Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 43
Outline 1 Definizione di successione e di limite di una successione 2 Sottosuccessioni 3 Successioni monotone 4 Il calcolo dei limiti 5 Confronti e stime asintotiche 6 Successioni ricorsive ed equazioni alle differenze A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 2 / 43
Definizione di successione e di limite di una successione Successioni Funzioni di particolare importanza: Definizione Una successione è una legge che associa ad ogni elemento di N un numero reale cioè una funzione reale definita su N: f : N R f(n) = a n n a n. Si denota con {a n } n N {a n } a n n a n. Spesso le successioni sono definite da un certo intero n 0 in poi, cioè il loro dominio è del tipo {n N n n 0 }. In tal caso si scrive {a n } n n0. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 3 / 43
Definizione di successione e di limite di una successione Grafici di successioni: a n = 1/n a n = ( 1) n A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 4 / 43
Definizione di successione e di limite di una successione Successioni limitate Definizione Una successione {a n } si dice limitata inferiormente se esiste m R tale che, per ogni n, a n m; limitata superiormente se esiste M R tale che, per ogni n, a n M; limitata se esistono m, M R tale che, per ogni n, m a n M. L operazione di limite consente di studiare il comportamento dei numeri a n quando n diventa sempre più grande. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 5 / 43
Definizione di successione e di limite di una successione Limiti di successioni Definizione Una successione {a n } possiede definitivamente un proprietà se esiste N N tale che a n soddisfa quella proprietà per ogni n N. Esempi A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 6 / 43
Definizione di successione e di limite di una successione Successioni convergenti Definizione Una successione {a n } si dice convergente se esiste un numero l R con questa proprietà: qualunque sia ε > 0 risulta definitivamente a n l < ε. In altre parole: per ogni ε > 0 esiste N N tale che a n l < ε n N. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 7 / 43
Definizione di successione e di limite di una successione Limite di una successione Quindi, se una successione è convergente ad essa è associato un numero l. Si prova che l è unico. Definizione Sia {a n } una successione convergente. Il numero reale l che compare nella definizione precedente si chiama limite della successione {a n }. Si scrive lim n + a n = l oppure a n l per n +. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 8 / 43
Definizione di successione e di limite di una successione Si noti che, dalle proprietà del valore assoluto, la disuguaglianza a n l < ε equivale a l ε < a n < l + ε. Dunque la condizione di convergenza significa che, fissata una striscia orizzontale [l ε, l + ε] comunque stretta, da un certo indice in poi i punti della successione non escono più da questa striscia. Da questa osservazione risulta che: Esempi Ogni successione convergente è limitata. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 9 / 43
Definizione di successione e di limite di una successione Successioni divergenti Definizione Sia {a n } una successione. Si dice che {a n } diverge a + se per ogni M > 0 si ha a n > M definitivamente e si scrive lim a n = + ; n + si dice che {a n } diverge a se per ogni M > 0 si ha a n < M definitivamente e si scrive lim a n =. n + Esempi A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 10 / 43
Definizione di successione e di limite di una successione I simboli + e non sono numeri. L insieme dei numeri reali R con l aggiunta dei due elementi + e si indica con R : R = R { } {+ }. L operazione di limite ha completamente significato se ambientata in R : il limite di una successione, se esiste, è un elemento di R. Esistono successioni che non sono né convergenti né divergenti (per esempio {( 1) n }). Tali successioni si dicono irregolari o indeterminate. Per esse l operazione di limite non è definita. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 11 / 43
Definizione di successione e di limite di una successione Insiemi non limitati È comodo adottare la convenzione usata per i limiti anche per il sup e l inf di insiemi. Definizione Sia E R. Se E non è limitato superiormente si dice che sup E = + ; se E non è limitato inferiormente si dice che inf E =. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 12 / 43
Definizione di successione e di limite di una successione Infinitesimi e infiniti Definizione Una successione {a n } si dice infinitesima se lim a n = 0. n + Una successione {a n } si dice infinita se lim a n = ±. n + Gli infinitesimi (infiniti) non sono numeri ma quantità variabili che tendono a diventare indefinitamente piccole (grandi). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 13 / 43
Sottosuccessioni Definizione Data una successione {a n } n n0 e una successione {n k } k k0 di interi positivi strettamente crescente e tali che n k n 0, la successione {a nk } k k0 si chiama sottosuccessione o successione estratta di {a n } n n0. Esempi: estratta pari, estratta dispari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 14 / 43
