4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 1 LA MECCANICA BOHMIANA La meccanica di Bohm non è stata elaborata in relazione al problema della misurazione. È stata proposta come versione deterministica della meccanica quantistica. Tuttavia vedremo che essa permette anche la costruzione di una soddisfacente teoria della misurazione. Lo stato e le equazioni di evoluzione della meccanica bohmiana Dato un sistema S di N particelle sia x il set delle coordinate di tutte le particelle (cioè la configurazione del sistema) e ψ(x) la funzione d onda del sistema. Secondo la meccanica bohmiana lo stato del sistema è costituito dalla coppia {x, ψ(x)} (si noti che il simbolo x ha un significato diverso nei due elementi dello stato). Lo stato del sistema evolve secondo le equazioni iħ t ψ t(x) = Ĥ ψ t(x) (equazione di Schrödinger), d dt x t = V ψ (equazione di guida), dove V ψ è un campo di (multi)velocità dipendente da ψ t per ora da definire. Entrambi gli elementi dello stato evolvono deterministicamente, la funzione d onda in modo autonomo, la configurazione in modo dipendente dalla funzione d onda. La meccanica bohmiana è una teoria con variabili addizionali, costituite dalla configurazione. L equazione di continuità Sia E un ensemble di repliche del sistema S in stati individuati tutti dalla medesima funzione d onda ψ e da diverse configurazioni x e sia ϱ la distribuzione (densità) delle configurazioni x nell ensemble E. Allora, poiché il sistema si muove nello spazio delle configurazioni secondo l equazione di guida, la densità ϱ soddisfa l equazione di continuità (1) t ϱ t(x) + (ϱ V ψ ) = 0, dove indica la (multi)divergenza.
4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 2 L equazione di continuità per la quantità ϱ ψ Data l equazione di Schrödinger e la sua soluzione ψ costruiamo i campi Sappiamo che essi soddisfano l equazione ϱ ψ = ψ t(x) 2, j ψ = iħ 1 ( ψt (x) ψ 2m ψt (x) ψ ). (2) t ϱψ + jψ = 0. Se j ψ ha il significato di densità di corrente della quantità ϱ ψ l equazione (2) è l equazione di continuità per la ϱ ψ. Nota Nella formulazione standard della meccanica quantistica ϱ ψ e jψ hanno rispettivamente il significato di densità di probabilità della configurazione ove misurata e di densità di corrente di probabilità della configurazione. Nella meccanica bohmiana non si attribuiscono a ϱ ψ e jψ tali significati, almeno a livello di assunzioni. Il campo V ψ Assumiamo che il campo di velocità V ψ che compare nell equazione di guida sia dato da (3) V ψ = jψ ϱ ψ Dunque l equazione di guida è determinata da ϱ ψ e jψ e quindi da ψ.
4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 3 L assunzione sulla costruzione di un ensemble e l equivarianza Assumiamo che, se all istante t 0 viene costruito un ensemble di sistemi S in stati individuati tutti dalla medesima funzione d onda ψ t0 (x) le configurazioni dei diversi S nell ensemble sono necessariamente distribuite secondo la funzione ϱ t0 (x) data da (4) ϱ t0 (x) = ϱ ψ t 0 (x). Allora a tutti i tempi si ha ϱ t (x) = ϱ ψ. Infatti [ ] ϱ t0 +d = ϱ t 0 (x) + t ϱ dt t=t 0 ( ) (1) = ϱ t0 (x) ϱ t0 (x)v ψ t 0 (x) dt ( ) (3) = ϱ t0 (x) ϱ t0 (x) jψ t 0 (x) ϱ ψ dt t 0 (x) (4) = ϱ ψ t 0 (x) j ψ t 0 (x) dt [ (2) = ϱ ψ t 0 (x) + t ϱψ t ]t= dt 0 = ϱ ψ t 0 +d Questa proprietà dell equazione di guida è detta equivarianza. Nota L equazione (3), che definisce il campo di velocità, perde senso dove ϱ ψ (x) si annulla. t Tuttavia, come l equivarianza fa intuire e come si può dimostrare rigorosamente, una configurazione non può uscire dal supporto di ϱ ψ (e quindi di ψ t(x)). Nota Come già osservato, lo stato del sistema evolve in modo deterministico. Il carattere statistico delle previsioni della meccanica quantistica è "scaricato" nell assunzione sulla distribuzione iniziale delle configurazioni in un ensemble di sistemi in stati aventi in comune la funzione d onda. L equivarianza assicura che la relazione ϱ t (x) = ψ 2, che comporterà la coincidenza delle previsioni statistiche con quelle della formulazione standard, resti valida a tutti i tempi.
