I ONDE PIANE E MATERIALI OP 1 Il campo elettrico nel punto A ha un modulo di 1V/m e forma un angolo di 6 o con la normale alla superficie. Calcolare e(b). ε 1 ε 2 A B 6 o e ε 1 =, ε 2 = 2 Nel punto A le componenti di e(a) sono e tan = 1 cos3 o = 8.66V/m e n = 1 cos6 o = 5V/m e quindi d n = 5 C/m 2. Per le condizioni di continuità e tan (B) = 8.66V/m d n (B) = 5 C/m 2 = e n (B) = 2.5V/m per la diversa costante dielettrica. Segue e(b) = 8.66 2 +2.5 2 = 9V/m OP 2 L acqua marina di figura ha una risposta dielettrica caratterizzata da un modello di Debye generalizzato, a cui va aggiunta una conducibilità di 5 S/m. Per la parte dielettrica si ha Re[ε D (5MHz)] = 8.6, Re[ε D (1GHz)] = 79, ε = 2.1 aria acqua marina E i A B d
ONDE PIANE E MATERIALI 2 Sull acqua incide una onda piana a 1GHz. Sapendo che E(A) = 1V/m, si calcoli il campo elettrico in B. d = 1cm Nel modello di Debye generalizzato ε D (ω) = Imponendo i dati si ottiene χ 1+jωτ + ε = Re[ε D (ω)] = χ 1+ω 2 τ 2 + ε χ = 79 τ = 26.6psec Alla frequenza di 1 GHz l acqua marina ha una risposta elettrica complessiva ε e = ε D (1GHz) j σ ω = (22.9 j34.8) j9 = (22.9 j43.8) cui corrisponde una costante di propagazione k = β 22.9 j43.8 = (6 j3.6)β = 1256 j753.6m 1 essendo β = 29.3m 1 la costante di propagazione nel vuoto. Poichè il campo nell acqua si attenua come e αz, con α = 753.6m 1, segue E(B) = 5.3mV/m OP 3 Alla frequenza di.9ghz si ha: E(Q) = 2jE(R) (x-jy) E i Q R d Si calcolino x e y. d =.1m Nel secondo mezzo esiste solo l onda progressiva, e quindi Segue, posto k 2 = β jα, E(R) = E + 2 e jk 2d con E + 2 = E(Q) e jk 2d = e jβd e αd = 1 2j Considerando modulo e fase della relazione precedente si ottiene
ONDE PIANE E MATERIALI 3 α = 1 ( ) 1 d log = 6.93m 1 e βd = π 2 2 = β = 15.7m 1 Ricordando che k 2 = ω 2 µ (x jy) si trova ω 2 µ (x jy) = (15.7 j6.93) 2 = x jy =.56 j.61 OP 4 e fase. Nell esercizio precedente si ha E(Q) = (3 j)v/m. Si calcoli il valore di E i in modulo OP 5 Una onda piana ha k = (2 i x, i y,15 i z ) m 1 ed ha E s = je p con densità di potenza pari a 3 µw/m 2. Sapendo che il mezzo in cui l onda si propaga ha ǫ r = 2, calcolare la frequenza dell onda e le componenti del campo elettrico e magnetico. [ f = 8.43GHz;E x = 28.3mV/m E y = j 17mV/m E z = j22.6mv/m; ] [ H x = 63.6µA/m H y = j.11ma/m H z = 8µA/m ] OP 6 Una onda piana a frequenza f = 2 MHz incide su un semispazio di costanti ǫ e µ r µ. Le componenti E y ed E z del campo incidente sono uguali ed in fase ed il suo vettore di Poynting è pari a 1 W/m 2. Calcolare il modulo del campo elettrico totale nel punto P (,, 5 m). µ µ r µ 5 m z P θ θ = 6 o, µ r = 3 Per l onda incidente si ha E x = E z tgθ, e pertanto l ampiezza del campo elettrico incidente è reale. Dal valore di S i segue E = 27.5 V/m e, poichè E 2 = E x 2 + E y 2 + E z 2 = E z 2 (2+tg 2 θ) si ha E z = E y = 12.3 V/m e E x = 21.3 V/m. I coefficienti di riflessione sono dati dalle formule di Fresnel per n 2 = µ r : Γ TE = µ rcosθ 1 µ r sen 2 θ 1 µ r cosθ 1 + µr sen Γ TM = 2 θ 1 cosθ 1 µ r sen 2 θ 1 µr sen 2 θ 1 +cosθ 1
