ESAME DI STAT DI LIE SIENTIFI RS DI RDINAMENT 7 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Rispetto a un sistema di assi cartesiani ortogonali () si consideri il punto A(; ).. Si scriva l equazione del luogo dei punti del piano che verificano la condizione: P PA 8, controllando che si tratta di una circonferenza di cui si calcolino le coordinate del centro e il raggio.. Si determini l ampiezza dell angolo acuto formato dalla retta B con la tangente alla circonferenza in B, essendo B il punto della curva avente la stessa ascissa di A e ordinata positiva.. Si scriva l equazione della parabola cubica a b c d che presenta, nell origine, un flesso con tangente orizzontale e passa per B; si studi tale funzione e si tracci il suo grafico.. Si calcoli l area della regione finita di piano limitata dal segmento B e dall arco B della suddetta parabola cubica. PRBLEMA Si consideri la funzione: f () e e e.. Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico, su un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali ().. Si determinino le coordinate del punto A, in cui la curva incontra la curva rappresentativa dell equazione e.. Si scrivano l equazione della tangente alla curva nell origine e l equazione della tangente alla curva nel punto A.. Si calcoli l area della superficie piana, delimitata dalla curva, dall asse e dalla retta di equazione ln. Zanichelli Editore, 8
QUESTINARI Si calcoli il limite della funzione c os, sen quando tende a. Si determini il campo di esistenza della funzione arcsen (tg ), con. 5 6 7 8 Si calcoli il valore medio della funzione tg, nell intervallo. Si provi che per la funzione f () 8 nell intervallo, sono verificate le condizioni di validità del teorema di Lagrange e si trovi il punto in cui si verifica la tesi del teorema stesso. Fra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio r, si determini quello per cui è massima la somma dell altezza e del doppio della base. Si consideri la seguente proposizione: «Il luogo dei punti dello spazio equidistanti da due punti distinti è una retta». Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta. Sia data la funzione: arctg per f () per Si dica se essa è continua e derivabile nel punto di ascissa. Si determini l area della regione piana limitata dalla curva di equazione e, dalla curva di equazione e dalle rette e. Si determinino le equazioni degli asintoti della curva f (). Si risolva la disequazione 5. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 8
SLUZINE DELLA PRVA D ESAME RS DI RDINAMENT 7 Sessione suppletiva PRBLEMA. Sia P( ; ) un generico punto del piano cartesiano. Utilizzando la formula della distanza tra due punti si ricava: P, PA ( ), pertanto risulta: P PA 8 ( ) 8 8 8. L equazione è del tipo a b c. Essa rap- presenta una circonferenza se a b c. Nel no- stro caso si ha a b c 6. Pertanto il luogo trovato è una circonferenza, con centro ; e raggio r 6 (figura ). Figura.. Per trovare l ordinata di B, punto della circonferenza avente la stessa ascissa di A e ordinata positiva, sostituiamo nell equazione della circonferenza il valore a. tteniamo: 6. t Poiché l ordinata di B è positiva, il punto ha coordinate B ;. Tracciamo la retta t, tangente alla circonferenza nel punto B, e la retta α B (figura ). A Per calcolare l ampiezza dell angolo rappresentato in figura, determiniamo i coefficienti angolari delle rette B e t. La retta B ha coefficiente B angolare m B. Figura. B onsiderata la retta tangente t passante per il punto B ;, il suo coefficiente angolare m t è l antireciproco del coefficiente angolare della retta passante per il raggio B, ovvero: B m B, B P P + PA = 8 A Zanichelli Editore, 8
