Verso la seconda prova di matematica 7 Risoluzione della prova verso la seconda prova di matematica 7 risoluzione della prova Problemi 7 a Determiniamo l equazione della parabola di vertice V`; j e passante per il punto P^; h Z b a ascissa del vertice [ 7 9a+ b+ c passaggio per V \ a+ b+ c passaggio per P Zb a Z b a a 7 7 8 * 9a 8a+ c " c + 9a [ " [ b 7 a 7a+ c 7a+ + 9a \ \ c 8 La parabola ha equazione 8 + + 8 Determiniamo il valore di k nell equazione della curva e + k imponendo il passaggio per P^, h: e + k " k Il profilo f ^ h ha equazione: f 8 8 ^ h * + + se # # e + se # b La funzione f ^ h è continua perché le funzioni che la compongono, una funzione polinomiale e una funzione esponenziale, sono continue in R e perché non c è discontinuità nel punto di raccordo dei due tratti Infatti: lim f ^ h lim ^e + h f^h " + " + Le due funzioni componenti sono derivabili in R : f 9 se l^ h * + e se Inoltre: lim fl ^h lim a 9 + k f+ l^h, " + " + lim fl ^h lim ^e h e f l^h " " Dobbiamo solo controllare che esista la derivata in : lim fl ^h lim a 9 + k fl^ h, " " lim fl ^h lim ^ e h fl^h " + " + + Copright 7 Zanichelli editore SpA, Bologna pagina /
Verso la seconda prova di matematica 7 Risoluzione della prova Quindi fl^h fl^h f l^h e la funzione è derivabile in tutto il suo dominio + c Calcoliamo l area compresa tra f ^ h e l asse per # #, che rappresenta metà della sezione del vaso fd 8 ^ h a + + 8kd + ^e + hd 8 : $ + + 8D + e + @ ^ + + 9h + ^ e + 78 + h e L area della sezione è: A ^ e h cm, dm d La funzione f ^ h interseca l asse nel punto (; 8); inoltre: lim f^h lim ^e + h " + " + a b Per la funzione g + + b ^ h si ha g^h b e lim g^h a Imponendo le condizioni g^h 8 " + e lim g ^ h, otteniamo allora a e b 8 La funzione cercata è: " + g 8 ^ h + + Indichiamo con h l altezza del vaso La condizione affinché l area della sezione sia la stessa del profilo precedente è: h gd ^ h fd ^ h e Abbiamo: h h gd 8 h h ^ h d d ln h ln h + + ` + + j 7 + + A + ^ + h La condizione è quindi: h+ ln^h+ h e Questa equazione nell incognita h non è risolubile in maniera elementare, quindi dobbiamo applicare uno dei metodi di risoluzione approssimata Dobbiamo determinare uno zero della funzione u ^ h + ln^+ h + e Poiché e 8$ 7, possiamo semplificare il problema sostituendo la funzione u^h con v ^ h + ln^+ h Effettuiamo uno studio grafico per determinare un intervallo in cui è contenuto esattamente uno zero della funzione Riscriviamo la condizione v^h : + ln^+ h " ln^ + h Disegniamo i grafici delle funzioni v ^h ln^ + h e v ^h v () v () ln( + ) O Copright 7 Zanichelli editore SpA, Bologna pagina /
Verso la seconda prova di matematica 7 Risoluzione della prova Osserviamo che: v ( ) è monotòna crescente, v () è monotòna decrescente, quindi la funzione v() ha al più uno zero; v ( ) ln, v( ) " v( ) v( ) ; va k lna + k, va k " va k va k Ricaviamo che lo zero cercato è unico e si trova nell intervallo D ; : Possiamo confermare quanto ricavato con il metodo grafico calcolando v() negli estremi dell intervallo: v^h $ + ln ; va k $ + lna + k lna k Per il teorema di esistenza degli zeri esiste almeno uno zero nell intervallo D ; : Utilizziamo il metodo di bisezione per determinarne una sua approssimazione Per semplicità di calcolo applichiamo il metodo all intervallo a; b @ ; @, che contiene l intervallo : ; D n a n b n v(a n ) v(b n ) an+ bn mn v(m n ),,,,, 9,,, 9,,,,8,,,8, 8,,88, 8,,8,88,7,79,7 8,,79,88 7,, 7, 8,,,88 7,8,7 7, 7,8,,7 7,9, 7 7,9 7,8,,7 7,,9 8 7,9 7,,,9 7,,7 9 7, 7,,7,9 7,98,9 Il valore approssimato della soluzione con una cifra decimale esatta è 7, L altezza del vaso deve quindi essere h 7, cm e La funzione f ^ h non è invertibile, perché l arco di parabola nell intervallo [; non è il grafico di una funzione iniettiva La funzione g ^ h, invece, è invertibile Infatti g ^ h è continua nell intervallo ; + e decrescente, in quanto gl^ h ^ + h! R ", e quindi gl^ h! ; + Ricaviamo l espressione analitica dell inversa: 8 8 + + " Scambiando con, otteniamo: g 8 ^h a Studiamo il segno di fl^h utilizzando le informazioni su crescenza e decrescenza di f ^ h deducibili dal suo grafico f ^ h è crescente negli intervalli @ ;, @ ; e @ ; +, mentre è decrescente nell intervallo @ ; In corrispondenza di la funzione ha un punto di minimo relativo Perciò fl^ h per, fl^ h per e fl^h per Copright 7 Zanichelli editore SpA, Bologna pagina /
