Stima dllo spttro I molt applicazioi si è itrssati al calcolo dllo spttro di u sgal campioato: spttro di dsità di rgia o; spttro di dsità di potza. La FFT può ssr utilizzata a qusto scopo. Occorr cosidrar sparatamt i du casi. I caso: squza di durata fiita x() di lughzza. La FFT forisc campioi quispaziati sul crchio uitario dlla corrispodt DTFT. Pr avr u campioamto più fitto dlla DTFT basta utilizzar lo zro paddig. II caso: squza di durata ifiita x() molto luga o di cui si coosc solo ua part, com accad lla raltà. La DTFT o si può applicar dirttamt, si può applicar la DFT. M. Usai Circuiti digitali 7_3
La misura dl lakag è fatta attravro il paramtro A s dfiito com: Ampizza lobo pricipal A s Ampizza lobo latral co picco più alto La misura dlla risoluzio è data dalla: Larghzza dl lobo pricipal M. Usai Circuiti digitali 7_3
Pr risolvr qusto problma si troca la squza di lughzza ifiita x() alla lughzza, mdiat ua fistra (). Com stima dlla DTFT di x(), si assum la DFT dlla squza ~ x ( ), ottuta moltiplicado la squza x() pr (): ~ x( ) x( ) ( ), co: w R ( ) 0 0 pr pr < 0,,..., 0 > M. Usai Circuiti digitali 7_3 3
La stima dllo spttro X( ) di u sgal x() (stazioario, dtrmiistico, di lughzza o ota) mdiat la DFT, a partir dalla cooscza di campioi dl sgal, po problmi lgati a:. risoluzio : la distaza i frquza miima affiché siusoidi possao ssr apprzzat com distit. Essa dipd da (ivrsamt proporzioal) dal tipo di fistra;. lakag : la prsza di lobi latrali ad ogi riga spttral ch itragiscoo distorcoo lo spttro. Dipd solo dal tipo di fistra o da ; 3. graulosità : l'fftto dl campioamto i frquza dovuto alla DFT. Si può ridurr co lo zro paddig aumtado prò il costo computazioal. Dipd dalla lughzza dlla DFT può dar problmi pr la localizzazio di picchi particolari; 4. prcisio fiita : provoca la prsza di "rumor" llo spttro. Dipd dall oprazioi matmatich dalla prcisio di valori umrici adottata. M. Usai Circuiti digitali 7_3 4
7.3 Fistr usat pr l aalisi spttrali Si è già samiata la fistra di tipo rttagolar ora sarao samiat mss a cofroto altr fistr utilizzabili ll aalisi spttrali. La DFT dlla fistra rttagolar ha com svataggio maggior ch il picco dl lobo latral di W R () i (7..5) é al di sotto di soli 3 db dal livllo dl lobo pricipal com mostrato i figura 7.6, mtr i lobi latrali succssivi dcrscoo di 6 db/ottava. Figura 7.6 Modulo dlla trasformata dlla trasformata fistra rttagolar W R (), ch mostra il picco dl lobo latral pricipal di 3 db ua pdza di 6 db /ottava Ciò limita svramt la capacità dlla DFT di risolvr u sgal dbol i prsza di uo più fort a causa dl lakag. M. Usai Circuiti digitali 7_3 5
M. Usai Circuiti digitali 7_3 6 La trasformata dll oda rttagolar > < 0 pr 0 0,,..., pr R () ( ) + + + + + + si si si ) ( 0 c W
La pdza di -6 db/ottava è vrificabil facilmt lla trasformata di R () ch è: R () 0 pr pr < 0,,..., 0 > W ( ) ssdo z W(z) 0 -z - -z ( + ) - ( + ) ( 7. 3. ) Qusta trasformata ha + zri uiformmt spaziati itoro al crchio uitario u polo pr z (ch aulla l fftto dllo zro a z ). Essa prsta u lobo pricipal i corrispodza di 0 da luogo a ua caduta di 6 db/ottava. La figura 7.5 forisc u smpio dll fftto di qusta fistra su uo spttro a bada strtta (arrowbad). M. Usai Circuiti digitali 7_3 7
L du fuzioi più comui di widow dlla aalisi spttral migliorao qusti svataggi dlla fistra rttagolar i modi diffrti com sgu:. Il coso traslato vrso l alto (raisd) o fistra di Haig, () ha ua dimiuzio dlla vlocità di 8 db/ottava u livllo dl picco dl lobo latral di 3dB.. La fistra di Hammig M () riduc il livllo dl picco dl lobo latral a 4dB, ma la vlocità di caduta è di soli 6 db pr ottava, com pr la fistra rttagolar. (La similitudi di omi è ua coicidza o fortuata, ma usar l lttr M com pdici, aiutrà a distigurl). M. Usai Circuiti digitali 7_3 8
L fuzioi fistrat (widowd) soo ottut moltiplicado x() pr la fistra prcdt, prima dl calcolo dlla DFT pr ottr: ~ ( ) w k 0 X ( ) x( ) W k, k 0,,...,, (7.3.) dov W π / pr costir lo zro-paddig (s > ). Quidi la DFT forisc campioi dllo spttro covoluto: X () W ()/π. M. Usai Circuiti digitali 7_3 9
Haig widow L Haig widow cosist i ua fuzio coso traslato vrso l alto (raisd) o la fuzio so al quadrato: π π w ( ) cos si, 0,,...,, (7.3.3) mostrata com ua fuzio cotiua i figura 7.7 risptto alla qual dvoo ssr cosidrat l altr fuzioi widow. Figura 7.7 Fuzioi widow Hammig (M), Haig(), Blackma(B), la fuzio fistrata co 30 db/ottava Si oti ch ssa td dolcmt (ltamt) a zro i ciascu strmo prsta u valor di picco pari all uità l puto mdio. M. Usai Circuiti digitali 7_3 0