pertanto m t. L angolo acuto, formato dalla retta B con la tangente t, ha tangente goniometrica: mb mt tg tg. mb mt Risulta allora che 6.. Affinché il grafico della funzione f () a b c d passi per l origine e qui presenti un flesso con tangente orizzontale, devono essere verificate le seguenti condizioni: f(), f (), f (). Poiché f () a b c e f () 6a b, tali condizioni sono verificate rispettivamente se d, c, b. L equazione si riduce a a. Determiniamo il coefficiente a sostituendo le coordinate di B ; : a a 8. L equazione della parabola cubica è quindi. B Essa è definita in tutto R, interseca gli assi nell origine che è anche l unico punto di flesso. È positiva nell intervallo ]; [, negativa in ] ; [ e sempre crescente. La concavità è rivolta verso l alto in ]; [, verso il basso in ] ; [. Il suo grafico è rappresentato in figura. Figura.. In figura è indicata la regione finita di piano di cui si richiede di calcolare l area. La retta B ha equazione, pertanto: Area d 6. B = PRBLEMA Figura.. La funzione f () e e e ha campo di esistenza R. Essa può essere scritta come f () e (e e ). Le sue intersezioni con gli assi cartesiani si trovano risolvendo i seguenti due sistemi: e (e e ) e e e / R (e )(e ) e, Zanichelli Editore, 8
. e (e e ) L intersezione della funzione con gli assi è (; ). Studiamo la positività: e (e )(e ) e, pertanto la funzione è positiva per, è nulla in, è negativa per. Determiniamo gli eventuali asintoti calcolando i limiti della funzione per e : lim (e e e ) lim e (e e ), lim e (e e ), lim e (e e ). Si deduce che la funzione non ha asintoti obliqui ma ha asintoto orizzontale nell intorno di. alcoliamo la derivata prima e studiamo il suo segno: f () e e e e (e e ) e e e, f () e ln. La relativa tabella del segno è riportata in figura 5. f'() f() ln + Figura 5. min La funzione ammette un minimo per ln, la cui immagine vale: f ln 7 6. 7 Studiamo infine la derivata seconda e il suo segno: f () e 8e e e (e 8e ) e e f () e ln. e, La derivata seconda si annulla per ln, è positiva f''() + per ln, è negativa per ln (figura 6). ln Pertanto la funzione presenta concavità rivolta verso l alto per ln, rivolta verso il basso per ln e un f() flesso Figura 6. flesso per ln, dove f ln 5 6. 7 5 Zanichelli Editore, 8
Indicato con M il punto di minimo e con F il punto di flesso rappresentiamo in figura 7 il grafico della funzione. ln ln F M Figura 7.. Rappresentiamo in figura 8 la curva e la curva di equazione e. 5 A ' ln( 5 ) Figura 8. alcoliamo le coordinate del punto A risolvendo il seguente sistema: e e e e e e e e (e 5)(e 5) e e e 5 ln(5 ). e 5 Il punto A ha coordinate A(ln(5 ); 5 ).. La tangente alla curva di equazione e e e nell origine (; ) ha equazione m con m (), per cui la tangente ha equazione. La tangente alla curva di equazione e in A ha equazione: m [ ln(5 )] 5 con m (ln(5 )) 5. Pertanto la tangente in A alla curva ha equazione: e (5 )[ ln(5 )] 5 (5 ) (5 )[ ln(5 )]. 6 Zanichelli Editore, 8
. Nella figura è rappresentata la superficie piana, delimitata dalla curva, dall asse e dalla retta di equazione ln. Il punto P di ascissa ln ha ordinata 6. Si osservi che per motivi di migliore rappresentazione il sistema cartesiano è dimetrico. 6 P = ln ln Figura. alcoliamo l area della superficie indicata: Area ln (e e e ) d e e e ln. QUESTINARI cos Il limite lim sen si presenta nella forma indeterminata. Raccogliamo sia al numeratore che al denominatore e semplifichiamo: cos lim lim cos cos lim sen sen se n Applicando il limite notevole lim sen si ottiene: lim cos sen Per stabilire il segno di osserviamo che sia nell intorno destro sia nell intorno sinistro di risulta se n sen. Pertanto in un intorno completo di vale. In particolare risulta allora: cos lim se n 7 Zanichelli Editore, 8
La funzione arcsen (tg ), con, è definita quando il suo argomento, in questo caso (tg ) è compreso tra e ovvero tg. È quindi necessario risolvere la disequazione tg nell insieme. Risulta: tg tg 5 7. Per il teorema della media, se f () è una funzione continua nell intervallo [a; b], esiste almeno un punto c [a; b] tale chef (c) b b f () d. Il valore f (c) si chiama valore medio della funzione nell interval- a a lo considerato. Se f () tg, nell intervallo ; risulta: f (c) tg d s c en os d cos d [tg ] os coc d s. Una funzione f () soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange in un intervallo [a; b] se è continua in [a; b] ed è derivabile nei punti interni dell intervallo. In tal caso esiste un punto c nell intervallo ]a; b [ tale che f (c) f (b ) f (a). Se consideriamo f () 8 con, le due ipotesi sono verificate in b a quanto la funzione, essendo polinomiale, è continua e derivabile in R. Vale allora il teorema di Lagrange e, poiché f (), risulta: c ( 8) ( 8) c c di cui solo c accettabile perché interno all intervallo [; ]. In conclusione, il punto in cui si verifica la tesi del teorema di Lagrange è. 5 onsideriamo un triangolo isoscele AB di base AB e altezza H rispetto alla base, inscritto in una circonferenza di raggio r e centro (figura ). Sia l angolo HĈB, con limiti geometrici. onsiderata la funzione H AB, esprimiamo i suoi termini in funzione di : H H r r cos, AB HB r sen. r A H B Figura. 