Verso la seconda prova di matematica 7 Risoluzione della prova In e la funzione f ^ h ha tangente verticale, quindi fl^h non è definita in tali punti Il dominio di f ^ h è R, mentre il dominio di fl^h è R " ;, b Nel punto la funzione f ^ h ha una cuspide, quindi: lim f l^ h +; lim f l^ h " " + In la funzione f ^ h ha un flesso a tangente verticale, perciò: lim fl^h lim fl^h + " " + L asintoto obliquo ha coefficiente angolare, quindi: lim f l^ h " c Per quanto visto nel punto precedente, fl^ h ha due asintoti verticali, di equazioni e, e un asintoto orizzontale di equazione Per determinare la crescenza di fl^ h, studiamo il segno della sua derivata prima, cioè di fm^h, deducendolo dalla concavità di f ^ h rappresentata nel grafico fl^ h è crescente negli intervalli in cui fm^h è positiva, cioè quando f ^ h rivolge la concavità verso l alto, altrimenti è decrescente Quindi fl^ h è crescente per e decrescente per d Tracciamo un possibile grafico di fl^ h f'() O Dal grafico osserviamo che, poiché lim f l^ h, lim f l^ h + e fl^ h è una funzione continua " + " in @ ;, fl^ h deve cambiare concavità in questo intervallo, dunque esiste almeno un punto di flesso F! @ ; e Poiché l asintoto obliquo di f ^ h ha coefficiente angolare, abbiamo: lim f^h a + b + c " lim " " " La funzione è perciò della forma f ^ h + b + c La condizione f^h diventa: a " a 7 + 9b+ c " 7+ 9b+ c " 9+ b+ c Copright 7 Zanichelli editore SpA, Bologna pagina /
Verso la seconda prova di matematica 7 Risoluzione della prova Calcoliamo la derivata prima di f ^ h: fl^ h Poiché f l^ h : + b+ c ^ + b + ch $ + b$ + c ^ + b$ + c$ h " + b+ c, con 8+ b+ c! Per trovare b e c risolviamo perciò il seguente sistema: 9+ b+ c b + b+ c " c 8+ b+ c! 8! * * La soluzione del sistema b e c è accettabile e la funzione è f ^ h Quesiti Determiniamo fl^ h calcolando l integrale indefinito di fm^h fl^h fm^hd ^a+ ln hd ad+ ln d Integriamo per parti: ln d ln + c Quindi fl^ h a + ln + c Per determinare c, utilizziamo la condizione f l^ h e otteniamo: a + c " c a L espressione analitica di fl^ h è allora: fl^h ^a h + ln a Calcoliamo ora l integrale indefinito di fl^ h per determinare f ^ h f ^ h fl^hd ^a h+ ln a@ d Integriamo per parti: ln d ln d $ ln + c Otteniamo: f ^ h ^a h + ln a + k Applichiamo la condizione f^h : a a a k + " k + Otteniamo: a f ^ h ^a h + ln a + + Copright 7 Zanichelli editore SpA, Bologna pagina /
Verso la seconda prova di matematica 7 Risoluzione della prova Determiniamo ora a con la condizione lim f ^ h " Abbiamo: lim : ^ a a a h + ln a + + D +, " in cui, in particolare, applicando il teorema di De L Hospital, risulta che lim ln lim ln " " Quindi: a + " a Perciò: f ^ h + + ln La derivata seconda di f ^ h è fm^h a+ ln + ln Studiamo il suo segno: fm^h " + ln " ln " e Quindi in e la funzione f ^ h ha un flesso L equazione della retta tangente al grafico di f ^ h in e è fl^eh^ eh+ f^eh Poiché fl^h ^a h + ln a + ln +, otteniamo fl^ eh e+ e+ e e Inoltre f e e e e ^ h + + e, quindi l equazione della retta tangente è: e e e e ^ h^ h+ e " ^eh + La funzione f ^ h ln interseca l asse in A(; ) Calcoliamo il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f ^ h in questo punto, cioè la derivata prima di f ^ h in : fl ^h " f l^ h Indichiamo con g ^ h k ^k+ h+ ^k + h la funzione che descrive la parabola Osserviamo che ciascuna parabola, al variare di k, passa per il punto A Infatti: g^ h k ^k+ h+ ^k + h Affinché le due curve siano tangenti in A è quindi sufficiente che il coefficiente angolare della retta tangente a g^h in A sia uguale a quello della tangente a f ^ h nello stesso punto, cioè che fl^h gl^h Abbiamo: gl^h k ^k+ h" gl^ h k k k Dalla condizione fl^h gl^h otteniamo: k " k L equazione della parabola è perciò g ^ h + Rappresentiamo graficamente f ^ h e g^h O [f() g()d f() ln g() + Copright 7 Zanichelli editore SpA, Bologna pagina /
