Introduzione e modellistica dei sistemi

Modellistica dei sistemi dinamici meccanici Sistemi meccanici in traslazione: elementi base Sistemi in traslazione: equazioni del moto Sistemi in traslazione: rappresentazione di stato Sistemi in traslazione: esempi di rappresentazione Sistemi meccanici in rotazione: elementi base Sistemi in rotazione: equazioni del moto Sistemi in rotazione: rappresentazione di stato Sistemi in rotazione: esempi di rappresentazione 2

Modellistica dei sistemi dinamici meccanici

Corpo puntiforme in traslazione Corpo puntiforme in traslazione di massa M F F 2 M 1 Mp () t = F 1 () t F 2 () t La II legge di Newton dà l equazione del moto: 2 d p() t Mp () t = M = F() t = i F () t 2 i dt in cui F i (t ) sono le forze esterne agenti sul corpo: Positive se concordi con il sistema di riferimento Negative altrimenti Unità di misura: [F ] = N, [p ] = m, [M ] = kg 4

Molla ideale di coefficiente di elasticità K F K F Molla ideale p - p + La forza elastica della molla è data da: Ft () = K p+ () t p () t è proporzionale allo spostamento relativo delle due estremità della molla (p + e p sono le posizioni delle due estremità rispetto alla posizione di riposo) Unità di misura: [F ] = N, [p ] = m, [K ] = N/m p 5

Smorzatore ideale di smorzamento β β F F Smorzatore ideale v - v + La forza di attrito dovuta allo smorzatore vale: Ft () = β v+ () t v () t = β p+ () t p () t è proporzionale alla velocità relativa dei due elementi che compongono lo smorzatore stesso Unità di misura: [F ] = N, [ p ] = m/s, [β] = Ns/m v 6

Equazioni del moto per sistemi in traslazione Si introducono assi di riferimento concordi fra loro per indicare le posizioni di ogni corpo in traslazione Per ogni massa M i (o punto materiale in traslazione avente M i = 0), con posizione p i e velocità v i = p i, vale la seconda legge di Newton espressa come: Mp est j i int () t F () t = F () t i i k k j i j est F k Le forze esterne tengono conto dell azione del mondo esterno sull elemento M i e compaiono con Segno positivo se concordi con gli assi di riferimento Segno negativo altrimenti 8

Equazioni del moto per sistemi in traslazione Si introducono assi di riferimento concordi fra loro per indicare le posizioni di ogni corpo in traslazione Per ogni massa M i (o punto materiale in traslazione avente M i = 0), con posizione p i e velocità v i = p i, vale la seconda legge di Newton espressa come: j i i i k k j i j Mp est int () t = F () t F () t Le forze interne tengono conto dell interazione tra l elemento M i considerato e gli altri corpi M j tramite: int () K p ( t) p ( t) Molle ideali K ij int F i j Smorzatori ideali β ij F t = ij ij i j F int () t = β ij p ( t) p ( t) ij i j 9

Interpretazione delle equazioni del moto Nell equazione del moto dell elemento M i Mp () t F est j i int () t = F () t i i k k j i j est F k Le forze esterne trasmettono direttamente il moto a M i ne incrementano o riducono la forza d inerzia, a seconda del loro verso di applicazione int Le forze interne F i j trasmettono invece il moto agli altri corpi M j tramite molle o smorzatori riducono la forza d'inerzia di M i 10

Rappresentazione in variabili di stato (1/2) Si scrivono le equazioni del moto per ogni corpo puntiforme di massa M i (eventualmente nulla) in traslazione, avente posizione p i e velocità v i = p i Si introducono due variabili di stato per ogni elemento M i in traslazione, scegliendo in particolare La posizione p i La velocitàp i Tale scelta permette di trasformare ogni equazione del moto (equazione differenziale del II ordine) in una coppia di equazioni differenziali del I ordine Si associa una variabile di ingresso ad ogni forza esternaapplicataalsistemameccanicointraslazione 12

