Una volgare introuzione alle EDO Tiziano Penati 1 Primitive Abbiamo già incontrato un esempio semplice i equazioni ifferenziali orinarie (EDO): il calcolo i primitive. Vale la pena infatti i ricorare che Definizione 1.1. Data una funzione continua f : (a, b) R, si ice primitiva i f su (a, b) una funzione y che soisfa y (x) = f(x), x (a, b). x La preceente relazione costituisce un esempio elementare i equazione ifferenziale. Osserviamo e ricoriamo fin a subito che la primitiva y i una funzione f NON è unica, ma ne esistono infinite (sono una famiglia) e ifferiscono tra loro per una costante. Infatti, ata una primitiva y(x), anche y(x) + C soisfa (y(x) + C) = x x y(x) + x C = x y(x) + 0 = y(x) = f(x). x Esempio 1. Supponiamo i voler trovare la soluzione ell EDO x y = xex2, passante per il punto (0, 0). Anzitutto calcoliamo tutte le primitive i f(x) = xe x2 : y(x) = xe x2 x = 1 2 ex2 + C. A questo punto scegliamo la costante arbitraria C in moo tale che y soisfi la conizione iniziale y(0) = 0. Si ottiene y(0) = 1 2 + C = 0, C = 1 2. 1
L esempio preceente mostra che imporre il passaggio per un punto seleziona una precisa primitiva (un unico valore ella costante C) tra le infinite primitive ella famiglia. Questo aspetto si ritrova in generale in tutte le EDO i cui ci occuperemo. Infatti varrà la proprietà: per ogni punto (x, y) el piano passa sempre una e una sola soluzione ell equazione ifferenziale. Questo implicitamente racchiue le ue iverse informazioni appena viste sulle primitive: 1. esitono infinite soluzioni, che ricoprono tutto il piano; 2. le soluzioni non si intersecano MAI. 2 EDO el prim orine e autonome Un EDO si ice el prim orine se coinvolge solo le erivate prime ella funzione incognita. In altri termini, etta (per esempio) x(t) la funzione incognita, un equazione el prim orine ha la forma x(t) = f(t, x(t)). t Definizione 2.1. Un EDO si ice autonoma se f NON ipene alla variabile t, ovvero se x(t) = f(x(t)). t Queste equazioni sono per certi versi elementari, in quanto è sempre possibile fornire inicazioni qualitative sul comportamento elle sue soluzioni e spesso anche arne una scrittura esplicita. Approfittiamo i questa classe i equazioni per ricorare il significato i un EDO. Supponiamo che all istante t = 0 la soluzione si trovi in un certo punto etto x 0, ovvero sia x(0) = x 0. Ci chieiamo opo un intervallo molto breve i tempo, etto δt, che valore abbia la soluzione, ovvero ci chieiamo quanto valga x(δt). Possiamo usare la efinizione i erivata per approssimare la erivata x(t) con il rapporto t incrementale δx x(t) t δt allora l EDO assume la forma x(t + δt) x(t) δt se moltiplichiamo per δt otteniamo x(t + δt) x(t) =, δt f(x(t)); x(t + δt) x(t) + f(x(t))δt. 2
Se la valutiamo in t = 0 si ricava x(δt) x 0 + f(x 0 )δt, che rappresenta con buona approssimazione il valore cercato i x(δt). Esseno δt > 0, la relazione preceente ci ice chiaramente che opo tale intervallo i tempo, la soluzione x ha un valore maggiore i x 0 se f(x 0 ) > 0, altrimenti il suo valore è minore. In altri termini, il segno i f(x 0 ) caratterizza la monotonia ella soluzione: se f > 0 la soluzione cresce, altrimenti ecresce. Possiamo ire che un EDO è un equazione che contiene informazioni sulla monotonia elle sue soluzioni. Osserviamo che, poneno x k := x(kδt), l EDO autonoma el prim orine può essere approssimata con la mappa infatti x k+1 = x k + (δt)f(x k ); x k+1 = x((k + 1)δt) = x(δt + kδt) x(kδt) + f(x(kδt))δt = x k + f(x k ). Esempio 2. Stuiamo le soluzioni ell EDO x = x ln (x) = f(x). t Anzitutto osserviamo che una soluzione x(t) evve essere necesariamente positiva, altrimenti ln x NON è efinito. A questo punto, osserviamo che f(x) > 0, x > 1. Quini, se parto con un ato iniziale x 0 > 1, la sua erivata è positiva e la funzione cresce. Cresceno, si allontana a 1 e la erivata continua a essere positiva, quini continua a crescere senza fermarsi. Se, invece, poniamo x 0 = 1, allora la soluzione sarà costante. Infatti x(t) = 1 è soluzione ell EDO ata, esseno t 1 = 0 = f(1). Se, infine, partiamo con x 0 < 1, la erivata è negativa e la funzione ecresce. Questo quaro qualitativo viene confermato ai conti x(t) = e Cet, C = ln (x 0 ). 3
3 Un confronto tra inamica iscreta e continua Consieriamo il moello iscreto e continuo i crescita Malthusiana. moello iscreto si scrive come Il p n+1 = µp n, µ := 1 + kα 0 β 0, (1) ove µ rappresenta il tasso i variazione relativa µ = p n+1 p n. L evoluzione i una popolazione che inizialmente ha taglia p(0) = p 0 è Il moello continuo i scrive come p n = µ n p 0. (2) P t = λp, λ := ka 0 b 0, (3) ove λ rappresenta il tasso i crescita per unità i tempo L evoluzione si scrive come λ P (nτ + τ) P (nτ) τ. P (t) = e λt P 0. (4) Nel fare un confronto tra le ue inamiche, supponiamo ientiche le popolazioni iniziali p 0 = P 0 e enotiamo con P n l evoluzione el moello continuo a intervalli nτ, ovvero P n := P (nτ). Ricoriamo che il moello continuo è stato eotto al moello iscreto nel limite i τ 1, ovvero assumeno µ = 1 + kα 0 (τ) β 0 (τ) = 1 + (ka 0 b 0 )τ + O(τ 2 ), quini per intervalli τ sufficientemente piccoli vale l approssimazione Se τ 1/λ, allora vale anche µ 1 + τλ. (5) e λτ 1 + λτ, 4
quini l evoluzione P n assomiglia a p n Se enotiamo con P n = e nλτ p 0 = ( e λτ) n p0 (1 + λτ) n p 0 µ n p 0. δ n := P n p n la istanza tra le ue evoluzioni, allora ci si convince che su tempi brevi, la istanza è piccola a causa elle approssimazioni appena viste. Al crescere i n tale istanza iventa esponenzialmente grane a causa el continuo accumulo i errori i approssimazione. 5