Sistemi e modelli matematici

0.0.. Sistemi e modelli matematici L automazione è un complesso di tecniche volte a sostituire l intervento umano, o a migliorarne l efficienza, nell esercizio di dispositivi e impianti. Un importante capitolo della scienza dell automazione o automatica è costituito dalla disciplina denominata controlli automatici. Tale disciplina studia i dispositivi (detti regolatori, controllori o dispositivi di controllo), mediante i quali si fanno variare automaticamente le grandezze liberamente manipolabili di un sistema (detto sistema controllato) Un sistema è un complesso, normalmente costituito di più elementi interconnessi, in cui si possono distinguere grandezze soggette a variare nel tempo (indicate semplicemente con il nome di variabili). Segnali: sono le funzioni che rappresentano l andamento delle variabili nel tempo. Variabili di ingresso: sono le variabili indipendenti o cause. Variabili di uscita: sono le variabili dipendenti o effetti. Sistema orientato: è un sistema in le cui variabili siano state suddivise in variabili di ingresso e variabili di uscita. Variabili manipolabili: variabili di ingresso il cui andamento nel tempo può essere arbitrariamente imposto. Variabili non manipolabili o disturbi: variabili sul cui andamento nel tempo non si può influire, in quanto casuale o assegnabile ad arbitrio solo da parte di altro operatore. R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 2 Esempio: motore in corrente continua Il modello semplificato di un motore in corrente continua con eccitazione indipendente è il seguente: Variabili di interesse: la tensione e la corrente di armatura v a e i a, la tensione e la corrente di campo v e e i e, la coppia resistente all albero c r, la velocità e la posizione angolare del rotore ω e ϑ. Orientamento del sistema: Cause: v a, v e e c r ; Effetti: i a, i e, ω e ϑ; Variabili manipolabili: v a e v e ; Variabile non manipolabile: c r ; Rappresentazione mediante schemi a blocchi: R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 3 Modello matematico di un sistema: è l insieme di equazioni e di parametri Diagramma che permettono di determinare gli andamenti nel tempo delle uscite, noti quelli degli ingressi. Il modello matematico è sempre un compromesso fra precisione e semplicità: è inutile infatti ricorrere a modelli sofisticati quando i valori dei parametri che in essi compaiono si conoscono solo approssimativamente. Modello statico o puramente algebrico: descrive il legame fra i valori degli ingressi, supposti costanti, e i valori delle uscite una volta che il sistema abbia raggiunto la condizione di regime stazionario, cioè la condizione di funzionamento in cui tutti i segnali siano costanti. Caratteristica statica del motore elettrico in corrente continua: Caratteristica statica ingresso-uscita: ω = f(v a ) Approssimazione lineare nell intorno dell origine: ω = Kv a ; Linearizzazione nell intorno del punto di lavoro: ω Ω = K (v a V ) R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 4 Modello statico di un sistema MIMO (Multi Input Multi Output): consiste in più funzioni (tante quante sono le uscite) di più variabili (tante quanti sono gli ingressi), cioè Rappresentazione grafica: y =f (x,...,x n ),..., y m =f m (x,...,x n ) Punto di lavoro: (X,...,X n ),(Y,...,Y m ). Linearizzazione nell intorno del punto di lavoro: y = a x +...+a n x n,... y m = a m x +...