Rappresentazione in variabili di stato (2/2) Si ricavano le equazioni di stato del tipo dx () t i x () t = = f t, x(), t u() t i dt ( ) a partire dalle precedenti equazioni del moto, esprimendo x i soltanto in funzione di variabili di stato e di ingresso, se necessario esplicitando il legame di derivazione temporale fra variabili di stato Si ricavano le equazioni di uscita del tipo esprimendo ogni variabile di interesse y k soltanto in funzione di variabili di stato e di ingresso i ( ) y () t = g t, x (), t u () t k k 13

Esempio #1 di rappresentazione (1/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema meccanico in traslazione, in cui le variabili di interesse sono le posizioni p 1 e p 2 K 2 K 1 β 2 M 1 K 12 M2 F Equazioni del moto: 1) M p = 0 1 1 K1( p1 0) + β1( p1 0) + K12( p1 p2) + β12( p1 p2) 2) Mp = F K ( p 0) + β ( p 0) + K ( p p ) + β ( p p )] 2 2 0 β 1 β 12 [ p 1 2 2 2 2 p 2 p 12 2 1 12 2 15 1

Esempio #1 di rappresentazione (2/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema meccanico in traslazione, in cui le variabili di interesse sono le posizioni p 1 e p 2 K 2 K 1 β 2 M 1 K 12 M2 F 0 Variabili di stato: β 1 β 12 p 1 x() t = p1() t p2() t p1() t p2() t T = x1() t x2() t x3() t x4() t T p 2 p 16

Esempio #1 di rappresentazione (3/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema meccanico in traslazione, in cui le variabili di interesse sono le posizioni p 1 e p 2 K 2 K 1 β 2 M 1 K 12 M2 F 0 β 1 β 12 Variabile di ingresso: p 1 [ Ft ] ut () = () p 2 p 17

Esempio #1 di rappresentazione (4/10) Equazioni del moto: 1) M p = 0 1 1 K1( p1 0) + β1( p1 0) + K12( p1 p2) + β12( p1 p2) 2) Mp = F K2( p2 0) + β2( p2 0) + K12( p2 p1) + β12( p2 p1) 2 2 Variabili di stato e di ingresso: p () t 1 x () t 1 p () t 2 x () t 2 p () t () 1 x t 3 p () t 2 x () t 4 Equazioni di stato: x = dp dt = p = x = f ( t x u) 1 1 1 [ ] xt () = =, ut () = Ft () x = dp dt = p 2 2 2 3 1,, ( ) = x = f t, x, u 4 2 18

Esempio #1 di rappresentazione (5/10) Equazioni del moto: 1) M p = 0 1 1 K1( p1 0) + β1( p1 0) + K12( p1 p2) + β12( p1 p2) 2) Mp = F K2( p2 0) + β2( p2 0) + K12( p2 p1) + β12( p2 p1) 2 2 Variabili di stato e di ingresso: p () t 1 x () t 1 p () t () 2 x t 2 p () t x () t 1 3 p () t 2 x () t 4 Equazioni di stato: [ ] xt () = =, ut () = Ft () x = dp dt = p = 1 K1p1 1p1 K12( p1 p 2) 12( p1 p 2) M + β + + β = 3 1 1 1 K + K K β + β β = x + x x + x = f t x u 1 12 12 1 12 12 M 1 M 2 M 3 M 4 3 1 1 1 1 (,, ) 19

Esempio #1 di rappresentazione (6/10) Equazioni del moto: 1) M p = 0 1 1 K1( p1 0) + β1( p1 0) + K12( p1 p2) + β12( p1 p2) 2) Mp = F K2( p2 0) + β2( p2 0) + K12( p2 p1) + β12( p2 p1) 2 2 Variabili di stato e di ingresso: p () t 1 x () t 1 p () t () 2 x t 2 p () t x () t 1 3 p () t 2 x () t 4 Equazioni di stato: [ ] xt () = =, ut () = Ft () x = dp dt = p = F 1 K 4 2 2 2p2 2p2 K12( p2 p1) 12( p2 p1) M M + β + + β = 2 2 K K + K β β + β = x x + x x + 1 u = f ( t, x, u) M M M M M 12 2 12 12 2 12 1 2 3 4 4 2 2 2 2 2 20

