Outline. Inversione della trasformata di Laplace. Formula di Bromwich-Mellin o di Riemann-Fourier. Teorema (Inversione della trasformata)

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1 Outline Inversione ella trasformata i Laplace (Metoi Matematici e Calcolo per Ingegneria) Enrico Bertolazzi DIMS Università i Trento anno accaemico 2008/ Antitrasformata i Laplace 2 Trattamento elle raici complesse 3 Inversione ella trasformata i Laplace 1 / 28 Antitrasformata i Laplace Teorema (Inversione ella trasformata) Sia f(t) una funzione trasformabile con trasformata f(s) e ascissa i convergenza λ0. Detto α un qualsiasi numero reale tale che α > λ0 vale f(t) = 1 αıβ lim e st 2 πı f(s) s β α jβ nei punti i continuità, ove f(t) è iscontinua vale f(t 0) f(t 0) = 1 αıβ lim e st 2 2 πı f(s) s β α jβ La retta x = α nel piano i Gauss prene il nome i retta i Bromwich. Si noti che la formula non ipene al valore i α purchè sia α > λ0. Inversione ella trasformata i Laplace 3 / 28 Inversione ella trasformata i Laplace 2 / 28 Antitrasformata i Laplace La formula i Bromwich-Mellin non è molto comoa per il calcolo pratico ella trasformata inversa. Consieriamo a esempio la antitrasformata i 1/s che sappiamo essere la funzione i Heavisie: h(t) = 1 αıβ e st lim 2 πı β α ıβ s s = 1 β e (αıγ)t lim 2 πı β β α ıγ ıγ β = eαt 2 π lim β β cos(γt)(α ıγ) sin(γt)(ıα γ) α 2 γ 2 γ sfruttano il fatto che sin(γt) e γ cos(γt) sono funzioni ispari rispetto a γ: β h(t) = eαt 2 π lim αcos(γt) γ sin(γt) β β α 2 γ 2 γ Inversione ella trasformata i Laplace 4 / 28

2 Antitrasformata i Laplace Antitrasformata i Laplace Gli integrali per t 0 e β h(t) = eαt 2 π lim β β h(0) = 1 β 2 π lim β β αcos(γt) γ sin(γt) α 2 γ 2 γ α α 2 γ 2 γ per t = 0 sono ifficili a calcolare. Usano a esempio MAPLE otteniamo la soluzione 0 per t < 0 h(t) = 1/2 per t = 0 1 per t > 0 Il moo giusto i calcolare gli integrali preceenti è usare il metoo ei resiui e l analisi complessa. Anche con i resiui il calcolo risulta piuttosto laborioso. In generale è molto più facile calcolare la trasformata che non l antitrasformata. Questa ultima consierazione permette i capire perché il metoo elle tabelle che veremo in seguito è (in generale) il metoo più rapio per antitrasformare. Inversione ella trasformata i Laplace 5 / 28 (1/2) Nelle applicazioni elettriche o meccaniche la trasformata i Laplace si può normalmente scrivere nella forma: P (s) Q(s) = b0 b1s b2s 2 bms m (s p1) m1(s p2)m2 (s pn)mn ove pi pj se i j. Possiamo sempre assumere che P (s) < Q(s) in caso contrario usano la ivisione i polinomi con resto: e quini P (s) = Q(s)A(s) B(s) P (s) B(s) = A(s) Q(s) Q(s) B(s) < Q(s) Inversione ella trasformata i Laplace 7 / 28 Inversione ella trasformata i Laplace 6 / 28 (2/2) La antitrasformata i un polinomio formalmente è la seguente A(s) = a0 a1s ans n L {A(s)} 1 (t) = a0δ(t) a1δ (1) (t) anδ (n) (t) Le funzioni δ (k) (t) sono le erivate k-esime nel senso elle istribuzioni ella elta i Dirac e hanno la proprietà: f(t)δ (k) (t) t = ( 1) k f (k) (0) A parte l impulso unitario (δ(t)) normalmente le erivate ell impulso non si trovano nelle applicazioni consierate. Possiamo quini consierare unicamente l antitrasformata ella funzione razionale P (s)/q(s) con P (s) < Q(s). Inversione ella trasformata i Laplace 8 / 28

