Esercizi di preparazione all esame di Statistica Dr Alessia Mammone alessia mammone@gmail.com STATISTICA DESCRITTIVA Esercizio 1. Calcolare media, varianza, deviazione standard, mediana e moda delle seguenti osservazioni: 5,3,3,1,6,4,7,4,2 Esercizio 2. Calcolare media, varianza, deviazione standard, mediana e moda delle seguenti osservazioni: 1,7,8,4,7,2, 1,3,5,1,2,5,3,4,4,2,5,1,3,5 Esercizio 3. La seguente tabella riporta i risultati di una rilevazione del contenuto di sodio e delle calorie di un campione di hot dogs di manzo. Calories Sodium 186 495 181 477 176 425 149 322 184 482 190 587 158 370 139 322 175 479 148 375 152 330 111 300 141 386 153 401 190 645 157 440 131 317 149 319 135 298 132 253 Calcolare sia per le calorie che per il sodio: a) rappresentare i dati in maniera adeguata b) media, mediana, moda e quartili c) deviazione standard, varianza e coefficiente di variazione d) confrontare le due variabili in termini di variabilità
PROBABILITA Esercizio 4. In uno stabilimento di produzione di automobili, si sottopone ad un controllo di qualità un campione di auto prodotte. Le statistiche indicano che una di queste auto prese a caso presenta: 0 difetti con probabilità pari 0.12 1 difetti con probabilità pari 0.18 2 difetti con probabilità pari 0.25 3 difetti con probabilità pari 0.20 4 difetti con probabilità pari 0.15 5 o più difetti con probabilità pari 0.10 Calcolare la probabilità che se si acquistasse una nuova auto tra quelle prodotte questa abbia: a) 2 o meno difetti b) 4 o più difetti c) Tra (inclusi) 1 e 3 difetti Esercizio 5. La probabilità che Anna prenda 30 all esame di Statistica è pari a 0.4, mentre la probabilità che Anna prenda 30 all esame di fisica è pari a 0.5. Infine la probabilità che Anna prenda 30 all esame di statistica o di fisica è pari a 0.86. Calcolare la probabilità che: a) Anna non abbia 30 in statistica o fisica b) Anna abbia 30 in statistica e fisica Esercizio 6. Ci sono due urne, di nome U1 e U2. Nella prima ci sono 3 palline bianche e una rossa, nella seconda solo palline rosse. Supponiamo di scegliere a caso un'urna, senza guardare qual e' e senza guardarci dentro (dunque P(U1)P(U2)1/2) e di estrarre una pallina dall'urna scelta. Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia rossa. Esercizio 7. Siamo nella stessa situazione dell Esercizio 3. Se la pallina estratta risulta rossa, qual e' la probabilità che l'urna scelta sia U1? Esercizio 8. Si osservi la seguente tabella di frequenza che riassume l ordine di nascita e la personalità di un campione di 400 adolescenti. PRIMOGENITO NON PRIMOGENITO FIDUCIOSO 62 60 122 NON FIDUCIOSO 105 173 278 167 233 400 Se scegliamo a caso un soggetto, calcolare: a) La probabilità che sia primogenito b) La probabilità che sia fiducioso c) La probabilità che sia fiducioso dato che è primogenito