Sottosuccessioni Teorema Per ogni sottosuccessione {a nk } di una successione {a n }: Se {a n } converge allora anche {a nk } converge allo stesso limite di {a n }; se {a n } diverge allora anche {a nk } diverge. Non vale il viceversa: {( 1) n } Teorema Data una successione {a n }, se l estratta pari {a 2k } e l estratta dispari {a 2k+1 } convergono entrambe allo stesso limite l R, allora anche {a n } converge e lim n + a n = l. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 15 / 43
Successioni monotone Successioni monotone Definizione Una successione {a n } si dice monotona crescente se per ogni n a n a n+1 ; strettamente crescente se per ogni n a n < a n+1 ; monotona decrescente se per ogni n a n a n+1 ; strettamente decrescente se per ogni n a n > a n+1. Esempi Le successioni monotone non sono mai irregolari. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 16 / 43
Successioni monotone Limiti di successioni monotone Teorema Sia {a n } una successione monotona. Se {a n } è monotona crescente e superiormente limitata allora {a n } è convergente e lim n + a n = sup{a n n N}. Se {a n } è monotona decrescente e inferiormente limitata, allora {a n } è convergente e lim n + a n = inf{a n n N}. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 17 / 43
Successioni monotone Limiti di successioni monotone Corollario Sia {a n } una successione monotona. Se {a n } è monotona crescente allora lim a n = sup{a n n N}. n + Se {a n } è monotona decrescente, allora lim a n = inf{a n n N}. n + A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 18 / 43
Successioni monotone Il numero di Nepero Teorema La successione definita da è convergente. a n = ( 1 + 1 n) n n 1 Si prova che {a n } è strettamente crescente e limitata (2 a n 4). Si scrive ( lim 1 + 1 n = e. n + n) Il numero di Nepero e è irrazionale e la sua rappresentazione decimale inizia così: 2.7182818284... A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 19 / 43
Successioni monotone Successione geometrica (di ragione q) È la successione {q n }, per un fissato q R. Si ha lim n + qn = + se q > 1; 1 se q = 1; 0 se q < 1; non esiste se q 1. Se q > 1, {q n } è monotona crescente, illimitata superiormente. Se q = 1, {q n } è costante. Se 0 < q < 1, {q n } è monotona decrescente. Se q < 0, {q n } non è monotona. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 20 / 43
Il calcolo dei limiti Limiti e operazioni Teorema (Algebra dei limiti) Se a n a, b n b, con a, b R allora a n ± b n a ± b Ka n Ka a n b n a b a n b n a b per ogni K R (b n, b 0). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 21 / 43
Il calcolo dei limiti Limiti e ordinamento Teorema (Permanenza del segno, prima forma) Se a n a e a > 0 allora a n > 0 definitivamente. Se a n a e a < 0 allora a n < 0 definitivamente. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 22 / 43
Il calcolo dei limiti Limiti e ordinamento Teorema (Permanenza del segno, seconda forma) Se a n a e a n 0 definitivamente allora risulta a 0. Se a n a, b n b e a n b n definitivamente allora risulta a b. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 23 / 43
Il calcolo dei limiti Limiti e ordinamento Teorema (del confronto) Se a n b n c n definitivamente ed esiste l R tale che a n l, c n l allora anche b n l. Corollario Se b n c n definitivamente e c n 0 allora anche b n 0. Se c n 0 e b n è limitata b n c n 0. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 24 / 43
Il calcolo dei limiti Esempi Si dimostra che: lim n + nα = + se α > 0; 1 se α = 0; 0 se α < 0. Applicazione: limiti di successioni che sono scritte come rapporto tra due successioni, ciascuna costituita da somme di potenze di n. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 25 / 43
Il calcolo dei limiti Estensione delle operazioni con i limiti Casi in cui i limiti sono + o. a + = + a = + + = + = Se a 0, a a = 0 = (ove il segno di va determinato con la usuale regola dei segni) a = 0 Si noti che mancano le regole relative alle espressioni + 0 che, per tale motivo, prendono il nome di forme di indecisione. 0 0 A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 26 / 43
Confronti e stime asintotiche Confronti e stime asintotiche È utile saper confrontare due successioni entrambe infinite o entrambe infinitesime per capire quale delle due tenda più rapidamente all infinito o a 0. Siano {a n } e {b n } due successioni. Consideriamo il limite del loro rapporto. Si hanno le seguenti possibilità: 0 a n l R \ {0} lim = n + b n ± non esiste A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 27 / 43
Confronti e stime asintotiche Confronto tra infiniti Se {a n } e {b n } sono due infiniti, si dice che {a n } è un infinito di ordine inferiore a {b n } se a n lim = 0; n + b n {a n } e {b n } sono infiniti dello stesso ordine se a n lim = l R \ {0}; n + b n {a n } è un infinito di ordine superiore a {b n } se a n lim = ± ; n + b n {a n } e {b n } non sono confrontabili se il limite del loro rapporto non esiste. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 28 / 43
Confronti e stime asintotiche Confronto tra infinitesimi Se {a n } e {b n } sono due infinitesimi, si dice che {a n } è un infinitesimo di ordine superiore a {b n } se a n lim = 0; n + b n {a n } e {b n } sono infinitesimi dello stesso ordine se a n lim = l R \ {0}; n + b n {a n } è un infinitesimo di ordine inferiore a {b n } se a n lim = ± ; n + b n {a n } e {b n } non sono confrontabili se il limite del loro rapporto non esiste. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 29 / 43