Verso la seconda prova di matematica 7 Risoluzione della prova Per determinare l area compresa tra le due curve, osserviamo che nell intervallo [; è f ^ h$ g^h, quindi: S f g d ln d ln ^ h ^ h@ : ` + jd : ^ h + + D ln : + + D : aln + + ka + kd ln a L asse della parabola coincide con l asse, quindi l equazione della parabola è della forma a + c Poiché la botte è alta 8 dm e il diametro di base è dm, la parabola passa per il punto `; j; passa inoltre per il punto (; ), come si può dedurre dai dati del problema e dalla figura Imponiamo il passaggio per questi due punti per determinare i coefficienti a e c: a+ c passaggio per b; a * l " * c passaggio per (; ) c La parabola ha equazione + b Il volume della botte è: V r a + k d Poiché la funzione integranda è pari, abbiamo: V r a + k d r a + 9k d r: + 9D $ $ $ r ra + 9$ k ra + k L $ $ Dall espressione analitica di f m^h possiamo ricavare quella di fl^ h, che è una sua primitiva Calcoliamo l integrale indefinito di fm^h: fl ^h fm^hd d d + a k + c Per ricavare c osserviamo dal grafico che f l^ h, quindi: + + c " c L espressione analitica di fl^ h è perciò fl^ h + + Per ottenere f ^ h procediamo allo stesso modo, calcolando l integrale indefinito di fl^ h: f ^ h fl^hd a + +kd + ln + + c Dal grafico ricaviamo f^h, quindi: + ln + + c " c Concludiamo che f ^ h + ln + Osserviamo innanzitutto che per a la funzione assegnata diventa e, quindi, rappresenta una parabola priva di punto di massimo relativo Esaminiamo la situazione per a! Copright 7 Zanichelli editore SpA, Bologna pagina 7 /
Verso la seconda prova di matematica 7 Risoluzione della prova La derivata prima della funzione assegnata è: l a a a e + ae ^a + e h Studiamo il segno: l a " ^a + h e a Poiché e a, risolviamo a + " ^a + h Se a!, l equazione ^a + h ha due soluzioni: e a Compiliamo il quadro dei segni, distinguendo i casi a e a a > a < a a ' + + ' + ma min min ma In entrambi i casi il massimo si ha in corrispondenza di a Il punto di massimo che descrive c, al variare di a!, è quindi P a ; a e a k Per determinare l equazione del luogo descritto da P, eliminiamo il parametro a dal seguente sistema: Z a [ a e \ Osserviamo che, al variare di a!, a assume tutti i valori reali diversi da Quindi il dominio di c è! Dalla prima equazione possiamo allora ricavare a Sostituendo nella seconda equazione otteniamo: e e Quindi c ha equazione e, con!, e rappresenta una parabola privata del vertice Abbiamo già visto, studiando il segno della derivata prima di m, che è un punto di minimo della funzione quando a! Questo è anche un minimo assoluto: infatti, in abbiamo, mentre se! allora a a e e, da cui e Per a, m è descritta da e, quindi, è una parabola che presenta in il punto di minimo assoluto a Sostituiamo l espressione data nei due membri dell equazione differenziale Il primo membro diventa: t Tl^ th Ce Il secondo membro è invece: t t T t Ce ^ h @ 7 + A Ce I due membri sono uguali, quindi T^th + Ce è soluzione dell equazione differenziale data t Copright 7 Zanichelli editore SpA, Bologna pagina 8 /