+a mn x n in cui è a ij := f i x j (i =,...,m;j =,...,n) xk =X k (k=,...,n) y i := y i Y i = y i f i (X,...,X n ) (i =,...,m) x j := x j X j (j =,...,n) I modelli matematici statici non danno alcuna informazione sul regime transitorio, cioè sull andamento nel tempo delle uscite durante il passaggio da uno stato di regime stazionario ad un altro. R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 5 Modello dinamico: è costituito da una o più equazioni differenziali esprimenti legami statici fra le variabili di ingresso, di uscita e le loro derivate rispetto al tempo. Il modello dinamico di un sistema permette di determinare l andamento del segnale di uscita corrispondente a un dato segnale di ingresso, cioè permette di determinare la risposta del sistema a una data eccitazione. Un modello matematico (o un sistema) si dice lineare quando soddisfa la proprietà di sovrapposizione degli effetti. In caso contrario il sistema si dice non lineare. Molti sistemi ammettono modelli matematici lineari purché i valori delle variabili non escano da determinati campi. Esempio: Modello matematico in forma integrale: z(t) = Z 0 + A t 0 ( q (τ) q 2 (τ) ) dτ = Z 0 + A t ( Kx(τ) q2 (τ) ) dτ Modello matematico in forma differenziale: dz dt = ( q (t) q 2 (t) ), z(0) = Z 0 A Tale modello è valido entro i limiti: X x(t) X 2, Z z(t) Z 2 0 R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 6 Esempi di modelli fisici ) Dinamica del rotore di un motore elettrico. Si consideri un elemento meccanico con inerzia J, coefficiente di attrito lineare b che ruota alla velocità angolare ω al quale venga applicata una coppia esterna c(t). c(t) 0 t c(t) ω(t) J b ω(t) 0 t? L equazione differenziale che caratterizza il sistema è quella che si ricava dalla legge di conservazione della quantità di moto angolare: d[jω(t)] dt = c(t) bω(t) J ω(t)+bω(t) = c(t) Partendo da condizioni iniziali nulle e applicando Laplace si ottiene: J sω(s)+bω(s) = C(s) ω(s) = b+j s C(s) per cui il sistema fisico può essere descritto nel modo seguente: C(s) c(t) G(s) b+j s ω(s) ω(t) dove G(s) è la funzione di trasferimento che descrive il sistema fisico: G(s) = b+j s R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 7 2) Sistema massa-molla-smorzatore. K x m b F Variabili e parametri del sistema fisico: x(t) : posizione ẋ(t) : velocità ẍ(t) : accelerazione F(t) : forza applicata m : massa K : rigidità della molla b : Coefficiente di attrito lineare P(t) : Quantità di moto Legge di conservazione della quantità di moto P(t) = mẋ(t): d dt [P(t)] = i F i (t) m d dt [ẋ(t)] = i Si ottiene quindi la seguente equazione differenziale: d [mẋ(t)] = F bẋ(t) Kx(t) dt che può essere riscritta nel seguente modo: mẍ(t)+bẋ(t)+kx(t) = F(t) Utilizzando le trasformate di Laplace (x(0) = ẋ(0) = 0) si ha: ms 2 X(s)+bsX(s)+KX(s) = F(s) X(s) = Il sistema può quindi essere rappresentato nel modo seguente: F i (t) F(s) ms 2 +bs+k F(s) G(s) ms 2 +bs+k X(s) R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 8 3) Sistema elettrico RL. I i R I u = 0 V i L V u Legge fisica: la variazione del flusso concatenato φ c (t) = LI i (t) è uguale alla tensione V u (t) applicata ai capi dell induttanza. d dt [φ c(t)] = V u (t) L d dt [I i(t)] = V i (t) RI i (t) Applicando la trasformata di Laplace, con condizioni iniziali nulle, si ha: LsI i (s)+ri i (s) = V i (s) I i (s) = Ls+R } {{ } G(s) Il sistema può quindi essere rappresentato nel modo seguente: V i (s) V i (s) G(s) Ls+R I i (s) Il legame tra la tensione di ingresso V i (t) e la tensione di uscita V u (t) è descritto dalla seguente funzione di trasferimento (si utilizza la regola del partitore di tensione su impedenze complesse): G (s) = V u(s) V i (s) = Ls Ls+R e quindi dalle seguente equazione differenziale: L V u (t)+rv u (t) = L V i (t) R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 9 4) Motore elettrico in corrente continua. I a V L R ω m + E J b C m C e θ m Schema a blocchi POG del motore: V E ω m K e R+Ls b+js I a K e C m C e Il sistema è descritto dalle seguenti 2 equazioni differenziali: { L Ia = RI a K e ω m +V J ω m = K e I a bω m C e Perilprincipiodiconservazionedell energia, lacostantek e èsialacostantediproporzionalitàchelegalacorrentediarmaturai a allacoppiamotrice C m, sia la costante di proporzionalità che lega la forza contromotrice E alla velocità angolare ω m : C m = K e I a E = K e ω m R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 0 Riducendo in forma