4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 4 LA MISURAZIONME NELLE MECCANICA BOHMIANA Abbiamo enunciato i principi fondamentali della meccanica bohmiana. Osserviamo che, coerentemente con il nostro programma, non abbiamo introdotto a livello dei principi il concetto di misurazione, a differenza di quanto è fatto nella formulazione standard che assume proprio a livello dei principi le proposizioni riguardanti i risultati e gli effetti delle misurazioni. Prima di poter confrontare le due formulazioni (e mostrare che le loro previsioni coincidono) dobbiamo costruire sulla base dei principi già enunciati la descrizione delle misurazioni nell ambito bohmiano.
4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 5 Il sistema particella+apparato+ambiente Discuteremo un esempio semplice ma significativo in quanto paradigmatico. Si esegue per mezzo di due rivelatori una misurazione dicotomica della posizione di una particella. Sia S la particella e A il complesso dei due rivelatori. Poiché il sistema A è macroscopico è impossibile isolarlo completamente dall ambiente circostante. Includiamo quindi nella descrizione l ambiente E, cioè consideriamo il sistema S + A + E. Per abbreviare le notazioni definiamo B = A + E; il sistema considerato è quindi S + B. La descrizione dello stato del sistema Sia x = posizione della particella S, y = configurazione di (posizione di tutte le particelle in) B. Secondo i principi della meccanica bohmiana lo stato del sistema (omettendo di indicare la dipendenza da t) è costituito dalla coppia { } (x, y), Ψ(x, y). La funzione d onda in generale sarà Ψ(x, y) = i c i ψ(x) β i (y). La variabile indicatrice La rivelazione della particella da parte dell uno o dell altro rivelatore corrisponde a una diversa configurazione delle particelle del sistema A dei due rivelatori. Pertanto un sottoinsieme z delle variabili y gioca il ruolo di variabile indicatrice del risultato della misurazione. Diciamo che i valori z = z 1 e z = z 2 corripondono rispettivamente alla rivelazione della particella da parte del primo e del secondo rivelatore.
4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 6 Lo stato prima della misurazione La misurazione viene eseguita su tutti gli elementi di un ensemble e, per tutti gli elementi di questo, la funzione d onda della particella S prima della misurazione sia ψ(x) = c 1 ψ 1 (x) + c 2 ψ 2 (x). Supponiamo che i due termini siano spazialmente separati e che l equazione di Schrödinger porti ψ 1 e ψ 2 a colpire rispettivamente il primo e il secondo rivelatore. IL PROBLEMA DELLA MISURAZIONE QUANTISTICA Sia x la posizione della particella in uno degli elementi dell ensemble. Pa La posizione x giace necessariamente nel supporto di ψ(x) e, con riferimento all ensemble, le probabilità che essa si trovi nei supporti di ψ 1 (x) e ψ 2 (x) sono rispettivamente c 1 2 e c 2 2. Siano y i e β i (y) la configurazione e la funzione d onda di B prima della misurazione. Il dispositivo e la situazione prima della misurazione, con riferimento a un singolo elemento dell ensemble, sono illustrati dalla figura seguente. (1) (1) c 1 ψ 1.. c 1 ψ 1 c 2 ψ 2 S.E.+G.E. c 2 ψ 2 (2) ψ(x) β i (y) c 1 ψ 1 (x)β f 1(y)+c 2 ψ 2 (x)β f 2( x y i z 1,... x (2) L assunzione che i due termini in ψ(x) siano spazialmente separati è stata fatta al solo scopo di rendere espressiva la figura e non gioca alcun ruolo nelle considerazioni che seguono. In generale ψ 1 (x) e ψ 2 (x) sono le parti (normalizzate) di ψ(x) che colpiscono rispettivamente i rivelatori 1 e 2.