Verso la seconda prova di matematica 7 Risoluzione della prova b Se T^h, C allora, sostituendo t nell espressione analitica di T^th, otteniamo: + C, " C, C t Quindi T^th +, e c Dobbiamo risolvere l equazione T^t h Utilizziamo l espressione analitica trovata nel punto precedente: t t +, e " e, " t lna k" t lna k, 9 Poiché il tempo t è misurato in ore, abbiamo, 9 h 9, $ min min Si può quindi stimare che il decesso sia avvenuto minuti prima del ritrovamento, cioè alle ore :8 7 La funzione passa per l origine, quindi f^h, da cui: kh^ h e h ^ h kh^ Poiché e h!, deve essere h^h, da cui c La funzione è simmetrica rispetto all asse, cioè è pari, dunque deve essere b ka La funzione cercata è allora del tipo f ^ h a e ka La derivata prima è fl^ h a^ ka h e Poiché in 7 abbiamo un punto di massimo, deve essere f l^ 7 h Per determinare i coefficienti a e k imponiamo il passaggio per il punto (7; ) e la condizione f l^ 7 h : 9ka 9ae ) 9ka a^ 9kahe Osserviamo che deve essere a!, altrimenti la funzione sarebbe identicamente nulla Dalla seconda equazione, poiché ae!, ricaviamo: 9 ka 9ka " ka 9 Sostituendo nella prima equazione, otteniamo: 9ae " a e 9 La funzione cercata è: 9 e f ^ h 9 e 8 Il punto di tangenza fra la sfera e la retta coincide con il punto di intersezione fra la retta e il piano perpendicolare alla retta passante per il centro della sfera Determiniamo dunque l equazione del piano b perpendicolare a r e passante per C Ricordiamo che i coefficienti direttivi della retta r sono anche i coefficienti dell equazione cartesiana di ciascuno dei piani perpendicolari alla retta stessa Pertanto il generico piano ortogonale a r ha equazione: + z k Imponiamo la condizione di passaggio per C Sostituendone le coordinate nell equazione precedente, otteniamo: k $ + $ ^ h 7 Quindi il piano cercato è b : + z 7 Copright 7 Zanichelli editore SpA, Bologna pagina 9 /
Verso la seconda prova di matematica 7 Risoluzione della prova Scriviamo le equazioni della retta r in forma parametrica: Z + t + t + t [ t " * t " * + t, con t! R z z t z t t \ Per trovare le coordinate del punto T di tangenza, sostituiamo nell equazione del piano b le relazioni delle equazioni parametriche di r: ^ + th+ ^+ th^ th 7 " t Sostituiamo t nelle equazioni parametriche di r: + * + z Il punto di tangenza è perciò T^ ; ; h e il raggio della sfera è r CT + + La sfera cercata ha equazione: ^h + ^ h + ^z + h 9 La distanza tra il centro C della sfera e il piano a: z 8 è: d $ $ ^h 8 + +, cioè è pari al raggio della sfera Pertanto la sfera è tangente al piano a 9 Dal grafico ricaviamo che fl^ h è negativa negli intervalli @ ;, @ ; e @ ; + : in questi intervalli f ^ h è decrescente fl^ h è invece positiva in @ ; e @ ;, quindi in questi intervalli f^h è crescente Perciò, ricordando che f() è continua in R, e sono punti di minimo relativo, e punti di massimo relativo Osserviamo che nel punto la derivata prima ha un massimo relativo, quindi f ^ h ha un flesso in Inoltre, poiché lim fl^ h, lim fl^ h + e f ^ h è continua in tutto R (in particolare f^h ), in " " + la funzione presenta una cuspide Tracciamo un possibile grafico di f ^ h f() O La funzione fl^ h è crescente in @ ;: in questo intervallo fm^h sarà positiva fl^ h è decrescente in @ ; e in @ ; +, quindi fm^h sarà negativa in questi intervalli Osservando il comportamento di fl^ h in un intorno di ricaviamo anche lim fm^h " Copright 7 Zanichelli editore SpA, Bologna pagina /
Verso la seconda prova di matematica 7 Risoluzione della prova Inoltre fl^ h presenta un massimo relativo in, quindi f m^ h Tracciamo un possibile grafico di fm^h f''() O Indichiamo con p la probabilità che un lettore MP funzioni e con q la probabilità che non funzioni: abbiamo p 9, e q, L evento A si verifica se i primi 8 lettori funzionano e gli ultimi due non funzionano: pa pq 8 9, 8, ^ h ^ h $ ^ h, $ L evento contrario di B è B «tutti i lettori funzionano», quindi: pb ^ h p " p^bh p^bh p ^9, h,, % L evento C si verifica se funzionano 8, 9 o lettori Utilizziamo lo schema delle prove ripetute: 8 9 pc ^ h c mpq+ c mpq+ c m p 988, 98, 8% 8 9 Copright 7 Zanichelli editore SpA, Bologna pagina /