Esempio #1 di rappresentazione (7/10) Equazioni del moto: 1) M p = 0 1 1 K1( p1 0) + β1( p1 0) + K12( p1 p2) + β12( p1 p2) 2) Mp = F K2( p2 0) + β2( p2 0) + K12( p2 p1) + β12( p2 p1) 2 2 Variabili di stato e di ingresso: p () t 1 x () t 1 p () t () 2 x t 2 p () t x () t 1 3 p () t 2 x () t 4 Equazioni di uscita: y = p = x = g ( txu,, ) y () t 1 yt () = 1 1 1 1 y = p = x = g ( txu,, ) y () t 2 2 2 2 2 [ ] xt () = =, ut () = Ft () 21

Esempio #1 di rappresentazione (8/10) Equaz. di stato: x = x 1 3 x = x 2 4 K + K K β + β β 1 12 12 1 12 12 x = 3 M x + 1 M x 2 M x + 3 M x4 1 1 1 1 K K + K β β + β 12 2 12 12 2 12 x = 4 M x 1 M x + 2 M x 3 M x + 4 M u 2 2 2 2 2 Equaz. di uscita: y = x 1 1 y = x 2 2 Se M 1,M 2,K 1,K 2,K 12,β 1,β 2 e β 12 sono costanti il sistema è LTI e ha rappresentazione di stato ( xt) = Axt () + But () y () t = C x() t + Du() t 1 22

Esempio #1 di rappresentazione (9/10) Se M 1,M 2,K 1,K 2,K 12,β 1,β 2 e β 12 sono costanti il sistema è LTI e ha rappresentazione di stato ( xt) = Axt () + But () y () t = C x() t + Du() t A 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 K + K K β + β β, B 0, K K + K β β + β 1 M M M M = 1 12 12 1 12 12 = M1 M1 M1 M1 12 2 12 12 2 12 M2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 C =, D = 0 1 0 0 0 23

Esempio #1 di rappresentazione (10/10) Nota: si può modellizzare il fenomeno dell attrito mediante uno smorzatore equivalente avente un estremità fissa e lo smorzamento β i uguale al coefficiente d attrito viscoso; il sistema considerato in quest esempio è infatti equivalente al seguente: K 2 K 1 M 1 K 12 M 2 F 0 β 1 p 1 β 12 p 2 β 2 p 24

Esempio #2 di rappresentazione (1/5) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente levitatore magnetico, in cui y () t = p() t 2 2 e l elettromagnete genera la forza f () t = k i () t p () t corrente di alimentazione dell elettromagnete trasduttore ottico di posizione i 0 p f M Mg Equazione del moto: 2 2 Mp () t = Mg f () t = Mg ki () t p() t i i elettromagnete sfera metallica di massa M 25

Esempio #2 di rappresentazione (2/5) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente levitatore magnetico, in cui y () t = p() t 2 2 e l elettromagnete genera la forza f () t = k i () t p () t corrente di alimentazione dell elettromagnete trasduttore ottico di posizione i 0 p f M Mg i elettromagnete sfera metallica di massa M Variabili di stato: xt () pt () x () t 1 = = pt () x () t 2 26

Esempio #2 di rappresentazione (3/5) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente levitatore magnetico, in cui y () t = p() t 2 2 e l elettromagnete genera la forza f () t = k i () t p () t corrente di alimentazione dell elettromagnete trasduttore ottico di posizione i 0 p f M Mg i elettromagnete sfera metallica di massa M Variabile di ingresso: ut () = it () 27