8 Zanichelli Editore, 8
Pertanto risulta: H AB r r cos r sen, con. alcoliamo la derivata prima della funzione: r sen 8r cos r ( sen cos ). Studiamo i punti stazionari della funzione: r ( sen cos ) ; dividendo per cos che in ; si annulla per che non è soluzione, si ottiene tg e quindi: arctg. Determiniamo la derivata seconda e calcoliamola nel punto stazionario trovato: r ( cos sen ), (arctg ) r [ cos (arctg ) sen (arctg )]. Per la condizione sufficiente di esistenza di un massimo, la funzione ha massimo per l angolo arctg 8. 6 onsiderati due punti A e B nello spazio, si tracci il piano perpendicolare al segmento AB e passante per il suo punto medio M (figura ). P A M B Figura. Preso sul piano un qualsiasi punto P, i triangoli rettangoli AMP e BPM sono congruenti per il primo criterio di congruenza e, in particolare, AP BP. Pertanto, nello spazio, il luogo dei punti equidistanti da due punti A e B dati non è una retta ma il piano perpendicolare al segmento che congiunge i punti dati e che passa per il corrispondente punto medio M. La proposizione data è quindi falsa. 7 onsiderata la funzione, valutiamo la continuità nel punto calcolando il limite destro e il limite sinistro in questo punto: lim arctg, lim arctg. Poiché f () e il limite destro e sinistro coincidono con l immagine della funzione nel punto, la funzione è continua in. Zanichelli Editore, 8
Valutiamo ora la derivabilità nel punto confrontando il limite destro e il limite sinistro della derivata prima, dopo averla calcolata: f () arctg arctg, lim arctg, lim arctg. Essendo i due limiti diversi, la funzione non è derivabile nel punto. 8 In figura sono rappresentati i grafici delle funzioni e e, ed è evidenziata la regione piana limitata dalle loro curve e dalle rette e. = e = = Figura. L area della regione vale: A (e ) d e e e 5. La funzione f () ha campo di esistenza R { } e il suo limite per che tende a risulta: lim, lim. La funzione ha pertanto asintoto verticale destro e sinistro. Determiniamo eventuali asintoti orizzontali o obliqui m q considerando i seguenti limiti: lim, quindi non esistono asintoti orizzontali; m lim f ( ) lim, q lim ( f () m) lim lim. La funzione ha asintoto obliquo di equazione. Gli asintoti della funzione sono pertanto e. Zanichelli Editore, 8
La disequazione assume significato solo se è un numero naturale tale che:, N. Risolviamo la disequazione esplicitando i coefficienti binomiali: 5! 5!!( ( )( ) 5 ( )!( )! )! 6 ( )( ) 5 ( ). Essendo, possiamo dividere entrambi membri per ( ), essendo, questa, una quantità positiva: 5. Quindi la disequazione di partenza ammette come soluzioni accettabili solo i numeri naturali maggiori o uguali a 5 ovvero: 5, N. Zanichelli Editore, 8
Per esercitarti ancora sugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema Problema 5 pag. L 68 Esercizio 6 pag. Quesito pag. W 67 Esercizio pag. V Esercizio pag. W 8 Problema Esercizio 7 pag. V 5 Esercizio 5 pag. V 78 Esercizio 55 pag. V 78 Esercizio 6 pag. V 75 ( parte) Esercizio pag. W 8 (punti a e b) Quesito Esercizio 6 pag. U 7 Esercizio 5 pag. U 7 Quesito Esercizio 7 pag. U 5 Esercizio 88 pag. U 6 Quesito Esercizio 76 pag. W Esercizio 77 pag. W Quesito Esercizio pag. V 7 Esercizio 5 pag. V 8 Quesito 5 Esercizio 66 pag. V Esercizio 67 pag. V Quesito 6 Esercizio pag. 7 Esercizio 8 pag. 7 Quesito 7 Esercizio 8 pag. V 5 Problema pag. V (punti a e b) Quesito 8 Esercizio pag. W 8 Esercizio pag. W 8 Quesito Esercizio 568 pag. U Quesito Esercizio pag. 5 Esercizio 6 pag. 7 Zanichelli Editore, 8