1 Rette e piani nello spazio Esercizio 1.1 È assegnato un riferimento cartesiano 0xyz. Sono assegnati la retta x = t, r : y = t, z = t, il piano π : x + y + z = 0 ed il punto P = (1, 1, 1). Scrivere le equazioni (i) del piano π che passa per P e parallelo a π; (ii) della retta t che passa per P ed è perpendicolare a r; (iii) della retta s che passa per P ed è ortogonale a π. Inoltre si determini (iv) le distanze di P da s e da π. Esercizio 1. È assegnato un sistema di riferimento cartesiano 0xyz. Si considerino le rette: x + y = 0, x + z = 1, x + z = 0, r : s : t : z 1 = 0, y = 0, y z 1 = 0, (i) Verificare che sono complanari; (ii) determinare il piano che le contiene; (iii) trovare l equazione del triangolo che individuano. Esercizio 1.3 Dati il punto P = (1, 1, ) il piano π : x + y + z = 0 e la retta x y = 0, r : z = 0, (i) Verificare che il punto P appartiene al piano π. (ii) Scrivere le equazioni della retta s giacente sul piano π passante per P e incidente la retta r. (iii) Calcolare la distanza del punto P dalla retta r. Esercizio 1.4 Data la curva parametrizzata da γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) con x(t) = t,, z(t) = 1 t, (i) Determinare i vettori t, n e b. (ii) Calcolarli nel punto P = (0, 0, 1). (iii) Stabilire se γ è una curva piana. 1
(iv) Calcolare il piano che la contiene. Esercizio 1. Dati i due vettori: u = i + 3j + k e v = i + j + 7k, calcolare il valore di u v. Esercizio 1.6 Calcolare l angolo formato dai seguenti vettori: u = 3 i + j e v = i + 3j. Esercizio 1.7 Verificare che sono fra loro perpendicolari i due vettori: u = i 7j + 3k e v = 3i + 3j + k. Esercizio 1.8 Verificare che sono paralleli i due vettori: u = i + 3j k e v = 4i + 6j k. Esercizio 1.9 Si considerino i due vettori u = 1 i + 3 j k e v = i + 1 k. 1. Provare che i due vettori sono unitari (il loro modulo vale 1) e ortogonali.. Determinare le coordinate del vettore w tale che abbia modulo uno e sia ortogonale a u e a v. Esercizio 1.10 Consideriamo i vettori u = ai + j + (b + 1)k e v = i + (a 1)j + bk. Per quali valori di a e b questi vettori sono paralleli? Esercizio 1.11 Provare che i tre vettori u = i + j + mk v = i + mj + 4k e w = i + 3j + k sono linearmente indipendenti qualunque sia m. Esercizio 1.1 Verificare che i tre punti: P 1 = (3,, 1), P = (, 1, 4) e P 3 = (7, 4, 9) sono allineati. Esercizio 1.13 Verificare che i quattro punti: P 1 = (, 3, 4), P = (1, 0, ), P 3 = (, 1, ) e P 4 = (1, 1, 3) sono complanari. Esercizio 1. Un punto P descrive la retta r di equazioni parametriche: x = t, y = t, z = 3t. e un punto P descrive la retta r di equazioni parametriche: x = 1 t, y = 1 t, z = 1 + t.
1. Quale relazione deve esistere tra t e t perchè la retta P P risulti costantemente parallela al piano xy?. Soddisfatta la precedente condizione qual è il luogo percorso dal centro M del segmento P P? Esercizio 1.1 Siano date le due rette r ed r di equazioni parametriche: x = 1 + t, x = 3 + t, r : y = t, r : y = + t, z = 3 + 3t. z = t. Provare che queste due rette sono incidenti. Esercizio 1.16 Siano date le due rette r ed r di equazioni parametriche: x = 6 4t, x = 3 6t, r : y = 4 + t, r : y = 1 + t, z = 1 + t. z = 4 + t. 1. Determinare il punto P r e il punto P r in modo che la retta P P sia perpendicolare comune alle rette r ed r. Dare una rappresentazione parametrica della retta P P.. Calcolare la distanza minima tra le rette r ed r. Esercizio 1.17 Consideriamo i tre punti: P 1 = ( 1,, 1), P = ( 3, 4, ) e P 3 = (1,, 0). 1. Determinare l equazione del piano π perpendicolare al segmento AB nel suo punto medio.. La perpendicolare condotta da S al piano π lo taglia nel punto H. Determinare le equazioni parametriche di questa perpendicolare. Dedurne le coordinate del punto H e calcolarne la distanza SH. Esercizio 1.18 Scrivere le equazioni della retta r che passa per il punto P = (1,, 3) ed è incidente alle due rette: s 1 : x = z + 1, y = z 1, s : x = z +, y = z 1. Esercizio 1.19 Trovare le coordinate del punto d incontro tra il piano di equazione: 3x y + z = 0, e la retta di equazioni cartesiane: x 1 = y + 1 4 = z 3. Esercizio 1.0 Scrivere le equazioni della retta passante per il punto P = (1, 1, ) e parallela ai due piani x y + z 1 = 0 e x + y 3z + = 0. Esercizio 1.1 Scrivere le equazione del piano passante per il punto P = ( 1,, 3) sapendo che una terna di parametri direttori è (, 1, 1). 3
Esercizio 1. Verificare che le rette: x = 1 + t, r : y = t, z = t. sono sghembe. Curve polari r : x = + t, y = 4 + t, z = 1 + t, Si discutano e si rappresentino le seguenti curve polari: 1) r = θ; ) r = sin θ; 3) r = sin θ; 4) r = cos 3θ; ) r = 1 + cos θ; 6) r = a cos θ; 7) r = a cos θ; 8) r = sin 3θ; 9) r = 3 sin θ; 10) r = a(1 sin θ). 3 Curve parametriche 1) Data la curva di equazioni parametriche: x(t) = a cos t y(t) = a sin t z(t) = bt con t [0, T ], a > 0 e b IR. Trovare: versore tangente, normale, binormale, vettore curvatura, raggio di curvatura e cerchio osculatore. ) Determinare i tre versori del triedo mobile in un generico punto della seguente curva di equazioni parametriche x(t) = e t y(t) = e t z(t) = t. 4
3) Calcolare i versori tangente, normale e binormale alla seguente curva in t = 1: x(t) = t z(t) = t 3. 4) Data la curva di equazioni parametriche: x(t) = t z(t) = ln t Trovare: versore tangente, normale, binormale, vettore curvatura, raggio di curvatura e cerchio osculatore. ) Data la curva di equazioni parametriche: x(t) = 1 cos t y(t) = 3 cos t z(t) = 1 + sin t Trovare: versore tangente, normale, binormale, vettore curvatura, raggio di curvatura e cerchio osculatore. 6) Determinare il versore tangente e normale in t = π piana di equazioni parametriche x(t) = R(t sin t) y(t) = R(1 cos t), della seguente curva per t [0, π].