LE FRAZIONI 1. La frazione a) Numeratore, denominatore b) Rappresentazione di una frazione c) Unità frazionaria, frazione propria, frazione impropria, frazione apparente. d) Rappresentazione di una frazione impropria. La frazione come operatore a) Problema diretto (dato un intero trovare una sua parte) b) Problema inverso (data una parte di un intero calcolare l'intero). Frazioni equivalenti a) Trovare una frazione equivalente a una frazione data b) Ridurre una frazione ai minimi termini c) Calcolare il termine incognito di una frazione equivalente ad una frazione data. d) Trasformare due o più frazioni allo stesso denominatore e) Confronto di due o più frazioni 1
LE FRAZIONI numeratore denominatore Numeratore: numero delle parti da considerare (Numerator: number of the parts to be onsidered) Denominatore: numero di parti uguali in cui deve essere diviso l intero (Denominator: number of equal parts in which the whole one must be separated) 1 1 Unità frazionaria: ognuna delle parti uguali in cui è diviso l intero (, ) 11 (Fractional unity: each of the equal parts in which the whole one is separated) Frazione propria: il numeratore è minore del denominatore; rappresenta una quantità minore dell intero. (Proper fraction: the numerator is smaller of the 4 1 denominator; it represents a smaller quantity of the whole one).,, 11 18 Frazione impropria: ha il denominatore maggiore del denominatore; rappresenta una quantità maggiore dell intero. (Improper fraction: the denominator is great or equal to the denominator; it represents a great or equal quantity to the whole one). 1 4 18,, 11 18 Frazione apparente: Il numeratore è multiplo del denominatore. (Apparent 44 6 fraction: The numerator is multiple of the denominator).,, 11 18 RAPPRESENTAZIONE DI UNA FRAZIONE IMPROPRIA N.B. Una frazione impropria è uguale alla somma di un numero intero e una frazione propria (An improper fraction is equal to the sum of an integer and a proper fraction) 1 10 = + = +
FRAZIONE COME OPERATORE 1. Problema diretto a. Calcolare una parte di una grandezza (to calcolate a parte of a greatness) Problema. Il segmento AB misura 6 cm. Calcola i suoi Problem. The segment AB measures 6 cms. You calculate his Dati g= 6 cm (intero) n p= g = 6cm p=? d Procedimento p= g:dxn=(6:x)cm=4cm Esercizi Calcola i di 0 e i 6 di 0= 0 : x =4 x = 1 = : 6 x =1 x = 84 6. Problema inverso a. Calcolare una grandezza se ne conosciamo una parte (to calculate a greatness we know a part of it) Problema. I di un segmento AB misurano 9 cm. Quanto è lungo l intero segmento? Problem. The of a segment AB measures 9 cms. How much is it long AB? Dati p= 9 cm (parte) n p= g 9= g d g=? Procedimento g= p:nxd=(9:x)cm=1cm Esercizi Calcola x: x = 1 x= 1 =1:x= 6 x = 0 x = 0 =0:x6=60 6
Altri Esercizi 1= x = x 4 = x x= 4 calcolare x x= 1 = calcolare x x= : = calcolare x x= : 4 = 4 calcolare x x= 4 : =0 PRECENTUALI Calcolare il % di 0 P= 0 =0:100x=1, 100 Calcolare la somma (N) di cui il 0% è 80. 0 80= N N=80:0x100=4x100=400 100 Calcolare a quale tasso (r) corrisponde 4 su un totale di 900. r 4= 900 r= 4x100:900= 400:900=% 100 r= tasso di percentuale P= Percentuale N= Intero r P= N 100 N= Px100 r Px100 r= N 4
FRAZIONI EQUIVALENTI 1 6 9 18 Le frazioni 1 ; 6 ; 18 9 la metà del rettangolo. rappresentano sempre la stessa superficie del rettangolo, cioè Le frazioni 1 ; 6 ; 18 9 uno stesso intero. sono equivalenti perché rappresentano la stessa quantità di Le frazioni ; 4 9 ; ; sono frazioni equivalenti 40 1 infatti 4 : 8 9 : = = cioè 40 : 8 1 : 4 40 = x8 x8 9 1 = x x. Come si ottiene una frazione equivalente ad una frazione data? Si ottiene moltiplicando o dividendo il numeratore e il denominatore della frazione data per uno stesso numero (proprietà invariantiva della frazione) Frazioni ridotte ai minimi termini 1 Le frazioni ; ; si dicono ridotte ai minimi termini perché il numeratore e il denominatore sono primi tra loro.. Riduzione ai minimi termini (procedimento)