Poiché i campioi fiali (0) () soo uguali a zro, qusta fistra i raltà prsta ua lughzza di soli -, quidi l su trasformat z hao zri, o com pr W R (z). Qusti du zri macati soo stati aullati dai du poli addizioali, ai quali è dovuta la vlocità di caduta di 8dB/ottava. I particolar il umrator di W (z) è dlla forma: (-z -(-) ) (+z - ), i tr zri più vicii a z soo aullati dai poli. M. Usai Circuiti digitali 7_3
La trasformata di ampizza risultat pr la fistra di Haig è tracciata i figura 7.8. Figur 7.8 Modulo dlla trasformata dlla fistra di Haig, ch mostra il picco latral pricipal a 3 db ua pdza di 8 db/ottava. Si oti ch la vlocità di caduta di 8 db/ottava, il picco dl lobo latral a -3dB, si oti ach l fftto dllo zro i più alla frquza di yquist (z -). Ioltr la larghzza dl lobo pricipal è approssimativamt ugual a du volt qulla dlla trasformata dlla fistra rttagolar i figura 7.6. Prciò, il miglioramto dlla caduta è limitato dalla risoluzio spttral. La fistra di Haig è probabilmt la fuzio di widow più utilizzata lla aalisi spttral pr la sua lvata vlocità di caduta 8dB/ottava. M. Usai Circuiti digitali 7_3
U altro vataggio dlla fistra di Haig è ch s si applica dopo avr fatto la DFT, o prima, ssa limia l moltiplicazioi pr (). Cioè, la DFT widowd può ssr valutata attravrso ua uwidowd: ~ X w ( k) ~ ~ ~ X ( k ) + X ( k) X ( k 4 4 + ), qusti cofficiti comportao soltato traslazioi biari (biary shifts), o moltiplicazioi itr. Qusta implmtazio dlla widowig di Haig l domiio dlla frquza attualmt corrispod alla dfiizio lggrmt diffrt dlla fuzio di widow: π ) cos, w ( 0,,..., -, M. Usai Circuiti digitali 7_3 3
La fistra di Hammig La fistra di Hammig è stata progttata pr miimizzar il livllo dl lobo latral, mtr mati approssimativamt la stssa larghzza dl lobo pricipal com la fistra di Haig. Qusta fistra è dfiita da: wm π ( ) 0.54 0.46 cos, 0,,...,. (7.3.4) Il valor ctral è acora pari all uità, ma i valori fiali tdoo ad 0.08, divrso da zro. Quidi qusta fistra è full lgth ( lughzza pia ), la sua trasformata ha - zri. Figura 7.9 Modulo dlla trasformata dlla fistra di Haig WM (), ch mostra u picco dl lobo pricipal latral di 4dB ua pdza di 6 db /ottava M. Usai Circuiti digitali 7_3 4
Malgrado ciò cacllado gli zri da trambi lati pr z sul crchio uitario com co la fistra di Haig, la fistra di Hammig è stata progttata pr spostar qusti zri i prossimità dl primo lobo latral pr miimizzar il suo livllo com mostrato i figura 7.9. Com risultato, il lobo latral di picco è il trzo lobo latral, o il primo il livllo è ridotto di 0 db pr il caso Haig a 4 db. Comuqu poiché si soo smplicmt spostati qusti zri, o cacllati co i poli, la vlocità di caduta è prodotta solamt da u polo pr z d è così di soli 6 db/ottava. La larghzza di bada è circa la stssa pr tramb l fistr. Poiché tramb hao circa la stssa larghzza di lobo pricipal ( volt qulla dlla fistra rttagolar), la diffrza tra la fistra di Haig di Hammig è ch: la Hammig ha u lakag più piccolo i primi du lobi adiacti al lobo pricipal mtr Haig ha u lakag più piccolo ovuqu a causa dlla caduta di 8 db/ottava. M. Usai Circuiti digitali 7_3 5
Quidi ll aalisi spttral è da prfrir la fistra di Haig. Ma com vrrà mostrato l capitolo 9, quado si vuol far l aalisi spttral l progtto di filtri FIR, acquista maggior importaza il livllo di picco basso dl lobo latral dlla fistra di Hammig. Blackma widow L proprità rlativ all fistr Haig Hammig soo combiat lla Blackma widow, data da: π 4π w B ( ) 0.4 0.5 cos + 0.08 cos, 0,,...,. (7.3.5) Si oti ch il valor ctral è uitario i fiali tdoo a zro com la fistra di Haig. Quidi du dgli zri di trambi i lati pr z soo stati cacllati dai poli pr ottr ua caduta più ripida di 8dB/ottava. Più di du zri soo stati spostati i prossimità dl primo lobo latral, com l caso dlla Hammig, pr ridurr il suo livllo. Il risultato è tracciato i fig.7.0. M. Usai Circuiti digitali 7_3 6
Figura 7.0 Modulo dlla trasformata dlla fistra di Blackma, ch mostra u picco pricipal latral a 57dB ua pdza di 8 db /ottava. Si oti la vlocità di caduta, il picco dl lobo latral di 57dB, l fftto dllo zro xtra i z -. Si oti ach ch la larghzza dl lobo pricipal è ora 3 volt qulla dlla fistra rttagolar, o 50% più grad dlla fistra di Haig Hammig. Duqu, l uso di qusta fistra sacrifica la risoluzio di spttro pr guadagar ua attuazio addizioal. M. Usai Circuiti digitali 7_3 7