4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 7 Una proprietà delle sovrapposizioni Prima di discutere l evoluzione della funzione d onda e della configurazione di un sistema è opportuno mostrare un importante proprietà delle sovrapposizioni di più funzioni d onda. Se ψ(x) = ψ 1 (x) + ψ 2 (x) e l evoluzione di Schrödinger tiene i due termini separati nello spazio delle configurazioni (supporti disgiunti) per un certo intervallo di tempo, allora in quell intervallo di tempo e quindi ϱ ψ = ϱψ 1(x) + ϱ ψ 2(x), j ψ t t = j ψ 1 + j ψ 2 (5) ϱ t (x) = ϱ 1t (x) + ϱ 2t (x), (6) = jψ 1 + j ψ 2 ψ ϱ ψ 1 + ϱ ψ 2 = j 1 ψ ϱ ψ 1 + ϱ ψ 2 + j 2 ϱ ψ 1 + ϱ ψ 2 V ψ = jψ 1 ϱ ψ 1 t (x) + j ψ 2 (x) = V ψ1 + V ψ 2 t ϱ ψ 2 t (x). Inoltre, secondo quanto abbiamo già notato, una configurazione non può evolvere attraversando i confini dei domini disgiunti. Domanda Che cosa occorre affinché due funzioni d onda di un sistema di molte particelle abbiano supporti disgiunti nello spazio delle configurazioni? Risposta Basta (quasi) niente.
4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 8 Evoluzione della funzione d onda Sia (7) ψ(x) = c 1 ψ 1 (x) + c 2 ψ 2 (x) la funzione d onda della particella S prima della misurazione e, come abbiamo già detto, l equazione di Schrödinger porti ψ 1 e ψ 2 a colpire rispettivamente il primo e il secondo rivelatore. L applicazione dell equazione di Schrödinger dia ψ 1 (x)β i (y) S.E. ψ 1 (x)β f 1(y), ψ 2 (x)β i (y) S.E. ψ 2 (x)β f 2(y) (abbiamo omesso di indicare esplicitamente l evoluzione temporale banale che porta ψ 1 e ψ 2 attraverso i rivelatori). Le funzioni d onda β1(y) f e β2(y) f sono fortemente piccate rispettivamente attorno ai valori z = z 1 e z = z 2. Se la funzione d onda di S prima della misurazione è data dalla (7) si ha quindi Ψ i (x) = ( c 1 ψ 1 (x) + c 2 ψ 2 (x) ) β i (y) S.E. Ψ f (x) = c 1 ψ 1 (x)β f 1(y) + c 2 ψ 2 (x)β f 2(y). La decoerenza I due termini in Ψ f sono disgiunti nello spazio delle configurazioni. È importante notare che ciò resta vero per sempre, anche a dispetto di eventuali nostri tentativi di far sovrapporre i due termini. Questo fatto, che è assicurato dalla inevitabile interazione del sistema macroscopico A con l ambiente E, è la caratteristica saliente assunta dalla decoerenza nella meccanica bohmiana. Pertanto, dopo la misurazione, vale inevitabilmente per l ensemble la scomposizione (5) ϱ t (x, y) = ϱ 1t (x, y) + ϱ 2t (x, y), cioè i due termini in Ψ f non potranno mai interferire. Nella formulazione standard, che include nella descrizione il solo sistema S, l impossibilità dell interferenza è conseguenza della riduzione.
