Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 20/10/201 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Se supponiamo che tutte le ( 2 mani di poker siano equiprobabili, qual é la probabilitá che venga servito: a Un colore? (una mano si definisce un colore se tutte e le carte hanno lo stesso seme. b una coppia? (questo capiterá quando le carte saranno a,a,b,c,d, con a,b,c,d distinte tra loro c un tris? (questo capiterá quando le carte saranno a,a,a,b,c, con a,b,c distinte tra loro d un pocker? (questo capiterá quando le carte saranno a,a,a,a,b, con a,b distinte tra loro N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati Soluzione: Nel caso considerato come si evince dal testo la probabilitá degli eventi puó essere calcolata utilizzando la formula cosi favorevoli su casi possibili a P (A = 4( 13 ( 2 fissato uno dei 4 colori si hanno ( 13 modi diversi di scegliere carte dallo stesso colore. b P (A = 13( 4 2( 12 4 3 ( 3 2 fisato un numero da 1 a 13 ho ( 4 2 modi di estrarre due carte con lo stesso numero, per ognuna di queste scelte posso scegliere tra i 12 numeri restanti 3 numeri diversi in ( 12 3 modi e ciascuno di loro con 4 3 combinazioni diverse di semi. c con raginamento analogo al punto b d con ragionamento analogo al punto b P (A = 13( 4 3( 12 4 2 ( 2 2 P (A = 13( 4 4 ( 12 1 ( 2 4 1 13 12 4 = ( 2 1
2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 20/10/201 Esercizio 2 Sia (X, Y una coppia di variabili casuali con funzione densitá di probabilitá { c(y x 0 < x < 2, 2 < y < 4 f X,Y (x, y = 0 altrove a Determinare il valore della costante c. b Determinare x 0 tale che P (X < x 0 = 1/2. c Stabilire se X e Y sono indipendenti. N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati Soluzione: a Nel dominio di definizione la f.d.p. é positiva essendo y > x e quindi resta da imporre c > 0, inoltre deve valere la seguente proprietá b + + f (X,Y (x, ydxdy = c 2 0 dx 4 valutiamo prima la funzione densitá marginale della X { 1 4 f X (x = 8 (y xdy 0 < x < 2 2 = 0 altrove ed imponiamo poi la seguente uguaglianza P (X < x 0 = 1 4 x0 0 2 (y xdy =... = c8 = 1 c = 1/8 { (3 x/4 0 < x < 2 0 altrove (3 xdx =... = 3x 0 4 x2 0 8 = 1 2 x 2 0 6x 0 + 4 = 0 delle due soluzioni reali dell equazione di secondo grado l unica accettabile é x 0 = 3 perché si trova nel dominio di esistenza della variabile casuale X. c Ricaviamo la funzione densitá di probabilitá marginale della Y { 1 2 { f Y (y = 8 (y xdx 2 < y < 4 0 (y 1/4 2 < y < 4 = 0 altrove 0 altrove e verifichiamo che non vale l indipendenza essendo f (X,Y (x, y f X (xf Y (y, x, y
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 20/10/201 3 Esercizio 3 La variabile casuale che descrive la generica misurazione eseguita da uno strumento ha distribuzione normale di media µ (la misura vera della grandezza e deviazione standard σ = 0.1. Con lo strumento appena descritto di eseguono 20 misurazioni {x i } i=1,...,20 della stessa grandezza per le quali vengono forniti i seguenti due valori 20 i=1 x i = 60.11 e 20 i=1 x2 i = 180.8. a determinare una stima di µ. b determinare un intervallo di confidenza per µ al 9%. c stabilire la precisone della stima ottenuta al punto precedente. d stabilire quante altre misurazioni sono necessarie per poter dimezzare la precisone della stima mantenedo la confidenza al 9%. N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati Soluzione: Notiamo che il dato 20 i=1 x2 i é superfluo conoscendo giá la varianza non avremo bisogno di stimarla. a Una stima della media della popolazione (cioé la misura vera della grandezza é data dalla media campionara X = 3.00 b Si applica la formula per l intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza nota, prendendo dalla tavola fornita il valore di z α/2 = z 0.2 = 1.96 c [ x z α/2 σ n, x z α/2 σ n ] = [2.9616, 3.0493] per precisione della stima si intende l ampiezza dell intervallo di confidenza ottenuto : d 2z α/2 σ n = 3.0493 2.9616 = 0.0877 per dimezzare la precisone della stima mantenedo la confidenza invariata al 9% dovremmo imporre: σ σ 2z α/2 n < z α/2 n > 80 20 bisogna dunque quadruplicare il numero delle misurazioni per dimezzare l ampiezza dell intervallo di confidenza.
4 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 20/10/201 Domanda 1 Si enuncino gli assiomi della probabilitá.
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 20/10/201 Domanda 2 Si discuta il concetto di covarianza tra due variabili casuali.
6 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 20/10/201 Domanda 3 Si definisca un test di ipotesi e si enunci la differenza tra errore di primo tipo e di secondo tipo.