Esempio #2 di rappresentazione (4/5) Equazione del moto: 2 2 Mp () t = Mg ki () t p() t i Variabili di stato e di ingresso: pt () x () t 1 xt () = =, ut () it () pt () x () t = 2 Equazioni di stato: x = dp dt = p = x = f (, t x, u) 1 2 1 k 2 i i k 2 x = dp dt = i u p = g = g = f (, t x, u) 2 M 2 2 p M 2 x1 Equazione di uscita: y = p = x = g(, t x, u) 1 28

Esempio #2 di rappresentazione (5/5) Equazioni di stato: Equazione di uscita: x = x 1 2 2 i y = x 1 ( ) x = g k M u x 2 2 1 Il sistema risulta non lineare, a causa della forza di attrazione f dell elettromagnete di tipo non lineare Il sistema è inoltre dinamico, a tempo continuo, a dimensione finita (n =2), SISO (p =q =1), proprio, stazionario nel caso k i e M siano costanti La forza peso Mg è esterna al sistema ma costante non compare nel vettore di ingresso u ma solo con il termine costante g nelle equazioni di stato 29

Esempio #3 di rappresentazione (1/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema meccanico, in cui y () t = v() t = p() t β F A K M 0 p p, v A,v A Equazioni del moto: 1) M p = 0 p = 0 β( p p) + K( p 0) A A A A A 2) Mp = F β( p p ) A 30

Esempio #3 di rappresentazione (2/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema meccanico, in cui y () t = v() t = p() t F M p, v Variabili di stato: xt () β A K 0 p A,v A p () t A pt () x () t 1 x () t = 2 = p () t x () t A 3 pt () x () t 4 31

Esempio #3 di rappresentazione (3/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema meccanico, in cui y () t = v() t = p() t β F A K M 0 p p, v A,v A Variabile di ingresso: ut () = Ft () 32

Esempio #3 di rappresentazione (4/10) Equazioni del moto: 1) 0 = β( p p) Kp 2) Mp = F β( p p ) A A A Variabili di stato e di ingresso: p () t () A x t 1 pt () x () t 2 p () t x () t A 3 pt () x () t 4 Equazioni di stato: [ ] xt () = =, ut () = Ft () x = dp dt = p 1 A A = x = f (, t x, u) 3 1 x = dp dt = p 2 = x = f (, t x, u) 4 2 x = dp dt = p =? (conseguenza di M A = 0 nell'equaz. 1) 3 A A p A non èunavariabiledistatoenoncompareinx 33

Esempio #3 di rappresentazione (5/10) Equazioni del moto: 1) 0 = β( p p) Kp 2) Mp = F β( p p ) A A A Variabili di stato e di ingresso: p () t A pa() t x1() t pt () 2 p () t A pt () x3() t pt () Equazioni di stato: [ ] xt () = = pt () = x() t, ut () = Ft () x = dp dt = p = p K p = K x + 1 x = (,, ) 1 A A A 3 1 f t x u β β x = dp dt = p = x = f ( t, x, u) 2 3 2 34

Esempio #3 di rappresentazione (6/10) Equazioni del moto: 1) 0 = β( p p) Kp 2) Mp = F β( p p ) A A A Variabili di stato e di ingresso: p () t A pa() t x1() t pt () 2 p () t A pt () x3() t pt () Equazioni di stato: [ ] xt () = = pt () = x() t, ut () = Ft () x = dp dt = p 3 = F 1 β ( p p ) = u ( x x ) A 3 1 = M β M M M 1 β ( K ) = u x x + x = K x + 1 (,, ) 1 u f 3 t x u M M = 3 1 3 M M β 35

