1. Funzioni e grafici elementari

1. Funzioni e grafici elementari Davide Catania davide.catania@unibs.it Esercitazioni di Analisi Matematica 1 A.A. 2016/17

Funzioni e grafici Grafici deducibili Funzioni periodiche Funzioni simmetriche Esercizi assegnati

Cos è una funzione da A in B? (A, B insiemi non vuoti) È una regola che a ogni elemento a A associa (fa corrispondere) esattamente un elemento b B (cioè uno e uno solo): f : A B A = domf è detto dominio di f. Cos è il grafico di una funzione? a b = f (a) Grf = { (x,y) A B : y = f (x) }

Test della retta verticale. Un grafico rappresenta una funzione se e solo se ogni retta verticale lo interseca in al più un punto (cioè in nessun punto o al massimo in un punto).

Esercizio 1 Quali grafici rappresentano una funzione?

Cos è l immagine di una funzione f : A B? Sono gli elementi di B associati a qualche elemento di A: immf = f (A) = { y B : y = f (x) per qualche x A } Data una funzione f : A B e dato un insieme A 1 A, cos è l immagine di A 1 tramite f? Sono gli elementi di B associati a qualche elemento di A 1 : f (A 1 ) = { y B : y = f (x) per qualche x A 1 }

Esercizio 2 Determina dominio e immagine della funzione f il cui grafico è riportato in figura. f f

Esercizio 3 Dato il grafico della funzione f in figura, determina f (], 1] [0,3[). f f

Data una funzione f : A B e dato un insieme B 1 B, cos è la preimmagine di B 1 tramite f? Sono gli elementi di A associati a qualche elemento di B 1 : f 1 (B 1 ) = { x A : f (x) B 1 }

Esercizio 4 Dato il grafico della funzione f in figura, determina f 1 (] 2,2[). f f

Quando una funzione f : A B è iniettiva? Se a elementi diversi di A corrispondono elementi diversi di B: x 1 /= x 2 f (x 1 ) /= f (x 2 ) x 1,x 2 A Quando una funzione f : A B è suriettiva su B? Se ogni elemento di B è associato a qualche elemento di A: f (A) = B cioè y B x A : f (x) = y Quando una funzione f : A B è biettiva? Se è sia iniettiva che suriettiva, cioè ogni elemento di B corrisponde esattamente a un elemento di A: y B!x A : f (x) = y

Test della retta orizzontale. Una funzione è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale ne interseca il grafico in al più un punto. Una funzione è suriettiva su B 1 se e solo se ogni retta orizzontale y = b, con b B 1, ne interseca il grafico in almeno un punto. Nota sulla suriettività. f : A f (A) è automaticamente suriettiva.

Esercizio 5 Individua le funzioni iniettive e quelle suriettive su R. f 1 f 2

Esercizio 6 Individua le funzioni iniettive e quelle suriettive su R. f 3 f 4

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Valore assoluto. x = { x se x 0, x se x < 0. Nota: x 2 = x.

Grafico di y = f ( x ). Grafico di y = f (x).

Esercizio 7 Traccia il grafico di y = 3x 2 1.

Esercizio 8 Traccia il grafico di y = x 2 1 2x.

y = x 4, y = x 6 y = 1 x 2, y = 1 x 4 y = x 3, y = x 5 y = 1 x 3, y = 1 x 5

y = x 1/2, y = x 1/4 y = x 1/3, y = x 1/5 y = x a y = 1 x a a 4 a 3 y = x a 1 a 3 a 2 a 1 a 2 a 4 a R \ Q, 0 < a 1 < a 2 < 1 < a 3 < a 4

Funzione esponenziale: y = b x. Grafico per 0 < b < 1 Grafico per b > 1, es. y = e x ( e è circa 2.7) 1 1 Proprietà a,b > 0 r,s R n N,n 1 b 0 = 1, b 1 = b, b r > 0, ( n ) b r n r = b = b r/n, b r+s = b r b s, b r s = br b s, b rs = (b r ) s, (ab) r = a r b r, ( ) 1 r b r = = 1 ( a ) r b b r, a r = b b r.