4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 9 Evoluzione della configurazione Appena avviene l interazione di S con B, i due termini nella funzione d onda complessiva Ψ(x, y) hanno supporti disgiunti. Allora, indicando per un singolo elemento dell ensemble con x = x e y = y i la posizione di S e la configurazione di B prima della misurazione e con x = x e y = z f,... i loro rispettivi valori dopo la misurazione, IL PROBLEMA DELLA MISURAZIONE QUANTISTICA Pavia TMQ 601 l equazione di guida impone l evoluzione { x, y i } G.E. { x = x, z f = z 1,... se x giace entro ψ 1, x = x, z f = z 2,... se x giace entro ψ 1, dove x nei due casi giace rispettivamente entro ψ 1 e entro ψ 2. Il processo complessivo Se x giace entro ψ 1 l intero processo è illustrato dalla figura seguente. (1) (1) c 1 ψ 1.. c 1 ψ 1 c 2 ψ 2 S.E.+G.E. c 2 ψ 2 (2) ψ(x) β i (y) c 1 ψ 1 (x)β f 1(y)+c 2 ψ 2 (x)β f 2(y) x y i z 1,... x (2) Con riferimento all ensemble la probabilità che le cose si svolgano effettivamente come indicato è c 1 2 poiché questa è la probabilità che x giaccia entro ψ 1. Ciò è conseguenza dell assunzione sulla relazione tra distribuzione delle configurazioni e funzione d onda quando l ensemble è costruito assieme alla proprietà di equivarianza che assicura che la relazione resta vera nel tempo. Dunque le previsioni statistiche della meccanica bohmiana sono in accordo con quelle della formulazione standard.
4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 10 Il requisito di buon senso Lo stato finale di ogni sistema S + B dell ensemble considerato è costituito dalla funzione d onda finale Ψ f = c 1 Ψ1 f + c 2 Ψ2 f = c 1 ψ 1 (x)β1(y) f + c 2 ψ 2 (x)β2(y) f (la stessa per ogni elemento dell ensemble) e dalla configurazione x, z f,... (diversa per i diversi elementi). Il requisito di buon senso, ogni formulazione consistente della meccanica quantistica deve contenere elementi di descrizione del sistema che, a misurazione avvenuta, siano in corrispondenza con il risultato della misurazione, è soddistatto. Si può addirittura interpretare la configurazione come l elemento fondamentale di descrizione che specifica la situazione del sistema a un certo istante, mentre il ruolo della funzione d onda è solo quello di determinare, attraverso l equazione di guida, come evolve la configurazione. La funzione d onda finale, pur contenendo due termini macroscopicamente distinti, non è più inconcepibile, poiché le due situazioni finali (vivo e morto nell esempio del gatto) sono diversamente descritte dalla configurazione. La ripetizione della misurazione È ovvio che, per ciascun elemento dell ensemble, se la misurazione è ripetuta da un secondo apparato eventualmente contenuto in B, si ottiene un risultato corrispondente al primo. La sufficienza delle misurazioni di posizione Nel nostro esempio la grandezza misurata è la posizione della particella S. È chiaro che tutta la nostra discussione della misurazione considerata si basa sul ruolo privilegiato svolto nella meccanica bohmiana dalla configurazione e in particolare dalla posizione di S. Che cosa succede se misuriamo un altra grandezza? Ai fini della descrizione delle misurazioni, la meccanica bohmiana assume un ulteriore principio (detto della sufficienza delle misurazioni di posizione), cioè che qualsiasi misurazione si riduca a una misurazione di posizione (in generale a tempi differiti). Questa circostanza è di solito ammessa nell ambito di qualsiasi formulazione.
4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 11 La descrizione dei subensemble La condizione ϱ t (x, y) = Ψ t (x, y) 2 è soddisfatta per l ensemble originariamente considerato E dopo la misurazione così come lo era prima. Dopo la misurazione, diciamo al tempo t immediatamente successivo, possiamo dividere E nei due subensemble E 1 e E 2 sulla base del risultato 1 o 2 della misurazione. La funzione d onda, per tutti gli elementi di E, e quindi di E 1 e E 2, è (8) c 1 Ψ 1t (x, y) + c 2 Ψ 2t (x, y), dove i due termini sono e restano disgiunti. La distribuzione delle configurazioni per l ensemble E è, per ogni t, c 1 Ψ 1t (x, y) + c 2 Ψ 2t (x, y) 2 = c 1 2 Ψ 1t (x, y) 2 + c 2 2 Ψ 2t (x, y) 2, mentre per il subensemble E 1 è, al tempo t, (9) E 1(x, ϱ t y) = Ψ1 t(x, y) 2. Facendo uso della scomposizione (6), l equazione di guida per gli elementi di E è (10) d { } xt, y dt t = V Ψ 1 t (x, y) + V Ψ 2 t (x, y). Per gli elementi di E 1, poiché { x t, y t } giace nel supporto di Ψ1, l equazione (10) si può riscrivere (11) d { } xt, y dt t = V Ψ 1 t (x, y), e pertanto a tutti i tempi t t (12) ϱ t E 1(x, y) = Ψ1t (x, y) 2. Per gli elementi di E 1 si può usare l equazione di guida (10) o, ciò che è lo stesso, più semplicemente la (11). Per il subensemble E 1 ai fini delle previsioni statistiche dei risultati di ulteriori misurazioni, occorre tuttavia assumere la condizione iniziale (9) anche se la funzione d onda è per tutti gli elementi la (8). Discutiamo le implicazioni concettuali di questa assunzione che contrasta con la nostra assunzione originale (4).
