Università degli Studi di Milano Bicocca Scuola di Economia e Statistica Corso di Laurea in Economia e Amministrazione delle Imprese (ECOAMM) Prova Scritta di METODI STATISTICI PER L AMMINISTRAZIONE DELLE IMPRESE (Milano, 27.01.17) Cognome Nome Matricola -Lh) prof. Borroni -Z) prof. Pasquazzi Firma dello studente La soluzione degli esercizi va riportata negli appositi riquadri. Il retro di ciascun foglio può essere utilizzato per la brutta copia e NON verrà corretto. Lo studente deve organizzare adeguatamente gli spazi perché NON verrà corretto quanto riportato al di fuori dei riquadri. Il presente fascicolo deve essere consegnato integro, pena l annullamento della prova. 1
ESERCIZIO 1 Si supponga che per un dato volo il numero giornaliero di prenotazioni sia descritto da una variabile casuale di Poisson con valore atteso pari a 3. a) Qual è la probabilità che in un dato giorno non venga effettuata alcuna prenotazione? b) Quali caratteristiche ha un processo (esperimento) di Poisson? Si considerino ora 10 voli diversi, tra loro indipendenti, identificati con le lettere da A a L. Per ciascun volo, il numero di prenotazioni giornaliere ha le caratteristiche descritte sopra. c) Qual è la probabilità che, in una giornata, solo 4 voli non ricevano alcuna prenotazione? d) Qual è la probabilità che, in una giornata, i voli A e B non ricevano alcuna prenotazione, e quelli da C a L ricevano almeno una prenotazione? a) La probabilità che in un dato giorno non vi siano prenotazioni è data da P(X = 0) = 30 e 3 = 0.0498. 0! b) TEORIA c) Sia Y la variabile casuale che descrive il numero di voli che non ricevono prenotazioni. Y segue la distribuzione binomiale i cui parametri sono dati da n = 10 e p = P(X = 0) = 0.0498. La probabilità richiesta è dunque data da P(Y = 4) = ( 10 4 ) 0.04984 (1 0.0498) 10 4 = 210 4.527 10 = 9.5 10 4 0.0010 d) La probabilità richiesta è data da 0.0498 2 (1 0.0498) 10 2 = 0.001 2
ESERCIZIO 2 Un venture capitalist deve valutare se gli conviene investire in una data azienda. L operazione ha un costo molto elevato e pertanto egli intende tutelarsi rispetto ad eventuali errori di valutazione: egli ritiene che l investimento sarà conveniente solo se il fatturato medio settimanale dell azienda risulti di almeno 50 migliaia di Euro. La seguente tabella riporta il fatturato dell azienda, osservato su un campione di settimane. Per la variabile fatturato si assume la distribuzione Normale. Settimana 1 2 3 4 5 Fatturato 51.074 52.294 52.20 51.875 53.180 50.705 a) Si stabiliscano le ipotesi da sottoporre a verifica, indicando quale logica è stata seguita per scegliere l ipotesi nulla. b) Si calcoli il p-value del test per verificare le ipotesi scelte. Fissando α = 0.01 si stabilisca, inoltre, se al venture capitalist conviene effettuare l investimento. c) Si calcoli un intervallo di confidenza al 99% per il fatturato medio settimanale dell azienda. a) TEORIA. b) H 0 : μ 50 contro H 1 : μ > 50. La media campionaria è data da x = 311.388 da s 2 = 114.448 51.89802 1 = 4.0342 5 = 51.8980, mentre la varianza campionaria corretta è data = 0.808. Ne consegue che 51.8980 50 t oss = 0.808 = 5.1759 e che il p-value è praticamente nullo poiché P(T > 5.1759 H 0 ) < 0.005, dove T ha distribuzione t di Student con 5 gdl. Se si fissa α = 0.01, il p-value è minore di α e dunque H 0 viene rifiutata. Al venture capitalist conviene effettuare l investimento. c) L intervallo di confidenza richiesto è dato da 51.8980 ± 4.032 0.808/ = { 53.375 50.4195 3
