1. Il -value Verifica di iotesi: arofondimenti Il test si uò effettuare: Determinando reventivamente le regioni di accettazione di H 0 e H 1 er lo stimatore considerato (sulla base del livello α e osservando a quale delle due aartiene la stima x ottenuta nel camione Calcolando il -value della stima x e confrontandolo con α. Che cos è il -value? È la robabilità sotto H 0 di ottenere un valore camionario iù lontano dall iotesi rinciale e iù vicino all alternativa di quello ottenuto effettivamente nel camione x Sia la forma della regione di rifiuto di H 0 sia il -value diendono dal tio di iotesi alternativa si considera: unilaterale destra, unilaterale sinistra, bilaterale. / µ 0 H accettata 0 0 H rifiutata H accettata 1 1 µ 0 / α H rifiutata I grafici recedenti si riferiscono a diversi test sul valore atteso di X. H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 oure H 1 : µ < µ 0 oure H 1 : µ µ 0 Il -value deve essere confrontato con il livello di significatività del test. Se è minore di α l iotesi rinciale è rifiutata. Esemi Consideriamo due test sul valore atteso di una variabile aleatoria X con distribuzione normale e varianza nota uguale a 4. Si utilizza come statistica test la variabile aleatoria X. Test unilaterale sinistro H 0 : µ = 10 H 1 : µ < 10 La regione di rifiuto dell iotesi rinciale è del tio (, c. Sulla base di 36 osservazioni camionarie si ottiene un valore camionario x = 9.4 Il -value è: ( 0 X < 9.4 ( X 10 /6 A livello di significatività del 5% si rifiuta l iotesi rinciale. Test bilaterale < 9.4 10 (Z < 1.8 = 3593 /6 H 0 : µ = 10 H 1 : µ 10 1
La regione di rifiuto dell iotesi rinciale è del tio (, c 1 (c,. Sulla base di 36 osservazioni camionarie si ottiene un valore camionario x = 10.4. La distanza, in valore assoluto, dall iotesi rinciale è: δ = 10.4 10 = 0.4. Il -value è: ( X 10 < 0.4 + P ( X 10 > 0.4 ( X 10 > 0.4 ( X 10 = P /6 < 0.4 /6 = P (Z < 1. = /0.507 = 0.3014 Alle soglie usuali di livello di significatività si accetta l iotesi rinciale.. La otenza di un test La otenza di un test è una funzione del arametro P (θ: è la robabilità di accettare l iotesi alternativa H 1. Indichiamo con Θ 0 l insieme a cui aartiene il arametro quando H 0 è vera e con Θ 1 l insieme a cui aartiene il arametro quando H 1 è vera. - Se θ Θ 1, P (θ è la robabilità di effettuare la scelta corretta: P (θ = 1 β(θ - Se θ Θ 0, P (θ è la robabilità di effettuare la scelta sbagliata: P (θ = α(θ Il grafico a fianco raresenta la otenza del test: β H 0 : µ 1 H 1 : µ > 1 0.5 1-α dove µ è il valore atteso di una v.a. con legge normale di varianza nota ari a. È evidenziato il valore della otenza e dell errore di seconda secie in corrisondenza del valore di µ uguale a 13.5. 1-β(13.5 α 1 13 14 iotesi alternativa H 1 15 La robabilità di accettare l iotesi alternativa, quando questa è vera, aumenta all aumentare della numerosità camionaria. Se nella oolazione è vera l iotesi alternativa e se i valori del arametro sotto H 1 e sotto H 0 sono molto vicini, solo con grandi camioni si riesce ad avere una robabilità alta di effettuare la scelta corretta. I grafici a fianco raresentano la otenza del test: H 0 : µ 1 H 1 : µ > 1 0.5 er due diverse numerosità camionarie. Ad esemio, in corrisondenza di un valore atteso µ uguale a 13.5 si ha: 1 13 1-β(13.5 14 15 P n1 (13.5 0.70 e P n (13.5 0.95 con n 1 < n iotesi alternativa H 1 Confrontiamo ora la otenza di due test sul valore atteso di una v.a. con legge normale di varianza nota ari a, uno unilaterale e uno bilaterale.
