IL RISCHIO PREZZO E IL RISCHIO TASSO
IL RISCHIO PREZZO se i tassi aumentano, i prezzi diminuiscono nella stessa misura percentuale per tutti i titoli? se i tassi diminuiscono, i prezzi aumentano nella stessa misura percentuale per tutti i titoli?
IL RISCHIO INTERESSE RISCHIO RISCHIO PREZZO RISCHIO REINVESTIMENTO emerge nell ipotesi di aumento dei tassi; in tal caso il prezzo dei titoli scende e si determina una perdita in conto capitale emerge nell ipotesi di diminuzione dei tassi; in tal caso le cedole staccate verranno reinvestite a tassi più bassi
REQUISITI DI UN INDICATORE DI RISCHIO CAPACITA DI.. Considerare congiuntamente i fattori di volatilità di un titolo (livello di cedola e vita residua) Stimare la reattività dei prezzi a fronte di variazioni dei tassi
DURATION = VITA MEDIA FINANZIARIA OGGI DURATION LA DURATION È IL PUNTO DI EQUILIBRIO DELLA DISTRIBUZIONE DEI CASH FLOW ATTUALIZZATI
I FATTORI DETERMINANTI DELLA DURATION relazione inversa con il livello della cedola LA DURATION PRESENTA UNA... relazione inversa con il TRES relazione diretta con la vita residua del titolo
LA DURATION (D): FORMULAZIONE ANALITICA D n k 1 t k (1 F k TRES) P t k Durata media finanziaria LEGENDA D = duration del titolo in unità temporali; tk = tempo a scadenza del flusso k-esimo; Fk = flusso k-esimo del titolo a tasso fisso; TRES = tasso di rendimento effettivo a scadenza del titolo vigente al momento della valutazione
ESEMPIO: IL CALCOLO DELLA DURATION t k f k Flussi att. Pesi % Pesi % x t k 1 3,0625 2,9822 2,8953 0,028953 2 3,0625 2,9039 2,8193 0,056386 3 3,0625 2,8277 2,7453 0,082359 4 3,0625 2,7535 2,6733 0,106932 5 3,0625 2,6813 2,6032 0,130160 6 3,0625 2,611 2,5350 0,15210 7 3,0625 2,5425 2,4684 0,172788 8 3,0625 2,4758 2,4037 0,192296 9 3,0625 2,4108 2,3406 0,210654 10 102,8125 78,8113 76,5158 7,651580 103 100 8,7842 tel quel Duration in sem.
LA DURATA DEL TITOLO ABC 1/8/16 ced. 4.25 D = 2.254 ABC 1/8/17 ced. 4.25 D = 3.214 A PARITÀ DI CEDOLA E DI FREQUENZA CEDOLARE IL TITOLO CON LA SCADENZA PIÙ LONTANA HA LA DURATION MAGGIORE
IL TASSO CEDOLARE ABC 1/10/14 ced. 9% D = 1.207 ABC 1/10/12 ced. 4% D = 1.226 A PARITÀ DI SCADENZA E DI FREQUENZA CEDOLARE, IL TITOLO CON LA CEDOLA MINORE HA LA DURATION MAGGIORE
A RIPROVA DI QUANTO DETTO... ABC 15/9/20 ced. 2.10 D = 6.202 ABC 1/2/21 ced. 4.50 D = 6.159 IL TITOLO CON LA SCADENZA PIÙ VICINA HA DURATION MAGGIORE DI QUELLA DEL TITOLO CON SCADENZA PIÙ LONTANA PER EFFETTO DEL TASSO CEDOLARE INFERIORE
Duration e vita residua Duration si comporta in maniera diversa all aumentare della scadenza se il titolo con cedola sia: 1. Quotato alla pari 2. Sotto la pari 3. Sopra la pari Riferendoci alla figura del fulcro, nel caso di aumento della durata del prestito si devono aggiungere ulteriori recipienti, che sarebbero più lontani dall estremo dell asse e riempiti di quantità decrescente di valore attuale Il fulcro si allontana dalla data di valutazione ma con incrementi sempre decrescenti all aumentare del numero delle cedole Il valore cui tende D all aumentare della scadenza del titolo con cedole per una dato rendimento è la D di una rendita perpetua.