Esempio #3 di rappresentazione (7/10) Equazioni del moto: 1) 0 = β( p p) Kp 2) Mp = F β( p p ) A A A Variabili di stato e di ingresso: p () t A pa() t x1() t pt () 2 p () t A pt () x3() t pt () Equazione di uscita: [ ] xt () = = pt () = x() t, ut () = Ft () y = p = x = g(, t x, u) 3 36

Esempio #3 di rappresentazione (8/10) Equazioni di stato: Equazione di uscita: x1 = K x1+ x3 β x2= x3 x K 1 3= x1+ u M M y = x 3 Poiché x 2 = p non compare nelle equazioni di stato o di uscita si può semplificare il vettore di stato p () t xt () () pt () A = pa() t x1() t pt = pt () = x2() t K x1 = x1+ x2 β x K 1 2 = x1+ u M M y = x 2 37

Esempio #3 di rappresentazione (9/10) Equazioni di stato: Equazione di uscita: K x1 = x1+ x2 β x K 1 2 = x1+ u M M y = x Se M, K e β sono costanti, il sistema è LTI ha come rappresentazione in variabili di stato xt () = Axt () + But () y () t = C x() t + Du() t A K 1 0 β =, B 1, C 0 1, D 0 K = = = 0 M M 2 38

Esempio #3 di rappresentazione (10/10) Le due semplificazioni in x sono di natura diversa p A non è una variabile di stato indipendente, poiché l equazione del moto del punto materiale A di massa nulla lega p A ad altre due variabili di stato K K 0 = β( p p) Kp p = p p = x x A A A β A 2 β 1 (in analogia col caso delle reti elettriche degeneri) p non compare nelle equazioni di stato o di uscita, per cui la rappresentazione minima in variabili di stato non ne richiede la presenza (diverso sarebbe stato ad esempio il caso in cui y (t ) = p (t )... ) 39

Corpo puntiforme in rotazione Corpo puntiforme in rotazione di inerzia J θ, ω T 2 J () t T () t T () t J θ = 1 2 ω La II legge di Newton dà l equazione del moto: 2 d () t J θ θ () t = J 2 = T () t = i T () t dt i in cui T i (t ) sono le coppie esterne agenti sul corpo: Positive se concordi con il sistema di riferimento Negative altrimenti Unità di misura: [T ]=Nm,[θ ]=rad,[j ] =kgm 2 T 1 41

Molla ideale Molla ideale di coefficiente di elasticità torsionale K T T θ + La coppia elastica della molla è data da: T () t = K θ+ () t θ () t K ω è proporzionale alla rotazione relativa delle due estremità della molla (θ +,θ sono le posizioni angolari delle due estremità rispetto alla posizione di riposo) Unità di misura: [T ]=Nm,[θ ]=rad,[k ]=Nm/rad θ T T 42

Smorzatore ideale di smorzamento β T ω + T β ω Smorzatore ideale La coppia di attrito dovuta allo smorzatore vale: T () t = β ω+ () t ω () t = β θ+ () t θ () t è proporzionale alla velocità angolare relativa dei due elementi che compongono lo smorzatore Unità di misura:[t ]=Nm,[ θ ]=rad/s,[β]=nms/rad T T 43

Equazioni del moto per sistemi in rotazione Si introducono sistemi di riferimento (e quindi versi di rotazione) concordi fra loro per indicare le posizioni angolari di ogni corpo in rotazione Per ogni corpo J i (o punto materiale in rotazione con J i = 0), con posizione angolare θ i e velocità angolare ω = θ, vale la seconda legge di Newton nella forma: i i J est l i int () t T () t θ = T () t i i k k l il est T k Le coppie esterne tengono conto dell azione del mondo esterno sull elemento J i e compaiono con Segno positivo se concordi con i sistemi di riferimento Segno negativo altrimenti 45