I grafici a fianco raresentano la otenza dei due test: H 0 : µ 1 H 1 : µ > 1 a linea tratteggiata e H 0 : µ 1 H 1 : µ 1 a linea continua. 0.8 0.6 0.4 0. Osserviamo che il test unilaterale è iù otente (ma non di molto nell insieme (1, +, mentre quello bilaterale è molto iù otente nell insieme (, 1. 3. Determinazione della numerosità camionaria fissati α e β Consideriamo un test sul valore atteso di una variabile con legge normale di varianza nota σ del tio: H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ = µ 1 Vogliamo determinare la numerosità camionaria che assicura determinate robabilità di errore di rima e seconda secie. Indicando con s la soglia della regione di rifiuto di H 0, se µ 1 > µ 0 si ha: α ( ( X µ0 X > s µ = µ 0 σ/ n > s µ 0 σ/ n β ( ( X µ1 X < s µ = µ 1 σ/ n < s µ 1 σ/ n Dalle due equazioni: si ottiene: s µ 0 σ/ n = z α e n = (z α + z β σ (µ 0 µ 1 s µ 1 σ/ n = z β 10 ( X µ0 σ/ n > z α ( X µ1 σ/ n < z β e questo vale anche nel caso µ 1 < µ 0. Osserviamo che la numerosità camionaria deve essere tanto maggiore quanto iù: - è minore la distanza fra i valori attesi sotto le due iotesi; - è maggiore la varianza; - sono minori i due errori (e quindi z α e z β maggiori. 1 13 14 4. Test di uguaglianza delle medie di due v.a. Normali sulla stessa oolazione Consideriamo le variabili casuali X 1 e X definite su una stessa oolazione con distribuzione normale risettivamente N (µ 1, σ 1 e N (µ, σ. Si vuole verificare se i valori attesi delle due variabili sono uguali. 3
Essendo X 1 e X definite sulla stessa oolazione, si uò considerare la variabile aleatoria D, differenza fra X 1 e X su ogni elemento della oolazione: D(ω i = X 1 (ω i X (ω i Tale variabile aleatoria ha distribuzione normale N (µ D, σ D ; il valore atteso è µ 1 µ e la varianza è σ 1 + σ Cov(X 1, X, in genere sconosciuta. Il test sull uguaglianza dei valori attesi di X 1 e X si riconduce al test sulla nullità del valore atteso di D, che viene effettuato tramite la quantità ivotale: D µ D S D / n Esemio L effetto di due sonniferi A e B è stato rovato nei riguardi di uno stesso gruo di 10 ersone sofferenti d insonnia. Nella tabella sono riortate, indicandole con x A e x B le variazioni nelle ore di sonno rovocate in ciascun aziente dalla somministrazione del sonnifero A e del sonnifero B. Si assume che le variazioni di ore di sonno siano modellabili con variabili aleatorie normali. Si vuole verificare l iotesi che i due sonniferi abbiano uguale efficacia. Nell ultima colonna è riortata la differenza fra x A e x B. az. x A x B d 1 1.9 0.7 1. 0.8-1.6.4 3 1.1-0. 1.3 4 0.1-1. 1.3 5-0.1-0.1 6 4.4 3.4 7 5.5 3.7 1.8 8 1.6 0.8 0.8 9 4.6 4.6 10 3.4.0 1.4 La media camionaria di D è 1.58 e la varianza camionaria è 1.513, quindi la realizzazione camionaria della quantità ivotale sotto l iotesi di uguaglianza dell effetto dei 1.58 sonniferi vale: = 4.06 er cui viene rifiutata l iotesi di uguaglianza dell effetto. 0.389 5. Test di uguaglianza delle varianze di due v.a. Normali Consideriamo le variabili casuali X 1 e X indiendenti con distribuzione normale risettivamente N (µ 1, σ 1 e N (µ, σ. Si vuole verificare, sulla base di informazioni tratte da due camioni di X 1 e X, se le varianze delle due variabili sono uguali. Più recisamente le iotesi del test sono: H 0 : σ 1 = σ e H 1 : σ 1 σ Indichiamo risettivamente con n 1 e n le numerosità dei due camioni di X 1 e X. Consideriamo le variabili casuali S 1 e S, varianze camionarie di X 1 e X. Si ha: S 1(n 1 1 σ 1 χ [n 1 1] e S (n 1 σ χ [n 1] Inoltre tali variabili sono indiendenti, essendo X 1 e X indiendenti e così S 1 e S. Ricordiamo che il raorto di due variabili aleatorie indiendenti, ciascuna con legge chi-quadro divise er i loro gradi di libertà è una variabile aleatoria con legge F di Fisher. Consideriamo la quantità ivotale: S1 S σ σ1 4
Se H 0 è vera, la statistica F : F = S 1 S ha legge F [n1 1,n 1]. Il test è bilaterale e la regione di rifiuto dell iotesi rinciale è: [0, c 1 ] [c, + con α 1 (F < c 1, α (F > c e α 1 + α = α Per un test unilaterale del tio: H 0 : σ 1 = σ e H 1 : σ 1 > σ allora la regione di rifiuto dell iotesi rinciale è: [c, + con α (F > c e simmetricamente er un test unilaterale sinistro. Determinazione dei quantili sinistri di una v.a. di Fisher Le tavole della legge di Fisher tiicamente forniscono i valori dei quantili destri, cioè ermettono di determinare, er α fissato (al 5% e all 1%, il valore di c tale che α (F > c Se F F [n1 1,n 1] allora: ( 1 α (F > c F < 1 c con 1 F F [n 1,n 1 1] quindi sulle tavole si legge il valore 1/c e si calcola c. 6. Confronto fra intervalli di confidenza e test Si ha: Consideriamo una variabile aleatoria X di valore atteso µ. Indichiamo con: - k B = z α σ n semi amiezza dell intervallo di confidenza bilaterale - k U = z α σ n Tio Intervallo di confidenza Regione di accettazione di H 0 bilaterale (x k B, x + k B (µ 0 k B, µ 0 + k B unilaterale destro (, x + k U (, µ 0 + k U unilaterale sinistro (x k U, + (µ 0 k U, + Osserviamo che l intervallo di confidenza er µ diende da x, mentre la regione di accettazione di H 0 diende da µ 0. 5