4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 12 Discussione Le assunzioni sulla distribuzione delle configurazioni a un dato tempo in un dato ensemble non hanno nulla a che vedere con la dinamica fondamentale e servono solo allo scopo di fare previsioni statistiche sull ensemble. Tali assunzioni svolgono un ruolo simile alle assunzioni di un certo insieme statistico in meccanica statistica classica. Se un ensemble è messo assieme usando certe informazioni sulla configurazione, come è il caso per l ensemble E 1, è naturale e obbligatorio tenere conto di tali informazioni assumendo la distribuzione iniziale (9). Allora l accordo con la fenomenologia nota descritta dalla formulazione standard è assicurata dal fatto che la relazione (9) persiste valida nel tempo e la consistenza della teoria dal fatto che tale persistenza segue dall equazione di guida (10) costruita con la funzione d onda completa (8). Ovviamente è lecito, dopo il tempo t, usare la funzione d onda Ψ 1, oltre che per costruire la distribuzione delle configurazioni nell ensemble E 1, per determinare attraverso l equazione di guida la dinamica dei suoi elementi. Questa circostanza sostituisce nella meccanica bohmiana il principio di riduzione della formulazione standard. Concludendo, la regola per la distribuzione iniziale delle configurazioni in un ensemble può essere formulata assumendo che ϱ t0 (x) = ψ t0 (x) 2 se sappiamo che la funzione d onda di tutti gli elementi dell ensemble è o può essere assunta essere ψ t0 (x).
4 LA MECCANICA BOHMIANA 08/09 13 LA MECCANICA BOHMIANA E L EVOLUZIONE DELL UNIVERSO Dunque la nostra regola per l assunzione della distribuzione iniziale delle configurazioni in un ensemble è ϱ t0 (x) = ψ t0 (x) 2 se la funzione d onda di tutti gli elementi dell ensemble è o può essere assunta essere ψ t0 (x). Vediamo ora le cose da un altro punto di vista. Secondo le nostre assunzioni sulla dinamica fondamentale di qualunque sistema, l universo è caratterizzato da una certa condizione iniziale, composta da una funzione d onda iniziale e da una configurazione iniziale, che evolve in un modo determinato secondo l equazione di Schrödinger e l equazione di guida. Capita (sappiamo che capita) che dell universo facciano parte sottosistemi, che indichiamo solitamente come sperimentatori, la cui dinamica e la cui interazione con altri sottosistemi sono tali che questi ultimi abbiano le caratteristiche di ensemble i cui elementi sono descrivibili da una medesima funzione d onda. La meccanica bohmiana assume che la distribuzione in un ensemble della configurazione dei diversi elementi sia data dal modulo quadrato della funzione d onda comune. Nasce evidentemente un problema di consistenza. Poiché tutto consegue dai valori inziali della funzione d onda e dalla configurazione dell universo e dalla loro dinamica, l assunzione sulla distribuzione della configurazione nell ensemble deve in realtà potersi dedurre. Il problema ha i medesimi caratteri concettuali del problema di giustificare la composizione degli ensemble che si usano in meccanica statistica classica. Gli specialisti di meccanica bohmiana affermano che, se la funzione d onda e la configurazione iniziali dell universo ubbidiscono a una condizione di tipicità (peraltro non stringente), allora l assunzione sulla distribuzione negli ensemble può essere dimostrata.