ONDE PIANE E MATERIALI 4 dove θ 1 = π 2 θ è l angolo di incidenza. Risulta θ 1 = 3 o, Γ TE =.221, Γ TM =.314. Ognuna delle due componenti (TE e TM) del campo è data da E = E i e jk xx ( e jk zz i + +Γe jk zz i ) dove k x = kcosθ =.29 m 1, k z = ksenθ =.363 m 1 ed i +, i sono i versori del campo indcidente e riflesso. Per la componente TE i + = i = i y e quindi E y = 9.98 V/m. Per la componente TM i due versori i +, i hanno la stessa componente x ma componente z opposta; conviene quindi calcolare separatamente E x ed E z. Risulta E x = 15.7 V/m ed E z = 15.8 V/m, per cui E = 24.4 V/m. OP 7 È possibile modellare il corpo umano mediante strati piani paralleli, che consentono una ragionevole approssimazione (se la lunghezza d onda è abbastanza piccola. In figura è rappresentato un modello di torace, i cui parametri sono riportati nella tabella. Sulla parete esterna incide una onda piana alla frequenza di 2.45GHz, il cui campo elettrico è pari a 6 2V/m. Si determini la potenza dissipata, per unità di superficie, nelle tre zone. 1 2 3 z Zona Materiale ε r σ [S/m] spessore t aria 1 1 pelle 38 1.46 1 mm 2 grasso 4.39.8 3 mm 3 muscolo 37.6 1.31 σ I valori di sono inferiori a 1. I materiali sono quindi materiali con perdite, ma non conduttori. ωε I valori delle costanti dielettriche relative complesse e delle costanti di propagazione complesse σ ε r j ω k i = ω µ ε r j σ ω sono riportate nella tabella che segue, assieme con il valore di k i t i.
ONDE PIANE E MATERIALI 5 Zona ε r j σ ω k i [m 1 ] k i t Z i [Ω] 1 18.85 377 1 55.2 j46.4 15 j55.16 42+j15 2 4.39 j1.6 7 j7.122 172+j3 3 37.6 j26.2 122 j38 53+j17 Nella tabella è stata anche riportata l impedenza caratteristica delle varie zone, data da Z = ζ σ ε r j ω I valori di k i t sono abbastanza piccoli da poter considerare gli strati sottili, con buona approssimazione. Pertanto il problema può essere risolto utilizzando il circuito equivalente di figura. ζ + 2E i ζ 1 2 Le impedenze poste in serie, Z s, e quelle in parallelo, Z p, sono date, per ciascuno strato, da Z si = jz i k i t i = jωµ t i e i relativi valori sono nella tabella che segue Z pi = Z i jk i t i Zona Z si [Ω] Z pi [Ω] j7.1 178 j212 1 j21.3 488 j134 Dai dati della tabella segue che, inprima approssimazione, le due Z s possono essere trascurate (anche perchè non dissipano). Si ha quindi un parallelo di tre impedenze, Z p1, Z p2 e Z 3. L impedenza di questo parallelo. Z C, vale allora 5+j5Ω, ed è molto prossimo a Z 3. Il campo su ciascuna delle tre impedenze in parallelo vale
ONDE PIANE E MATERIALI 6 E t = Z C ζ +Z C 2E i = 2 V m e le potenze dissipate nei due strati e nel muscolo sono rispettivamente [ ] 1 1 2 Re E t 2 = 4.6mW Z p1 [ ] 1 1 2 Re E t 2 =.4mW Z p2 [ ] 1 1 2 Re E t 2 = 35mW Z 3 per un totale di 4mW rispetto a una potenza incidente di 1mW per unità di superficie.