minima il sistema (vedi Formula di Mason ) si ottiene il seguente legame tra la variabile di uscita ω m (t) e le variabili di ingresso V(t) e C e (t): ω m (s) = G (s)v(s)+g 2 (s)c e (s) dove G (s) lega l ingresso di controllo V(t) all uscita ω m (t) G (s) = K e (R+Ls)(b+J s)+k 2 e mentre G 2 (s) lega l ingresso di disturbo C e (t) all uscita ω m (t): G 2 (s) = (R+Ls) (R+Ls)(b+J s)+k 2 e La precedente relazione può essere riscritta come [ ] LJ s 2 +(RJ +Lb)s+Rb+Ke 2 ωm (s) = K e V(s) (R+Ls)C e (s) che corrisponde alla seguente equazione differenziale del secondo ordine: LJ ω m +(RJ +Lb) ω m +(Rb+K 2 e)ω m = K e V RC e LĊe R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 5) Frizione idraulica. Si consideri il seguente modello idraulico semplificato di una frizione: P Pressione di alimentazione Q Portata volumetrica nella valvola K v Costante di prop. della valvola C m Capacità idraulica del cilindro P Pressione all interno del cilindro A Sezione del pistone x Posizione del pistone ẋ Velocità del pistone m p Massa del pistone b Attrito lineare del pistone K m Rigidità della molla F m Forza della molla sul pistone x K m m p b, A Q x Q Valvola (K v ) C m P P R = 0 Uno schema a blocchi che descrive la dinamica del sistema è il seguente: P P A F x F m Q K v C m s Q x A b+m p s ẋ K m s x 0 Riducendo il sistema in forma minima si ottiene la seguente f.d.t. G(s): G(s) = F m(s) P(s) = AK m K v C m m p s 3 +(C m b+k v m p )s 2 +(A 2 +C m K m +K v b)s+k m K v a cui corrisponde la seguente equazione differenziale del terzo ordine: C m m p... Fm+(C m b+k v m p ) F m +(A 2 +C m K m +K v b) F m +K m K v F m = AK m K v P(t) R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 2 6) Sistema meccanico di trasmissione. Si consideri il sistema meccanico mostrato in figura, costituito da un albero di inerzia J, che ruota a velocità ω, a cui è applicata la coppia esterna τ. Tramite un rullo elastico avente rigidità torsionale K e raggio costante R, l albero spinge una massa M che comprime una molla lineare con coefficiente di rigidità K 2. x J b K 2 M K R b 2 Un possibile schema a blocchi che descrive la dinamica del sistema è il seguente: τ τ R F 2 F 2 b +J s K s b 2 +M s K 2 s ω ω R ẋ 0 La funzione di trasferimento G(s) che lega l ingresso τ all uscita F 2 si calcola facilmente utilizzando la formula di Mason : K K 2 R G(s) = a 4 s 4 +a 3 s 3 +a 2 s 2 +a s+a 0 dove: a 4 = J M R 2 a 3 = (b 2 J +b M)R 2 a 2 = J K +b b 2 R 2 +J K 2 R 2 +K M R 2 a = b K +b 2 K R 2 +b K 2 R 2 a 0 = K K 2 R 2 R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 3 Rete elettrica a T Sia data la seguente rete elettrica a T: SupponendochelacorrenteI u assorbitainuscitasianulla, I u = 0, sidetermini la funzione di trasferimento G(s) che lega la tensione di ingresso V i (s) alla tensione di uscita V u (s). Un possibile schema a blocchi (non utilizzabile in simulazione) che descrive la dinamica del sistema è il seguente: v i v a v u C s R 2 C 2 s R I I La funzione di trasferimento di determina facilmente utilizzando Mason: G(s) = V u(s) V i (s) = +R 2 (C +C 2 )s+c C 2 R R 2 s 2 +C R 2 s+c 2 R 2 s+c 2 R s+c C 2 R R 2 s 2 I 2 R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI

.. SISTEMI E MODELLI. 4 Invertendo due dei tre anelli del sistema si ottiene uno schema a blocchi utilizzabile anche in simulazione: v i I V C s v a R 2 V 2 C 2 s v u Una corrispondente descrizione nello spazio degli stati è la seguente: [ V V 2 ] = { }} A [ { R C R 2 C R C R C 2 R C 2 ] v u = [ ] [ V } {{ } V 2 C ][ V V 2 + [ ] v i }{{} D R I 2 ] { B [ }} { ] R + 2 C 0 Il determinante del grafo è proporzionale al determinante della matrice(si A): det(si A) = +C R 2 s+c 2 R 2 s+c 2 R s+c C 2 R R 2 s 2 C C 2 R R 2 Si noti che la funzione di trasferimento G(s) può essere calcolata anche utilizzando la seguente formula: G(s) = C(sI A) B+D v i R. Zanasi - Controlli Automatici - 20/2. SISTEMI, MODELLI E SCHEMI A BLOCCHI