3 Caso raici semplici Data la funzione razionale nella variabile complessa s; b0 b1s b2s2 bms m (s p1)(s p2) (s pn) (m < n) ove pi pj se i j. Possiamo riscrivere G(s) come somma i fratti semplici ove: infatti α1 α2 αn s p1 s p2 s pn αi = lim s pi (s pi)g(s) (s pi) αi s pi αj s pj j i Caso raici multiple Nel caso i raici multiple a esempio nel caso i una singola raice p i molteplicità n b0 b1s b2s2 bms m (s p) n (m < n) Possiamo ancora riscrivere G(s) come somma i fratti semplici come segue ove (0! = 1): infatti α1 s p α2 (s p) 2 αn (s p) n αn k = 1 k! lim s p k s k [(s p)n G(s)], k = 0, 1,..., n 1 (s pi) n α1(s p) n 1 αn 1(s p) αn Inversione ella trasformata i Laplace 9 / 28 Inversione ella trasformata i Laplace 10 / 28 Caso generale Formula esplicita ella soluzione Nel caso generale b0 b1s b2s 2 bms m (s p1) m1(s p2)m2 (s (m < m1 m2 mn) pk)mn ove mi è la molteplicità ella raice pi. Possiamo ancora riscrivere G(s) come somma i fratti semplici come segue ove (0! = 1): αj,mj k = 1 k! lim mj n αjk (s pj) k k [ (s pj) mj s k G(s) ], k = 0, 1,..., mj 1 Aveno scritto G(s) come somma i fratti semplici come segue mj n αjk (s pj) k formalmente l inversa iventa consultano la tabella elle trasformate: mj n G(t) = L {G(s)} 1 αjk (t) = (k 1)! epjt t k 1 Attenzione in questa espressione pj in generale è un numero complesso il termine corrisponente è una funzione a valori complessi ella quale non abbiamo efinito la trasformata i Laplace. Inversione ella trasformata i Laplace 11 / 28 Inversione ella trasformata i Laplace 12 / 28

4 Trattamento elle raici complesse Trattamento elle raici complesse Lemma Sia pj = p i allora vale mi = mj e inoltre αjk = αik k = 1, 2,..., mi Per prima cosa osserviamo che αjmj = αimi: αjmj = lim (s pj) mj mj lim (s p j ) G(s) = lim (s pi) mi lim pi) mi αimj s pi s pi(s e per gli altri coefficienti in moo analogo αjmj k = lim k [(s pj) mj G(s)] s k = lim k mj [(s p j ) G(s)] s k = lim k [(s pi) mi G(s)] s pi s k = lim k [(s pi) mi G(s)] s pi s k = αimj k Dal lemma preceente segue che nel caso i poli reali i coefficienti corrisponenti nello sviluppo in fratti semplici sono reali. Sia ora G(s) con n raici ove le raici complesse vengono contate una volta sola allora abbiamo [ ] mj n 1 βjk 2 (s pj) k βjk (s pj) k ove βjk = { αjk se αjk è un numero reale 2αjk a questo punto l antitrasformata iventa se αjk è un numero complesso mj n G(t) = L {G(s)} 1 βjke pjt βjke pjt (t) = t k 1 2(k 1)! Inversione ella trasformata i Laplace 13 / 28 consieriamo ora f(t) = βe pt βe pt ove allora avremo cioè in generale β = a ıb, p = γ ıω, f(t) = (a ıb)e (γıω)t (a ıb)e (γıω)t = e γt[ (a ıb)(cos(ωt) ı sin(ωt)) (a ıb)(cos(ωt) ı sin(ωt)) ] = e γt[ 2a cos(ωt) 2b sin(ωt) ] Trattamento elle raici complesse f(t) = 2e Re(p)t[ Re (β) cos( Im (p) t) Im (β) sin( Im (p) t) ] Inversione ella trasformata i Laplace 15 / 28 Inversione ella trasformata i Laplace 14 / 28 In generale se P (s)/q(s) con P (s) Q(s) e Q(s) che ha n raici istinte pk i molteplicità mk (le coppie i raici complesse conjugate si contano 1) scriverà come: [ mj n 1 βjk 2 (s pj) k β ] jk (s p j ) k Usano le consierazioni ei lucii preceenti e poneno rk = Re (pk) e ωk = Im (pk) otteniamo n G(t) = e rjt[ Re (Pj(t)) cos(ωjt) Im (Pj(t)) sin(ωjt) ] ove j=1 mj Pj(t) = t k 1 βjk (k 1)! k=1 Inversione ella trasformata i Laplace 16 / 28