Confronti e stime asintotiche Successioni asintotiche Definizione Siano {a n } e {b n } due successioni. Se a n lim = 1 n + b n si dice che {a n } e {b n } sono asintotiche e si scrive a n b n. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 30 / 43
Confronti e stime asintotiche Proprietà delle successioni asintotiche Proposizione Se a n b n allora {a n } e {b n } hanno lo stesso comportamento: o convergono allo stesso limite o divergono o entrambe non hanno limite. Se a n b n... c n allora a n c n. Se a n a n, b n b n, c n c n allora a n b n c n a nb n c. n Osserviamo inoltre che a n b n a n = b n c n con c n 1 A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 31 / 43
Confronti e stime asintotiche Esempio di successioni che non sono asintotiche a {n α } per nessun α > 0: Proposizione Per ogni a > 1, α > 0 si ha log lim a n n α n + n α = 0 lim n + a n = 0. Questi limiti descrivono la velocità con cui i logaritmi (con base > 1), le potenze, gli esponenziali (con base > 1) vanno all : i logaritmi più lentamente di qualsiasi potenza; le potenze più lentamente di qualsiasi esponenziale. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 32 / 43
Successioni ricorsive ed equazioni alle differenze Successioni ricorsive Una successione si dice ricorsiva o definita per ricorrenza se 1 sono assegnati i primi k termini; 2 è assegnata una formula che esprime il termine generale in funzione di un certo numero di termini precedenti. In formule: { a n+k = f(n, a n+k 1,..., a n ) a 0, a 1,..., a k 1 È possibile calcolare il limite di una successione ricorsiva? È possibile ricavare l espressione esplicita di una successione ricorsiva? A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 33 / 43
Successioni ricorsive ed equazioni alle differenze Alcuni esempi { a n+2 = a n + a n+1 a 0 = 0, a 1 = 1 (Successione di Fibonacci) Assegnato q R, sia { a n+1 = q a n a 0 = 1 Espressione esplicita: a n = q n (successione geometrica). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 34 / 43
Successioni ricorsive ed equazioni alle differenze Alcuni esempi Studiare le successioni: { { { a n+1 = 1 4 (a2 n + 3) a 1 = 2 a n+1 = 1 2 a 1 = 2 ( ) a n + 2 a n a n+1 = n a n a 0 = 1 A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 35 / 43
Successioni ricorsive ed equazioni alle differenze Equazioni alle differenze È possibile ricavare l espressione esplicita di una successione ricorsiva? Esaminiamo una caso particolare. L equazione a n+k = f(n, a n+k 1,..., a n ) (1) si chiama equazione alle differenze di ordine k. Se si scrive la (1) per k = 1 e si suppone che f non dipenda esplicitamente da n si ottiene a n+1 = f(a n ). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 36 / 43
Successioni ricorsive ed equazioni alle differenze Equazioni alle differenze lineari del primo ordine a coefficienti costanti Dati a, b R, sia f(x) = ax + b. La (1) diventa a n+1 = a a n + b. Per questo tipo di equazioni è disponibile una formula esplicita per la soluzione generale. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 37 / 43
Successioni ricorsive ed equazioni alle differenze Equazione omogenea Se b = 0, la (1) diventa a n+1 = a a n. (2) Per induzione si prova che, per ogni valore iniziale A R, il problema { a n+1 = a a n a 0 = A ha come soluzione la successione {a n } definita da a n = A a n. Che comportamento hanno le soluzioni per n +? L insieme delle soluzioni di (2) è dato dalle successioni del tipo: a n = c a n c R, n N. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 38 / 43
Successioni ricorsive ed equazioni alle differenze Equazione non omogenea Se b 0, l eq. diventa a n+1 = a a n + b. (3) Si consideri l eq. omogenea associata a n+1 = a a n. (4) Ogni soluzione di (3) si può scrivere come somma di una sol. di (4) e di una sol. di di (3). Teorema Sia {y n } una sol. di (3). Allora, per ogni {x n } sol. di (3), esiste c R tale che x n = c a n + y n. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 39 / 43
Successioni ricorsive ed equazioni alle differenze Equazione non omogenea Come determinare una soluzione particolare di (3)? Proposizione L eq. (3) se a 1, ammette la soluzione costante se a = 1, ammette la soluzione y n = b 1 a ; y n = n b. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 40 / 43
Successioni ricorsive ed equazioni alle differenze Equazione non omogenea L insieme delle soluzioni dell eq. non omogenea è dato dunque dalle successioni del tipo: se a 1 se a = 1 x n = c a n + b 1 a c R, n N; x n = c + b n c R, n N. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 41 / 43
Successioni ricorsive ed equazioni alle differenze Equazione non omogenea La soluzione di { a n+1 = a a n + b a 0 = A è se a 1 se a = 1 x n = ( A b ) a n + b 1 a 1 a x n = A + b n n N. n N; A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 42 / 43
Successioni ricorsive ed equazioni alle differenze Equazioni alle differenze lineari del secondo ordine a coefficienti costanti Sono del tipo: { Equazioni omogenee: c = 0 Esempio: successione di Fibonacci a n+2 = a a n+1 + b a n + c a 0 = A, a 1 = B. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 43 / 43