Equazioni del moto per sistemi in rotazione Si introducono sistemi di riferimento (e quindi versi di rotazione) concordi fra loro per indicare le posizioni angolari di ogni corpo in rotazione Per ogni corpo J i (o punto materiale in rotazione con J i = 0), con posizione angolare θ i e velocità angolare ω = θ, vale la seconda legge di Newton nella forma: i i J est l i int () t T () t θ = T () t i i k k l il int T il Le coppie interne tengono conto dell interazione tra l elemento J i considerato e gli altri corpi J l tramite: int T () t = K θ ( t) θ ( t) Molle ideali K il Smorzatori ideali β il il int T () t = β θ ( ) θ ( ) il il [ ] i [ t t ] l il i l 46

Interpretazione delle equazioni del moto Nell equazione del moto dell elemento J i J () t T () t T () t est l i int θ = i i k k l il est T k Le coppie esterne trasmettono direttamente il moto a J i ne incrementano o riducono la coppia d inerzia, a seconda del loro senso di rotazione int Le coppie interne T il trasmettono invece il moto agli altri corpi J l tramite molle o smorzatori riducono la coppia d'inerzia di J i 47

Rappresentazione in variabili di stato (1/2) Si scrivono le equazioni del moto per ogni corpo in rotazione di inerzia J i (eventualmente nulla), con posizione angolare θ i e velocità angolare ω = θ i i Si introducono due variabili di stato per ogni elemento J i in rotazione, scegliendo in particolare La posizione angolare θ i La velocità angolare θi Tale scelta permette di trasformare ogni equazione del moto (equazione differenziale del II ordine) in una coppia di equazioni differenziali del I ordine Si associa una variabile di ingresso a ogni coppia esterna applicata al sistema meccanico in rotazione 49

Rappresentazione in variabili di stato (2/2) Si ricavano le equazioni di stato del tipo dx () t i x () t = = f t, x(), t u() t i dt ( ) a partire dalle precedenti equazioni del moto, esprimendo x i soltanto in funzione di variabili di stato e di ingresso, se necessario esplicitando il legame di derivazione temporale fra variabili di stato Si ricavano le equazioni di uscita del tipo esprimendo ogni variabile di interesse y k soltanto in funzione di variabili di stato e di ingresso i ( ) y () t = g t, x (), t u () t k k 50

Esempio #1 di rappresentazione (1/9) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema meccanico in rotazione, in cui le variabili di interesse sono θ 2 e ω = θ T m β 1 β 12 2 2 T r J1 J 2 θ K 12 1 Equazioni del moto: 1) J θ = T β1( θ1 0) + K12( θ1 θ2) + β12( θ1 2) 1 1 m θ 2) J θ = T K 2 2 12( θ2 θ1) + β12( θ2 θ1) r θ 2 52

Esempio #1 di rappresentazione (2/9) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema meccanico in rotazione, in cui le variabili di interesse sono θ 2 e ω = θ T m β 1 β 12 2 2 T r θ 1 Variabili di stato: xt () θ () t 1 θ () t 2 = = θ () t J1 K 12 x () t 1 3 θ () t 2 x () t 4 1 x () t 2 x () t J 2 θ 2 53

Esempio #1 di rappresentazione (3/9) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema meccanico in rotazione, in cui le variabili di interesse sono θ 2 e ω = θ T m β 1 β 12 2 2 T r J1 θ K 12 1 Variabili di ingresso: T m() t u1 () t ut () = = Tr () t u2 () t J 2 θ 2 54

Esempio #1 di rappresentazione (4/9) Equazioni del moto: 1) J θ = T β 1 1 1( θ1 0) + K12( θ1 θ2) + β12( θ1 2) m θ 2) J θ = T K 2 2 12( θ2 θ1) + β12( θ2 θ1) r Variabili di stato e di ingresso: θ () t 1 x () t 1 θ () t x () t 2 2 T m() t u1() t xt () =, ut () θ () t = x () t = = 1 3 Tr () t u2 () t θ () t 2 x () t 4 Equazioni di stato: x = dθ dt = θ = x = f ( t x u) 1 1 1 x = dθ dt = θ 2 2 2 3 1,, ( ) = x = f t, x, u 4 2 55