5 Calcolo pratico ei coefficienti α ki (2/2) Moltiplicano l espansione preceente per Q(s) otteniamo una uguaglianza tra polinomi n mk P (s) = Q(s) k=1 i=1 [ Q(s) 2 ] αki (s pk) i αki (s p k ) i I coefficienti si ottengono immeiatamente alla relazione αkmk P (pk) = Q(pk)G(pk) gli altri coefficienti si ottengono tramite erivazione e usano i risultati preceenti αj,mk j := risolve per αj,mk j j s j P (s) s=pk = 0 per capire come funziona conviene fare un semplice esempio Esempio Pratico molto complesso (1/10) Vogliamo trovare l espansione in fratti semplici el seguente polinomio razionale s 2 s 1 (s 1)(s 3) 3 (s (1 i)) 2 (s (1 i)) 2 le raici sono ovviamente p1 = 1, p2 = 3, p3 = 1 i con molteplicità m1 = 1, m2 = 3 e m3 = 2. L espansione in fratti semplici prene la forma (i fattori 1/2 li metto sono alla fine) a s 1 b1 s 3 b2 (s 3) 2 b3 (s 3) 3 c1 i1 s (1 i) c1 i1 s (1 i) c2 i2 c2 i2 (s (1 i)) 2 (s (1 i)) 2 Inversione ella trasformata i Laplace 17 / 28 Esempio Pratico molto complesso (2/10) Calcoliamo ora P (s) a(s 3) 3 (s (1 i)) 2 (s (1 i)) 2 b1(s 1)(s 3) 2 (s (1 i)) 2 (s (1 i)) 2 b2(s 1)(s 3)(s (1 i)) 2 (s (1 i)) 2 b3(s 1)(s (1 i)) 2 (s (1 i)) 2 (c1 i1)(s 1)(s 3) 3 (s (1 i))(s (1 i)) 2 (c1 i1)(s 1)(s 3) 3 (s (1 i)) 2 (s (1 i)) (c2 i2)(s 1)(s 3) 3 (s (1 i)) 2 (c2 i2)(s 1)(s 3) 3 (s (1 i)) 2 Inversione ella trasformata i Laplace 18 / 28 Esempio Pratico molto complesso (3/10) Espaneno i polinomi Q(s) ( ) a b1 2 c1 s 7 (2 c2 11 b1 b2 13 a 26 c1 2 1) s 6 ( 24 c2 8 b2 b b1 71 a c1) s 5 ( a 133 b1 408 c1 27 b2 5 b c2) s 4 (12 b3 706 c1 400 a 52 b b c2) s 3 (60 b2 738 c1 16 b3 468 a 270 c2 220 b ) s 2 (324 a 12 b3 132 b1 108 c2 40 b2 432 c ) s 108 a 36 b1 12 b2 4 b3 108 c Notate che è un polinomio a coefficienti reali in s. Inversione ella trasformata i Laplace 19 / 28 Inversione ella trasformata i Laplace 20 / 28