Grafico di y = f (x) + k, (k > 0) Grafico di y = f (x) k, (k > 0)

Grafico di y = f (x + h), (h > 0) Grafico di y = f (x h), (h > 0)

Traslazioni a confronto. y = f (x) + k y = f (x + h) y = f (x) k y = f (x h)

Esercizio 9 Traccia il grafico di y = ( 1 2) x 1 + 2.

Quando una funzione f : A B è invertibile? Quando è iniettiva. Se f : A B è invertibile, cos è la sua funzione inversa? f 1 : f (A) A b a = f 1 (b) quell unico a tale che f (a) = b. Nota: f 1 (x) /= ( f (x) ) 1 = 1 f (x).

Proprietà fondamentale delle funzioni inverse. Se f : A B è invertibile, allora f 1( f (x) ) = x x A, f ( f 1 (x) ) = x x f (A). Grafico di y = f 1 (x): simmetrico al Grf rispetto alla bisettrice y = x.

Funzione logaritmo: y = lg b x (b > 0,b /= 1). La funzione b x : R ]0,+ [ è invertibile. Per definizione, y = lg b x: ]0,+ [ R è la funzione inversa di y = b x. Grafico con 0 < b < 1 Grafico con b > 1, es. b = e (lnx := lg e x) y = e x 1 1 y = lnx y = lg 1 (x) 2 1

Proprietà dei logaritmi. a,b ]0,+ [ \ { 1}, r,s > 0, t R Inoltre lg b 1 = 0, lg b b = 1, ( r ) lg b (rs) = lg b r + lg b s, lg b = lg s b r lg b s, lg b r t = t lg b r, lg b r = lg a r lg a b. y = lg b x x = b y, lg b b x = x x R, b lg b x = x x ]0,+ [.

Esercizio 10 Traccia il grafico di y = lg 1 (4x). 2

Esercizio 11 Traccia il grafico di y = e 2lnx.

Funzioni iperboliche. coshx = ex +e x, sinhx = ex e x 2 2 f (x) = sinhx, tanhx = ex e x e x +e x. f (x) = coshx f (x) = tanhx 1 1 1 cosh 2 x sinh 2 x = 1 x R, tanhx = sinhx coshx { X = coshx, Y = sinhx X 2 Y 2 = 1 iperbole x R.

Come si ricava esplicitamente l espressione della funzione inversa di una funzione invertibile y = f (x)? ( arcoshx := cosh 1 x = ln x + ( arsinhx := sinh 1 x = ln ) x 2 1 x + x 2 + 1 artanhx := tanh 1 x = 1 2 ln 1 + x 1 x x [1,+ [, ) x R, x ] 1,1[.

Grafico di y = f (x). Grafico di y = f ( x).

Esercizio 12 Traccia il grafico di y = tanh(1 x).

Grafico di y = Bf (x) B > 1. Grafico di y = bf (x) 0 < b < 1.

Grafico di y = f (Ax) A > 1. Grafico di y = f (ax) 0 < a < 1.

Dilatazioni e contrazioni a confronto. y = Bf (x) y = f (Ax) y = bf (x) y = f (ax)

Esercizio 13 Traccia il grafico di y = tan(2 x ).

Esercizio 14 Traccia il grafico di y = cos ( ) 2π 3x 6.