d) La probabilità che sia fiducioso dato che NON è primogenito e) La probabilità che sia primogenito dato che è fiducioso Esercizio 9. Supponiamo di essere in uno stabilimento produttivo di chip per computer; di tutti quelli prodotti, il 5% è difettoso. Il 93% dei chip difettosi presentano una certa caratteristica, ma solo il 2% dei chip non difettosi presenta la stessa caratteristica. a) Se estraggo a caso un chip quale è la probabilità che presenti la caratteristica? b) Se estraggo a caso un chip nel quale osservo la caratteristica, qual è la probabilità che il chip sia difettoso? Esercizio 10. La probabilità di avere una certa malattia in una certa popolazione è 0.02; esiste un test diagnostico avente sensibilità (o equivalentemente sensitività) pari al 97% e specificità pari al 90%. Supponiamo di selezionare a caso un membro della popolazione; qual è la probabilità condizionata che egli abbia la malattia se il test è positivo? DISTRIBUIONE NORMALE Esercizio 11. Sia un carattere distribuito secondo la normale standardizzata. Determinare la probabilità dei seguenti intervalli: a) (, 2); b) (, 2.1); c) (, 2.18); d) (, 2.1); e) ( 2.18,+ ); f) (0, 2.21); g) ( 2.21, 2.21); Esercizio 12. Sia X una distribuzione normale con media pari a 5 e deviazione standard pari a 1. a) Si determini la probabilità che X 3 b) Si determini la probabilità che X 5 c) Si determini la probabilità che 4 X 6. SOLUIONI... Soluzione 4 P(2 o meno) 0.12 + 0.18 + 0.25 0.55 P(4 o più) 0.15 + 0.10 0.25 P(1 difetti 3) 0.18 + 0.25 + 0.20 0.63 Soluzione 5 P(Anna 30 stat.) 0.4 P(S)
P(Anna 30 fisica) 0.5 P(F) P(Anna 30 in stat. o fisica) 0.86 P( ) a) 1 1 0.86 0.14 b) + 0.4 + 0.5 0.86 0.04 Soluzione 6 Applico la legge delle probabilità totali 1 1 + 2 2 1 1 1 1 1 5 +1 + 4 2 2 8 2 8 Soluzione 7 Applico il Teorema di Bayes 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 4 2 5 1 1 + 2 2 () 8 5 5 8 Soluzione 8 a) La probabilità che sia primogenito: "#$ 167 400 b) La probabilità che sia fiducioso: "# 122 400 c) La probabilità che sia fiducioso dato che è primogenito: "#$ 62 400 62 "#$ "#$ 400 167 167 d) La probabilità che sia fiducioso dato che NON è primogenito: "#$ 60 400 60 "#$ "#$ 400 233 233 e) La probabilità che sia primogenito dato che è fiducioso: ( "#$) 62 400 62 "#$ () 400 122 122 Soluzione 9 C presenza della caratteristica, D chip difettoso () 0.05 ( ) 0.95 0.93 ( ) 0.07 0.02 0.98 a) Applico la legge delle probabilità totali + ( ) 0.93 0.05 + 0.02 0.95 0.0655 b) Applico il Teorema di Bayes 0.93 0.05 0.71 + ( ) 0.93 0.05 + 0.02 0.95 Soluzione 10 Sensibilità: "#$ "#"$% 0.97 "#$ "#"$% 0.03 Specificità: "#$ "#$ "#$ 0.90 "#$ 0.10 Prevalenza: 0.02 0.98 Applico il Teorema di Bayes
"#$ Soluzione 11 a) P( b) P( c) P( d) P( "#$ 0.97 0.02 0.165 "#$ + "#$ 0.97 0.02 + 0.10 0.98 2) P( 0)+ P(0 2) 0.5 + 0.47725 0.97725 2.1) P( 0)+ P(0 2.1) 0.5 + 0.48214 0.98214 2.18) P( 0)+ P(0 2.18) 0.5 + 0.48537 0.98537-2.1) P( 0)-P(0-2.1) P( 0)-P(0 +2.1) 0.5-0.48214 0.01786 e) P( 2.18 ) P(- 2.18 0) + P(0 ) P(0 2.18) + P(0 ) 0.48537 + 0.5 0.98537 f) P(0 2.21) 0.48654 g) P( 2.21 2.21) P(- 2.21 0) + P(0 2.21) 2* P(0 2.21) 2*0.48654 0.97308 Soluzione 12 a) P X 3 P µ P 2 P 0 P 0 2 0.5 0.47725 0.02275 µ b) P X 5 P σ P 0 0.5 σ µ c) P 4 X 6 P σ P 1 1 2 P 0 1 2 0.34134 0.68268
Esercizio 13. Sia X una distribuzione normale di media pari a 8 e varianza pari a 9. a) Si determini la probabilità che X 12 b) Si determini la probabilità che 4 X 10. Soluzione a) P X 12 P µ σ " P 1.33 P 0 + ) P(0 1.33 0.5 0.40824 0.09176 µ " b) P 4 X 10 P σ P 1.33 0.67 P 1.33 0 + P 0 0.67 P 0 1.33 + P 0 0.67 0.40824 + 0.24857 0.65681