II TEOREMA DI POYNTING T 1 Un onda piana di ampiezza E, orientata secondo l asse x incide normalmente su un semispazio buon conduttore di costanti µ, ǫ, σ. Verificare il teorema di Poynting nel volume a,b, di figura. Poichè nel volume assegnato non esistono generatori, nè perdite dielettriche o magnetiche, si tratta di verificare che la potenza dissipata P L è opposta alla parte reale del flusso del vettore di Poynting uscente dal contorno del volume. Se chiamiamo mezzo 1 quello per z < e mezzo 2 quello per z > si ha (posto Z 1, Z 2 l impedenza caratteristica dei mezzi 1 e 2 rispettivamente, k z2 la costante di propagazione nel mezzo 2) E 2 (z) = 2Z 2 E e jk z2z = E 2 e jk z2z P L = 1 2 V σ E 2 (z) 2 dv = 1 2 σab E 2 e jkz2z 2 dz = 1 2 σab E 2 2 e 2αz dz = = 1 4 σ E 2 2 abδ = 1 4 E 2 2 R s ab avendo posto R s = 1 σδ. Il flusso P del vettore di Poynting, posto S pari alla superficie a b + Sup. Laterale + Sup. all infinito, è: P = 1 2 H 2 se 2 ds = 1 a b E 2 2 2 Z2 dxdy = Pertanto = 1 E 2 2 ab 2 (1 j) σδ = 1 2 E 2 2 ab 1+j 2 σδ Re[P] = 1 E 2 2 ab = P L 4 R s
TEOREMA DI POYNTING 8 T 2 Un onda piana di ampiezza E + e pulsazione ω, col campo elettrico orientato secondo x e propagantesi lungo l asse z, incide dal vuoto su un semispazio buon conduttore di caratteristiche ǫ, µ, σ. Calcolare il flusso medio di potenza complessa attraverso la superficie [a,b] della figura. Mostrare che la parte reale di tale flusso può porsi sotto la forma P r = 1 2 Ra2 I 2, dove I è la corrente lineare per unità di lunghezza (col chè ai è la corrente totale nel volume in figura) che circola nel buon conduttore ed R una resistenza equivalente. Il flusso medio di potenza complessa vale: P = 1 E H ds = 1 2 S 2 s EH ds dove S è la superficie [a,b] e si tenuto conto che E, H, ds sono ortogonali. Per z < esisteranno tanto l onda diretta, quanto l onda riflessa. Invece per z > si propagherà solo l onda trasmessa data da: con E = 2Z 2 E + e αz e jβz k 2 = β jα = ω µ(ǫ j σ ω ) 1 j δ essendo δ la profondità di penetrazione, e avendo supposto σ ωǫ (buon conduttore). Inoltre H = E Z 2 = 2E+ e αz e jβz. Le impedenze intrinseche del mezzo per z < e z >, Z 1 e Z 2, sono date da: µ µ jωµ Z 1 =, Z 2 = ǫ ǫ j σ σ = 1 j = R+jX σδ ω Quindi avremo: P = 1 2 c+a c dy b E + 2 4Z 2 2dx = 2Z 2 E + 2 2ab Calcoliamo la corrente indotta nel mezzo z >. E è un vettore diretto secondo x e quindi J sarà anch esso parallelo a x. Integrando J in una striscia avente larghezza y lungo l asse y si ha:
TEOREMA DI POYNTING 9 Ora Î = S = y J i x dydz = σedz y dy σ 2Z 2 E + e jk zz dz = 2σZ 2 E + jk 2 y σz 2 σ1+j σδ jk 2 j 1 j δ = 1 per cui Î 2E+ y. La corrente per unità di lunghezza vale I = Î/ y per cui P = 1 2 Z 2 I 2 ab e la sua parte reale P r = Re(P) = 1 2 ωµ 2σ I 2 ab = 1 2 ( 1 σ b aδ ) a 2 I 2 = 1 2 Ra2 I 2. N.B. R è la resistenza statica del conduttore, tenendo però conto della disuniformità del flusso di corrente (per cui la profondità efficace è pari a δ). T 3 Determinare la frequenza minima per la quale le energie elettrica e magnetica immagazinata nello strato di spessore d =.5 m sono uguali, ed il valore della energia elettrica. E i = 1 V/m [ ] f = 75 MHz, W e = 88.6 nj/m 2