntiva (molteplicità 1): polo reale polo origine poli cc
Rappresentazione grafica (molteplicità 1) Parte 3, 36
Esempi Parte 3, 37 1) Antitrasformare la funzione: 2) Dato il sistema con fdt calcolare l andamento dell uscita a fronte di un ingresso 3) Calcolare l andamento di del sistema a fianco nel caso sia un gradino nei due casi a) c)
Parte 3, 38 2 caso: poli (reali/complessi coniugati) a molteplicità >1 Residui: Dalla linearità dell operatore anti-trasformata: Anti-trasformata termine elementare:
Parte 3, 39 E quindi: Tipologia Molteplicità Molteplicità Reale origine Reale Complessi c.
Parte 3, 40 In generale quindi la risposta e la somma di termini elementari del tipo: Poli origine domina Poli reali ( ) domina
Parte 3, 41 Poli complessi coniugati ( )
Rappresentazione grafica (molteplicità >1) Parte 3, 42
Parte 3, 43 Esempi 1) Antitrasformare la funzione: 2) Calcolare l uscita del sistema con fdt a fronte di un ingresso a gradino di ampiezza 2 3) Calcolare l andamento di del sistema a fianco nel caso nei due casi a) c)
Dalla teoria appena sviluppata si ha che la risposta di un sistema dinamico a fronte di un ingresso e sempre scomponibile nella somma di tre contributi: Parte 3, 44 (1) (2) (3) 1) Contributo dinamiche proprie del sistema (il cui andamento e strutturalmente governato dai poli della funzione di trasferimento) 2) Contributo ingresso (il cui andamento e strutturalmente governato dalle radici del denominatore di ) 3) Contributo condizioni iniziali (il cui andamento e strutturalmente governato dai poli della funzione di trasferimento)
I contributi (1) e (3) mettono in rilievo dinamiche proprie del sistema. Si parla in genere di modi del sistema dinamico per individuare gli andamenti temporali elementari associati ai poli della fdt. I modi sono quindi dinamiche proprie del sistema indipendenti dal particolare ingresso. Parte 3, 45 La risposta libera di un sistema dinamico ad un qualunque stato iniziale e sempre scomponibile nella somma di modi elementari La risposta forzata di un sistema dinamico ad un ingresso impulsivo ( ) e sempre scomponibile nella somma di modi elementari
Modi del sistema associati ai poli di Parte 3, 46
Dalla precedente teoria si ha inoltre che la risposta forzata di un sistema lineare si ottiene combinando linearmente le risposte forzate dei sottosistemi elementari del primo e secondo ordine Parte 3, 47.. Lo studio delle risposte forzate di sistemi elementari (primo e secondo ordine) acquista importanza!
Parte 3, 48 Effetto degli ingressi nella risposta forzata Nello sviluppo in fratti semplici l effetto dell ingresso contribuisce con dei termini additivi (modi dell ingresso) che si aggiungono ai modi naturali del sistema. Ci sono dei casi particolari, molto significativi, in cui la presenza dell ingresso non si manifesta semplicemente con termini aggiuntivi ma Modifica le proprietà strutturali della risposta Risonanza Non produce effetti sull uscita Proprietà bloccante degli zeri
Risonanza Parte 3, 49 1 caso: Modi naturali Effetto forzamento
Parte 3, 50 2 caso: Poli cc a molteplicità 2 Nel caso di corrispondenza tra modi del forzamento e modi del sistema la risposta forzata cambia strutturalmente (poli a molteplicità multipla). Nell esempio appena presentato a fronte di un ingresso limitato l uscita e addirittura illimitata.
Proprietà bloccante degli zeri Parte 3, 51 1 caso: Modo naturali Effetto forzamento 2 caso: Modi forzanti che sono coincidenti con zeri della fdt, non hanno effetto sull andamento asintotico dell uscita
Composizione schemi a blocchi Parte 3, 52 Serie Parallelo
..composizione schemi a blocchi Parte 3, 53 Retroazione negativa Retroazione positiva