6 Esempio Pratico molto complesso (4/10) Calcoliamo ora i polinomi in s = 1 (la prima raice) Q(1)G(1) = 8a, P (1) = 3, a = 3 8 Calcoliamo ora i polinomi in s = 3 (la secona raice) Q(3)G(3) = 50b3, P (3) = 13, b3 = Calcoliamo ora i polinomi in s = 1 i (la terza raice) Q(1 i)g(1 i) = 44c2 82 i(8c2 442), P (1 i) = 2 3i, a cui otteniamo il sistema 44c2 82 = 2, 8c2 442 = 3. Esempio Pratico molto complesso (5/10) Calcoliamo ora (Q(s)G(s)) = 7 (a b1 2 c1) s6 s 6 (2 c2 11 b1 b2 13 a 26 c1 2 1) s 5 5 ( 24 c2 8 b2 b b1 71 a c1) s 4 4 ( a 133 b1 408 c1 27 b2 5 b c2) s 3 3 (12 b3 706 c1 400 a 52 b b c2) s 2 2 (60 b2 738 c1 16 b3 468 a 270 c2 220 b ) s 324 a 12 b3 132 b1 108 c2 40 b2 432 c che risolto a come risultato c2 = 7/125 e 2 = 29/500. Inversione ella trasformata i Laplace 21 / 28 Esempio Pratico molto complesso (6/10) Inversione ella trasformata i Laplace 22 / 28 Esempio Pratico molto complesso (7/10) Calcoliamo ora i polinomi in s = 3 (la secona raice) s Q(s)G(s) s=3 = 50b2 105b3, P (3) = 7, usano il valore preceentemente calcolato b3 = otteniamo b2 = 203/500. Calcoliamo ora i polinomi in s = 1 i (la terza raice) Q(s)G(s) s=1i = 44 c c s P (s) s=1i = 3 2i s 8 ic1 44 i1 32 i2 124 ic2 metteno a sistema e usano i valori i c2 e 2 otteniamo c1 = 6/625 e 1 = 309/1250. Calcoliamo ora 2 (Q(s)G(s)) = (42 a 42 b1 84 c1) s5 s2 (60 c2 330 b1 30 b2 390 a 780 c1 60 1) s 4 (1420 a 480 c b c1 20 b3 160 b2 80 2) s 3 ( 4896 c c a 60 b b b2) s 2 (72 b c c a 1296 b1 312 b ) s 936 a 540 c2 440 b b c1 120 b2 Inversione ella trasformata i Laplace 23 / 28 Inversione ella trasformata i Laplace 24 / 28

7 Esempio Pratico molto complesso (8/10) Esempio Pratico molto complesso (9/10) Calcoliamo ora i polinomi in s = 3 (la secona raice) 2 s 2 Q(s)G(s) s=3 = 100b1 210b2 184b3, P (3) = 2, usano il valore preceentemente calcolato b3 = e b2 = 203/500 otteniamo b1 = 1971/5000. Metteno tutto assieme otteniamo 3/8 s (s 3) (s 3) (s 3) 3 6/ /1250i 6/ /1250i s (1 i) s (1 i) 7/125 29/500i 7/125 29/500i (s (1 i)) 2 (s (1 i)) 2 Inversione ella trasformata i Laplace 25 / 28 Esempio Pratico molto complesso (10/10) Inversione ella trasformata i Laplace 26 / 28 Riferimenti Riferimenti E usano le relazioni sulle raici complesse coniugate t (560 t 96) cos(t) ( t) sin(t) 1875 G(t) = e t t 650 t2 e 5000 Joel L. Schiff The Laplace Transform, theory an applications Springer-Verlag, U. Graf Applie Laplace Transforms an z-transforms for Scientists an Engineers Birkh auser, Spiegel Murray R. Laplace transforms Schaum s outline series, Inversione ella trasformata i Laplace 27 / 28 Inversione ella trasformata i Laplace 28 / 28