PROCEDIMENTI MATAMATICI SULLE FRAZIONI EQUIVALENTI 1. Calcolare il denominatore o il numeratore di una frazione equivalente ad una frazione data irriducibile a) = x 0 x= 0 : = 1 (moltiplicare i due termini in diagonale) b) 8 = x= 4 8 : = 16 4 x (moltiplicare i due termini in diagonale). Calcolare il denominatore o il numeratore di una frazione equivalente ad una frazione data riducibile 1 a) 8 = x 0 = x 0 x= 0 : = 0 1 Procedimento: Riduci ai minimi termini la frazione data 8 Calcola la x come nell'esempio 1a) b) 18 9 18 = = x= 4 18:9 = 8 1 x 4 x Procedimento: Riduci ai minimi termini la frazione data 1 Calcola la x come nell'esempio 1b) N.B. Da questo momento prima di ogni tipo di calcolo con le frazioni bisogna sempre ridurre ai minimi termini prima le frazioni date. Calcola x: 0 x = x= 4 4 x=:x4=0 1 x= 4 1 4 x = 4 x= 4 : 4 = 60 6
TRASFORMARE DUE O PIU' FRAZIONI IN FRAZIONI CON LO STESSO DENOMINATORE (m.c.d.) Date le seguenti frazioni irriducibili ; equivalenti con lo stesso denominatore 4 ; ; trasformale in frazioni Calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori (m.c.d.) che è m.c.d.(, 4, )= 60 Trovare le tre frazioni equivalenti a quelle date con denominatore 60 (vedi pag. 6 punto 1a).... 60 ;... 60 ;... 60 ; ===> 4 60 ; 4 60 ; 10 60 ; 4= 60 :. 4= 60 : 4. 10= 60 :. Conclusione- Le tre frazioni ; 4 ; 4 frazioni 60 ; 4 60 ; 10 60 ; ; sono equivalenti rispettivamente alle N.B. Se una o più frazioni è riducibile ai minimi termini prima di procedere bisogna ridurre le frazioni date. Questo procedimento ti servirà nei seguenti casi: Confronto di frazioni Somma di frazioni Differenza di frazioni ESERCIZIO Immagina di avere l'avanzo di due torte uguali, ma di gusto diverso; una parte avanzata è due terzi e l'altra parte avanzata è i tre quarti. Come fai a distribuire i due avanzi a degli amici in modo che ciascuno abbia una o più parti di uguale grandezza? Risposta Trasformi i due terzi in 8 dodicesimi (quindi ciascun terzo lo dividi in quattro parti) Trasformi i tre quarti in 9 dodicesimi (quindi ciascun quarto in tre parti) Così hai ottenuto fette di uguale dimensione cioè un dodicesimo di ciascuna torta iniziale e un totale di 1 fette.
CONFRONTO DI FRAZIONI Confrontare due frazioni vuol dire stabilire quale delle due è maggiore, uguale o minore dell'altra. 1 CASO FRAZIONI PROPRIE E IMPROPRIE Fra due frazioni, una propria e l'altra impropria, è maggiore quella impropria 4 < CASO FRAZIONI CON LO STESSO DENOMINATORE Fra due frazioni, aventi lo stesso denominatore, è maggiore quella con numeratore maggiore 11 14 > 9 14 CASO FRAZIONI CON LO STESSO NUMERATORE Fra due frazioni, aventi lo stesso numeratore, è maggiore quella con denominatore minore 1 > 1 4 CASO FRAZIONI QUALSIASI Trasformare le frazioni date, dopo averle ridotte ai minimi termini, in frazioni equivalenti a quelle date e aventi lo stesso denominatore, quindi vedi Caso. 1 ESEMPIO ; ; 4 ; trasformandole allo stesso denominatore (m.c.d.) otteniamo 4 60 10 60 ; 4 60 ; pertanto 4 60 4 60 10 60 cioè 4 ESEMPIO 14 40 ; 1 4 ; 8 ; riducendo ai minimi termini otteniamo 0 ; 1 ; 8 ; trasformandole allo stesso denominatore (m.c.d.) otteniamo 4 10 ; 40 10 ; 10 10 ; pertanto 4 10 ; 40 10 ; 10 10 ; cioè 1 4 14 40 8 ; 8