Duration e Vita residua Infatti per lo stesso motivo per cui diminuisce il peso delle cedole più lontane che vengono aggiunte valutando titoli sempre più lunghi, anche il valore attuale del rimborso del valore nominale si riduce progressivamente. Ciò fino al punto che per scadenze sufficientemente lontane risulta irrilevante rendendo il titolo simile a una rendita perpetua La duration di questo titolo è pari a D= (1+TRES)/TRES
Duration e titoli sopra /sotto la pari Un titolo sotto la pari costituisce un ibrido fra uno zcb e un titolo con cedole. Infatti riunisce la proprietà di un titolo con cedole quotato alla pari di avere solo flussi di reddito staccato, a quella di un zcb che offre sol reddito incorporato E la combinazione degli effetti dei due titoli puri sulla duration: a) nel primo tratto ha un a condotta simile a quello dello zcb b) mentre dopo segue un titolo irredimibile. Notiamo che se la componente di reddito incorporato è molto rilevante ( se la cedola nominale è molto più bassa del TRES e quindi con valore di mercato molto inferiore al nominale ) è possibile che la d tenda dall alto al valore che assume per scadenze lunghe
CONFRONTO DURATION E VITA RESIDUA Zero coupon bonds Titoli quotati sotto la pari (1+TRES)/TRE S Titoli quotati alla pari VITA RESIDUA Titoli quotati sopra la pari
L EFFETTO DI DURATION DRIFT TEMPORANEO RIMBALZO (AUMENTO) DELLA DURATION IN CORRISPONDENZA DELLO STACCO DELLE CEDOLE BTP Zero Coupon equivalente Tempo
L INTERPRETAZIONE DELL INDICATORE DI DURATION: 1 SIGNIFICATO DURATION = INDICATORE DI DURATA Baricentro finanziario dell investimento in titoli Fk Flussi attualizzati 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 duration
L INTERPRETAZIONE DELL INDICATORE DI DURATION: 2 SIGNIFICATO DURATION = INDICATORE DI RISCHIO Esprime l inclinazione della funzione prezzo-rendimento ovvero l elasticità del prezzo rispetto al rendimento dp dtres n t K1 k F k t k 1 1 TRES
L INTERPRETAZIONE DELL INDICATORE DI DURATION: dal 1 al 2 significato La duration... è un ottimo indicatore di rischio ma... Qual è il principale fattore di rischio per un titolo a tasso fisso? La variazione dei tassi di interesse Allora la duration dovrà rendere possibile la stima della variazione del prezzo del titolo al variare dei tassi di rendimento a scadenza richiesti dal mercato.
STIMA DELLA VOLATILITA DEL PREZZO P P 1 D TRES 0 TRES dove: 1 D TRES 0 = duration modificata o volatilità Effetto amplificativo dell impatto sul prezzo di variazioni dei rendimenti
APPROSSIMAZIONE DELLA RELAZIONE PREZZO- RENDIMENTO DI UN TITOLO CON LA DURATION P effettivo P0 P stimato P* P1 TRES0 TRES1 Rendimento
LA DURATION DEL PORTAFOGLIO La duration è additiva, dunque la duration del portafoglio e la media ponderata delle duration dei singoli titoli che compongono il portafoglio.
LA DURATION DEL PORTAFOGLIO Titolo 1 D = 5,25 Pmkt = 123 mil. Titolo 2 D = 8,7 Pmkt = 87 mil. Valore totale portafoglio = 210 mil Duration portafoglio (123/210) * 5,25 + (87/210) * 8,7 = 6,68
REGOLE DI GESTIONE DEL PORTAFOGLIO OBBLIGAZIONARIO Aspettativa: diminuzione dei tassi, quindi rialzo nei prezzi dei titoli cosa scegliere: titoli con duration lunga perché?: se l aspettativa si verifica, il guadagno in conto capitale è elevato.
Duration Inflation Bond Scadenza Inflazione capitale Cedola riv. Duration MD 25/05/04 100 15/09/04 2.70% 102,7 0,8473 15/03/05 3.10% 105,8 0,8728 15/09/05 3.15% 108,95 0,8988 15/03/06 3.30% 112,25 0,9261 15/09/06 3.50% 115,75 0,9549 15/03/07 3.80% 119,55 0,9862 15/09/07 3.90% 123,45 1,0184 15/03/08 4.20% 127,65 1,053 15/09/08 4.50% 132,15 133,24 4,19 4,13
REGOLE DI GESTIONE DEL PORTAFOGLIO OBBLIGAZIONARIO Aspettativa: aumento dei tassi, quindi ribasso dei prezzi dei titoli cosa scegliere: titoli con duration corta perché?: se l aspettativa si verifica, la perdita in conto capitale è contenuta.
