GEOMETRIA A cura della Prof.ssa Elena Spera ANNO SCOLASTICO 2007 2008 Classe IC Scuola Media Sasso Marconi Prof.ssa Elena Spera 1
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GEOMETRIA Può essere INTUITIVA RAZIONALE Si basa su OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI Parte da CONCETTI ASSIOMI PRIMITIVI Definiti mediante Prof.ssa Elena Spera 3
DALLA GEOMETRIA INTUITIVA ALLA GEOMETRIA RAZIONALE Prof.ssa Elena Spera 4
Indice I contenuti Gli elementi fondamentali della geometria euclidea Postulati e teoremi Punto Retta Piano Postulati riguardanti gli enti elementari Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari (semirette, segmenti, angoli Gli obiettivi Comprendere il significato di dimostrazione Cogliere la differenza fra postulato e teorema Approfondire la conoscenza degli enti geometrici fondamentali Operare con segmenti ed angoli Prof.ssa Elena Spera 5
Di che cosa tratta la geometria Il termine geometria deriva dal greco (ghe( ghe: terra,, e metron: misura )) e significa «misura della Terra». Già gli antichi egiziani erano abili nell arte di misurare la terra, perché costretti a ripristinare ai vari proprietari i confini dei terreni periodicamente invasi dalle inondazioni del Nilo. Le conoscenze geometriche egiziane, di natura tipicamente pratica, a, furono portate in Grecia da Talete di Mileto (624-548 a. C.) e servirono agli antichi greci per creare quella branca della matematica che ancora oggi si chiama Geometria. Rimane però il fatto che l uomo l è stato spontaneamente portato a creare questa scienza, osservando l ambiente l e astraendo dagli oggetti circostanti quelle proprietà (forma ed estensione) che non dipendono dalla sostanza di cui essi sono fatti. Prof.ssa Elena Spera 6
I punti di partenza della geometria Gli enti primitivi della Geometria sono: PUNTO RETTA PIANO Prof.ssa Elena Spera 7
Gli elementi fondamentali della geometria Gli enti fondamentali della geometria sono: il punto, la retta, il piano dei quali non è data definizione: : la loro natura risulta però determinata da particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati. (Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!) Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure f geometriche. Prof.ssa Elena Spera 8
PUNTO PUNTO Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia cia lasciata dalla matita vi dàd l idea approssimativa di un punto. Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso indica soltanto una posizione. Per distinguere un punto dall altro, altro, si pone accanto a ciascuno di essi la lettera maiuscola dell alfabeto; diremo perciò: punto A, punto B, ecc. A B C D Prof.ssa Elena Spera 9
RETTA RETTA Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dàd l immagine concreta di una retta. A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e senza spessore. Su di una retta si possono segnare infiniti punti Per distinguere una retta dall altra altra si pone accanto a ciascuna di esse Una lettera dell alfabeto minuscolo; si dirà: retta a, retta b, ecc. retta a Prof.ssa Elena Spera 10
PIANO PIANO Un sottile foglio di carta, la superficie dell acqua stagnante di un lago, forniscono delle immagini concrete di un piano. Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come indefinitamente esteso in tutti i sensi I piani si indicano generalmente con le lettere dell alfabeto greco: α (alfa), β (beta), γ (gamma), ecc. α Piano α Prof.ssa Elena Spera 11
Postulati riguardanti gli enti elementari Alla retta appartengono infiniti punti Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti Esistono infinite rette Prof.ssa Elena Spera 12
Postulati riguardanti gli enti elementari Per due punti distinti passa una sola retta A B Per un punto passano infinite rette ( poprio) A rette (l insieme di tale rette è chiamato fascio Una retta può essere percorsa in due versi,, l uno l opposto all altro altro La retta è illimitata e continua,, vale a dire non ha fine nén inizio; fra due suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha buchi. Prof.ssa Elena Spera 13
Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari Semiretta Si dice semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto. semiretta A origine semiretta Segmento Un segmento è la parte di retta limitata da due suoi punti che si dicono estremi del segmento A B segmento estremi Prof.ssa Elena Spera 14
Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari Segmenti consecutivi - Due segmenti aventi un estremo in comune si dicono consecutivi A B C Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta A B C Prof.ssa Elena Spera 15
Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari Una linea formata a più segmenti consecutivi prende il nome di linea spezzata Una spezzata può essere aperta, chiusa o intrecciata A B C D E Spezzata aperta Spezzata chiusa Spezzata intrecciata Prof.ssa Elena Spera 16
Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette aventi l origine in comune Angolo concavo Angolo convesso Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati Prof.ssa Elena Spera 17
Angoli particolari Angolo PIATTO - Quando la semiretta OA ruota intorno ad O di mezzo giro, assume la posizione OB, diventa cioè opposta ad OA. In questo caso si dice che AÔB è un angolo piatto [un lato è il prolungamento dell altro ( 180 )] Angolo piatto A O B PIATTO:180 Prof.ssa Elena Spera 18
Angoli particolari Angolo GIRO - Se invece OA ruota di un giro completo intorno ad O, descrive tutto il piano. Si dice in tal caso che AÔB è un angolo giro [ i due lati sono sovrapposti (360 )] Angolo giro O B A GIRO: 360 Angolo nullo - Se la semiretta OA rimane nella posizione iniziale coincidente con OB, cioè se ha una rotazione nulla, si dice che AÔB è un angolo nullo O B A Prof.ssa Elena Spera 19
Angoli particolari Un angolo si dice RETTO se è la metà di un angolo piatto RETTO:90 Prof.ssa Elena Spera 20
Angoli particolari Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto OTTUSO: > di 90 Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto ACUTO: < di 90 Prof.ssa Elena Spera 21
Angoli particolari Angoli CONSECUTIVI - Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune C Lato comune B O A Prof.ssa Elena Spera 22
Angoli particolari Angoli ADIACENTI - Due angoli si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti ad una stessa retta Prof.ssa Elena Spera 23
Angoli particolari Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell uno sono i prolungamenti dell altro O Prof.ssa Elena Spera 24
Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI Prof.ssa Elena Spera 25
Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI Prof.ssa Elena Spera 26
Concetti o enti primitivi Enti che non definiamo esplicitamente Assiomi o postulati Proprietà che supponiamo essere vere e che pertanto non dimostriamo Teoremi I teoremi sono proposizioni del tipo se allora. Le proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema, mentre quella che segue l allora èla tesi del teorema. La tesi deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate, vale a dire dei risultati di altri teoremi. Prof.ssa Elena Spera 27