In alternativa: y = cos ( ) ( 2π 3x 6 = cos x 2 π ) 3

y = arccosx π y = arcsinx π 2 1 1 y = arctanx π 2

Conclusioni sui grafici deducibili. Le trasformazioni riguardano tutti i grafici reali, non solo quelli delle funzioni elementari richiamate. A volte è necessario applicare le trasformazioni in un preciso ordine, altre volte no. Se un certo ordine non funziona, provarne un altro. Per tracciare y = f ( x h ), rappresentiamo y = f (x), y = f ( x ) e infine y = f ( x h ). Per tracciare y = f (h x), riscriviamo y = f (h x) = f ( (x h) ) e rappresentiamo y = f (x), y = f ( x) e infine y = f ( (x h) ). Per tracciare y = f (ax h), riscriviamo y = f (ax h) = f e infine y = f ( a ( x h a ) ) e rappresentiamo y = f (x), y = f (ax) ( a ( x h a ) ). Memorizza i grafici delle funzioni elementari con le indicazioni numeriche fondamentali!

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Quando una funzione f : A R R è T-periodica (periodica di periodo T)? Quando contemporaneamente: A è periodico, cioè x A x + T A; f (x + T) = f (x) per ogni x A. Risulta f (x + Tk) = f (x) per ogni x A, per ogni k Z. Esempi: y = cosx, y = sinx y = tanx

Esercizio 15 Determina il periodo di y = tan ( x 3) cosx.

Verifica della periodicità di y = tan ( x 3) cosx.

y = tan ( x 3) cosx, f (x + 6π) = f (x)

Esercizio 16 Determina il periodo di y = sin 2 x. 1 π

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Esercizio 17 Quali grafici rappresentano una funzione?

Esercizio 18 Quali grafici rappresentano funzioni iniettive, funzioni suriettive su R, funzioni suriettive su [0,1] (fra i grafici ), funzioni biettive da R in R?

Esercizio 19 Traccia il grafico delle seguenti funzioni; stabilisci graficamente se sono iniettive e qual è la loro immagine. (a) y = 3x + 2, (b) y = 2x 2 + 4 x + 1, { (c) y = 3 x 1 x se x 0, x + 2, (d) y = 1 x 2 se x < 0, (e) y = x + 1 x, (f) y = x 2 + 1 x, ( ) 1 x (g) y = + 2, (h) y = 1 3 2 x 1, (i) y = e x 2 3, (j) y = lg(1 x), (k) y = lg 1 2 (x + 3), (l) y = lnx 2, ( (m) y = 2sin x π 4 ), (n) y = tan( x 1), (o) y = 2arctan(3x 6), (p) y = arccos x.

Esercizio 20 Traccia il grafico delle seguenti funzioni; stabilisci graficamente se sono iniettive e qual è la loro immagine. (a) y = 1 3x, (b) y = 1 + 9x 2, (c) y = x 2 3x x, (d) y = x 3 + 1, (e) y = 2x 4, (f) y = 3 x, (g) y = x 1/2, (h) y = x π 1, (i) y = 2e x 1, (j) y = ln x 1, 2 (k) y = artanh( 2 x ), (l) y = coshx 2, π ), (m) y = 2 sin( 3 3 x (n) y = cos 2 x sin 2 x, (o) y = arcsin(sinx), (p) y = cos(arccosx).

Esercizio 21 Data f (x) = 3x 1 x+2, determina graficamente f (] 2,1]), f ([ 1,1]), f (],1] \ { 2}), f 1 (]3,4]). Esercizio 22 Data f (x) = 3 x 1 x +2, determina f 1 ([1,2]) e f 1 ([ 2, 1]). Esercizio 23 Trova f (R), f ([ 1,2]), f 1 ({0}) e f 1([ 1 2, 1 2]), per f (x) = { x 1 se x 0, x 2 + 2x se x < 0. Esercizio 24 Data f (x) = 4x x 2, determina graficamente domf, immf, f ([1,2]), f (]1,4]).

Esercizio 25 Data f (x) = x+ x x 2, trova graficamente dominio, immagine e f 1 ([ 1,3]). Esercizio 26 Traccia il grafico di f (x) = 1 2 9x 2 + 18x 8; in base a questo, trova domf, stabilisci se la funzione è iniettiva e scegli il codominio di f affinché sia suriettiva. Esercizio 27 Determina grafico, dominio e immagine di y = 2sinx 1 e y = cos(x +π) + 2.