REGOLE DI GESTIONE DEL PORTAFOGLIO OBBLIGAZIONARIO Come si determina il guadagno o la perdita presunta in conto capitale? Si moltiplica la volatilità (o duration modificata) per il prezzo tel quel del titolo e per la variazione ipotizzata del tasso di rendimento. Il risultato va diviso per 100 e invertito di segno.
L INDICATORE DI CONVESSITA (C) INTERPRETAZIONE FORMULAZIONE ANALITICA Grado di curvatura della funzione prezzo-rendimento C n (t t k k t 2 k ) 1 F k TRES P t k
ESEMPIO: CALCOLO DELLA CONVESSITA t k t k 2 t k + t k 2 F k Flussi Pesi % (t k + t k 2) x att. peso% 1 1 2 3,0625 2,9822 2,8953 0,057907 2 4 6 3,0625 2,9039 2,8193 0,169159 3 9 12 3,0625 2,8277 2,7453 0,329441 4 16 20 3,0625 2,7535 2,6733 0,534660 5 25 30 3,0625 2,6813 2,6032 0,780961 6 36 42 3,0625 2,611 2,5350 1,064680 7 49 56 3,0625 2,5425 2,4684 1,382330 8 64 72 3,0625 2,4758 2,4037 1,730656 9 81 90 3,0625 2,4108 2,3406 2,106524 10 100 110 102,8125 78,8113 76,5158 84,167408 103 100 92,3237 tel quel convessità
Convessità Relazione prezzo rendimento non lineare ma convessa Aumento r diminuisce P < diminuzione di r aumenti P P con la duration è imperfetta Sottostima l incremento e sovrastima la diminuzione Per la stima corretta ricorro alla convessità
Convessità introduzione Aggiusto la stima : 1. Aumento in caso di ribasso di r 2. Diminuisco in caso di rialzo di r Il titolo più convesso si apprezza di più se r diminuisce e scende di meno se r aumenta Il mercato fa pagare di più questo vantaggio, quindi ex ante il titolo convesso renderà di meno
AFFINAMENTI DELL ANALISI DI VOLATILITA Approssimazione della variazione del prezzo del titolo a fronte di variazioni non infinitesimali del TRES con evidenza dell effetto della duration e della convessità P P D TRES TRES 2 1 TRES 2 0 1 C TRES 0 2
ESEMPIO: STIMA DELLA VOLATILITA DEL PREZZO CON DURATION E CONVESSITA Prezzo di emissione 98 Cedola netta 3,0625% TRES netto semestrale 2,694% Prezzo di acquisto 103 Vita residua in semestri 10 Duration (in semestri) 8,7842 Convessità 92,3237 Hp: TRES al rialzo di 1/2 punto percentuale Nuovo livello di prezzo? P * 103 103 8,7842 1,02694 0,03194 0,02694 92,3237 1,02694 2 0,03194 0,02694 2 2 P * = 98,70
Convessità modificata ) /(1 ) ( ) (. ) ( ) (1 / ) (1 ) ( 2 2 2 2 r n n MC n n C coupon z C r MC P r Fc t t C t t t
Proprietà convessità modificata Maggiore è la vita residua del titolo,maggiore è la convessità modificata A parità di altre condizioni, minore è la cedola, maggiore è il valore della convessità modificata A parità di altre condizioni minore è il tasso di rendimento,maggiore è il valore della convessità modificata Come per duration quindi: i. Maggiore è la duration maggiore è la convessità ii. Minore è la duration minore è la convessità
Convessità del portafoglio Portafoglio Bullet ( una sola scadenza) Portafoglio Barbell ( una lunga e una breve) Portafogli hanno la stessa duration, ma diversa convessità Il Barbell ha una convessità superiore, quindi costa di più e rende di meno Il portafoglio Spaced( più titoli in proporzione identica) ha una convessità minore del Barbell
IL TEOREMA DELL IMMUNIZZAZIONE (fine) Il teorema dell immunizzazione è sottoposto alle seguenti ipotesi restrittive: 1 Spostamenti paralleli della curva dei rendimenti 2 Assenza di costi di transazione sulle operazioni necessarie per mantenere la duration del portafoglio in linea con la fine del periodo