ESERCIZIO 3 Un fumatore confronta due tipi di fiammiferi. In un campione di 200 fiammiferi del primo tipo trova 20 fiammiferi che presentano delle imperfezioni, mentre in un campione di 150 fiammiferi del secondo tipo trova solo 10 fiammiferi con delle imperfezioni. a) Si calcoli il p-value di un opportuno test statistico per verificare se vi è una differenza significativa nella qualità dei due tipi di fiammiferi. b) Si descriva, in un contesto generale, la relazione che lega i test di ipotesi agli intervalli di confidenza. a) Test statistico: H 0 : p 1 = p 2 contro H 1 : p 1 p 2. La stima pooled dell ignota proporzione è data da p = (20+10) statistica test è dunque data da z = 20 200 10 150 200+150 0.0857(1 0.0857) ( 1 200 + 1 150 ) =. Al valore z = 1.1100 corrisponde il p-value b) TEORIA. = 0.0857 e il valore osservato della 0.1 0.07 0.0009 = 1.1100 p value = 2(1 Φ(1.11)) = 2(1 0.850) = 0.270. 4
ESERCIZIO 4 Un investitore confronta il rendimento di un fondo comune d investimento (variabile Y, in punti percentuali) con quello di un indice borsistico di riferimento (variabile X, in punti percentuali). La seguente tabella riporta i rendimenti riferiti ad un campione di 8 giorni. X +1.00 +0.54-0.32 +0.05 +0.98 +1.21 +0.85 +0.03 Y +3.01 +1.00-2.50-0.20 +2.30 +3.12 +0.7-1.50 a) Si consideri il modello di regressione lineare semplice Y = β 0 + β 1 x + ε e si verifichi se l ipotesi nulla H 0 : β 1 = 1 può essere rifiutata a favore dell ipotesi alternativa H 0 : β 1 1. Si consideri un livello di significatività pari a α = 0.05. b) Si calcoli un intervallo di confidenza al 99% per il rendimento medio del fondo comune d investimento nei giorni in cui l indice borsistico rimane invariato (cioè ha rendimento pari a zero). a) Usando i dati si ottengono le seguenti quantità di sintesi: x = 4.34 5.90 = 0.5425, y = = 0.7375, 8 8 dev(x) = 4.5444 8 0.5425 2 = 2.1900 dev(y) = 34.0734 8 0.7375 2 = 29.7222 codev(x, y) = 10.8937 8 0.5425 0.7375 = 7.930 da cui si ottengono le seguenti stime puntuali: b 1 = 7.930 2.1900 = 3.5128 b 0 = 0.7375 3.5128 0.5425 = 1.182 s 2 = 29.7222 3.51282 2.1900 = 2.981 = 0.4497. 8 2 Per verificare se l ipotesi H 0 : β 1 = 1 può essere rifiutata a favore dell ipotesi alternativa H 0 : β 1 1 bisogna calcolare la seguente statistica test: 3.5128 1 t oss = 0.4497/2.19 = 2.5128 0.2053 = 5.5458. Con α = 0.05, la soglia critica è data da t0.05 2 = t 0.025 = 2.447 (bisogna fare riferimento alla distribuzione t di Student con gdl = 8-2=), e siccome il valore di z (in modulo, si tenga presente che si tratta di un test a due code) supera la soglia critica, l ipotesi nulla deve essere rifiutata. b) L intervallo di confidenza richiesto è dato da ( 1.182 + 3.5128 0) ± 3.707 0.4497 ( 1 8 = 1.182 ± 3.707 0.11 = { 0.097 2.4340 (0 0.5425)2 + ) = 2.19 NB: t 0.01/2 = t 0.005 = 3.707 è il percentile di ordine p = 0.995 della distribuzione t di Student con gdl = 8-2=. 5