Esempio #1 di rappresentazione (5/9) Equazioni del moto: 1) J θ = T β 1 1 1( θ1 0) + K12( θ1 θ2) + β12( θ1 2) m θ 2) J θ = T K 2 2 12( θ2 θ1) + β12( θ2 θ1) r Variabili di stato e di ingresso: θ () t 1 x () t 1 θ () t x () t 2 2 T m() t u1() t xt () =, ut () θ () t = x () t = = 1 3 Tr () t u2 () t θ () t 2 x () t 4 Equazioni di stato: x = d θ dt = θ 3 1 1 = T J βθ + K ( θ θ ) + β ( θ θ ) J = m 1 1 1 12 1 2 12 1 2 1 K K β + β β u = x + x x + x + = f t xu J J J J J 12 12 1 12 12 1 1 2 3 4 3 1 1 1 1 1 (,, ) 56

Esempio #1 di rappresentazione (6/9) Equazioni del moto: 1) J θ = T β 1 1 1( θ1 0) + K12( θ1 θ2) + β12( θ1 2) m θ 2) J θ = T K 2 2 12( θ2 θ1) + β12( θ2 θ1) r Variabili di stato e di ingresso: θ () t 1 x () t 1 θ () t x () t 2 2 T m() t u1() t xt () =, ut () θ () t = x () t = = 1 3 Tr () t u2 () t θ () t 2 x () t 4 Equazioni di stato: x = d θ dt = θ 4 2 2 = T J K ( θ θ) + β ( θ θ) J = r 2 12 2 1 12 2 1 2 K K β β u = x x + x x = f t x u J J J J J 12 12 12 12 2 1 2 3 4 4 2 2 2 2 2 (,, ) 57

Esempio #1 di rappresentazione (7/9) Equazioni del moto: 1) J θ = T β 1 1 1( θ1 0) + K12( θ1 θ2) + β12( θ1 2) m θ 2) J θ = T K 2 2 12( θ2 θ1) + β12( θ2 θ1) r Variabili di stato e di ingresso: θ () t 1 x () t 1 θ () t x () t 2 2 T m() t u1() t xt () =, ut () θ () t = x () t = = 1 3 Tr () t u2 () t θ () t 2 x () t 4 Equazioni di uscita: y y = θ = x = g ( t, x, u) 2 1 = θ = x = g ( t x u) 1 2 2 2 4 2,, yt () = y () t 1 y () t 2 58

Esempio #1 di rappresentazione (8/9) Equaz. di stato: x = x 1 3 x = x 2 4 K K 12 12 1 12 12 x = 3 J x + 1 J x 2 J x + 3 J x + 4 J u1 1 1 1 1 1 K K β + β β 12 12 12 12 x = 4 J x 1 J x + 2 J x 3 J x 4 J u2 2 2 2 2 2 Equaz. di uscita: y = x 1 2 y = x 2 4 Se J 1,J 2,K 12,β 1 e β 12 sono costanti, il sistema è LTI ha come rappresentazione in variabili di stato ( xt) = Axt () + But () y () t = C x() t + Du() t β β 1 1 59

Esempio #1 di rappresentazione (9/9) Se J 1,J 2,K 12,β 1 e β 12 sono costanti, il sistema è LTI ha come rappresentazione in variabili di stato ( xt) = Axt () + But () y () t = C x() t + Du() t 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 K12 K12 β1 + β12 β12 A =, B = 1 0, J1 J1 J1 J1 J1 K12 K12 β12 β12 0 1 J2 J2 J2 J 2 J 2 0 1 0 0 0 0 C =, D = 0 0 0 1 0 0 60

Esempio #2 di rappresentazione (1/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa M, in cui le variabili di interesse sono θ e ω= θ M F o (t ) θ g F v (t ) l β K Ipotesi: l asta è rigida e di massa trascurabile il pendolo ha momento d inerzia pari a quello di una massa puntiforme M su un orbita circolare di raggio l 2 J = Ml 61

Esempio #2 di rappresentazione (2/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa M, in cui le variabili di interesse sono θ e ω= θ M F o (t ) F o (t ) θ θ T = l F g F v (t ) F o o l l TF = lfo π o β K Equazione del moto: J θ = T F + = o = lfo cos θ + = lf cos θ o sin( /2 θ) 62

Esempio #2 di rappresentazione (3/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa M, in cui le variabili di interesse sono θ e ω= θ M F o (t ) θ θ F v (t ) T = l F g F v (t ) F v v l l TF = lfv sin( π θ) v β K Equazione del moto: J θ = T + T + = F o = lf cosθ + lf sinθ + o F v v = lf sinθ v 63

Esempio #2 di rappresentazione (4/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa M, in cui le variabili di interesse sono θ e ω= θ M F o (t ) θ θ Mg TMg = l Mg g F v (t ) β Equazione del moto: J θ = T F + T F + T Mg = o v = lf cosθ + lf sinθ + lmg sinθ o l K v l T Mg = lmgsin( π θ) = lmgsinθ 64

Esempio #2 di rappresentazione (5/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa M, in cui le variabili di interesse sono θ e ω= θ M F o (t ) θ g F v (t ) l β K Equazione del moto: J θ = T F + T F + T Mg K( θ 0) + β( θ 0) = o v = lf cosθ + lf sinθ + lmgsinθ Kθ βθ o v 65

Esempio #2 di rappresentazione (6/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa M, in cui le variabili di interesse sono θ e ω= θ M F o (t ) θ g F v (t ) l β K Variabili di stato: xt () θ () t x () t 1 = θ() t = x () t 2 66

Esempio #2 di rappresentazione (7/10) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa M, in cui le variabili di interesse sono θ e ω= θ M F o (t ) θ g F v (t ) l β K Variabili di ingresso: F () t u () t ut () = = o 1 F v () t u () t 2 67

Esempio #2 di rappresentazione (8/10) Equazione del moto: J θ= lfocosθ + lfvsin θ + lmg sin θ Kθ βθ, J = Ml Variabili di stato e di ingresso: θ () t x () t () 1 Fo () t u t 1 xt () = =, ut () = = θ () t x () t F () () 2 v t u t 2 Equazioni di stato: x = dθ dt = θ = x = f (, t x, u) 1 2 1 x = d θ dt = θ = 1 [ lf cosθ + lf sinθ + lmg sinθ K θ βθ ] 2 = 2 o v Ml 1 cos 1 g u x u sin x sin x K β = + + x x = f ( t, x, u) 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 Ml Ml l Ml Ml 68 2

Esempio #2 di rappresentazione (9/10) Equazione del moto: J θ= lfocosθ + lfvsin θ + lmg sin θ Kθ βθ, J = Ml Variabili di stato e di ingresso: θ () t x () t () 1 Fo () t u t 1 xt () = =, ut () = = θ () t x () t F () () 2 v t u t 2 Equazioni di uscita: 2 y1 y 2 = θ = x = g 1 1( t, x, u) = θ = x = g ( t, x, u) 2 2 yt () = y () t 1 y () t 2 69

Esempio #2 di rappresentazione (10/10) Equaz. di stato: x = x 1 2 cos sin g β x = + + sinx Equaz. di uscita: y = x 1 1 y = x 2 2 Il sistema è non lineare, a causa dei vari termini trigonometrici e dei prodotti incrociati stati-ingressi Il sistema è inoltre dinamico, a tempo continuo, a dimensione finita (n =2), MIMO (p =q =2), proprio, stazionario se M, l, K, β e g sono costanti u x u x Kx x 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 Ml Ml l Ml Ml La forza peso Mg è esterna al sistema ma costante non compare nel vettore di ingresso u 70