AREE QUADRATO Area = lato * lato lato = Area Area = diagonale * diagonale diagonale = Area : 2 2 RETTANGOLO Area = base * altezza base = area : altezza altezza = area : base TRIANGOLO Area = base * altezza 2 base = area * 2 : altezza altezza = area * 2 : base ROMBO Area = diagonale magg. * diagonale min. 2 Diagonale magg. = Area * 2 : diagonale min. Diagonale min. = Area * 2 : diagonale magg. FORMULARIO DI MATEMATICA 1
PARALLELOGRAMMA Area = base * altezza base = area : altezza altezza = area : base TRAPEZIO Area = ( base magg. + base min. ) * altezza : 2 Somma basi = area * 2 : altezza Altezza = area * 2 : somma basi POLIGONI REGOLARI Area = perimetro x apotema : 2 Area = lato 2 * numero fisso (φ) Apotema = lato * numero fisso (n) CERCHIO Perimetro (circonferenza) = 2 * raggio * π Raggio = circonferenza : 2 : π Area ( cerchio) = raggio 2 * π Raggio = Area : π FORMULARIO DI MATEMATICA 2
TEOREMA di PITAGORA Lati dell angolo retto = CATETI Lato opposto all angolo retto = IPOTENUSA Cateto min. 2 + Cateto magg. 2 = ipotenusa 2 cateto magg. 2 = ipotenusa 2 - Cateto min. 2 APPLICAZIONI RETTANGOLO TRAPEZIO QUADRATO ROMBO FORMULARIO DI MATEMATICA 3
CIRCONFERENZA E CERCHIO PARTI CIRCONFERENZA = perimetro, linea curva chiusa, i suoi punti sono equidistanti dal centro. ARCO = parte di circonferenza CORDA = segmento che unisce due punti della circonferenza CERCHIO = superficie racchiusa dalla circonferenza SETTORE CIRCOLARE = parte di cerchio compresa tra due raggi FORMULARIO DI MATEMATICA 4
FRAZIONI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE - calcola il minimo comune multiplo tra i denominatori, è il nuovo denominatore della frazione e non verrà più modificato 3 + 5-2 = m.c.m. tra 5,2,4 = 20 5 2 4 - dividi l mcm per ogni denominatore e moltiplica per ogni numeratore (20 : 5 * 3) + (20 : 2 * 5 ) - ( 20 : 4 * 2 ) = 20 - esegui i calcoli nelle parentesi 12 + 50-10 = 20 - esegui i calcoli a numeratore ed ottieni il risultato 52 20 MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE Per moltiplicare due frazioni tra loro basta moltiplicare tra loro separatamente il numeratore ed il denominatore 4 * 6 = 24 5 7 35 La divisione di frazioni si trasforma in moltiplicazione invertendo la seconda frazione (il divisore) 3 : 5 = 3 * 6 = 18 4 6 4 5 20 FORMULARIO DI MATEMATICA 5
ELEVAMENTO A POTENZA Per elevare a potenza una frazione basta elevare separatamente il numeratore ed il denominatore. Esempio 3 3 = 3*3*3 = 27 2 2*2*2 8 ADDIZIONE E SOTTRAZIONE NUMERI RELATIVI Stesso segno ripeto il segno e sommo i valori assoluti Esempio + 5 + 6 = +11-7 - 8 = - 15 Segno diverso ripeto il segno del valore assoluto maggiore, sottraggo i valori assoluti Esempio + 15 4 = + 11 + 7-19 = - 12 MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE REGOLA DEI SEGNI: + per + = + + per - = - FORMULARIO DI MATEMATICA 6
- per - = + identica per la divisione POTENZA + elevato ad esponente PARI o ad esponente DISPARI dà sempre + - elevato ad esponente PARI dà sempre + - elevato ad esponente DISPARI dà sempre - ADDIZIONE E SOTTRAZIONE MONOMI Si sommano e sottraggono soltanto monomi SIMILI stessa parte letterale. Si sommano e sottraggono soltanto i coefficienti numerici, le lettere si trascrivono così come sono. 3ab + 5ab 2ab = 6ab 2ab + 5 b 2 2 b 2-6 b 2 +12 ab = 14 ab -3 b 2 MOLTIPLICAZIONE Si possono moltiplicare tra loro tutti i tipi di monomi. Si moltiplica normalmente la parte numerica, si sommano gli esponenti della parte letterale. 3ab 2 * 5a 2 b 3 c = 15a 3 b 5 c DIVISIONE Si possono dividere tra loro tutti i tipi di monomi. FORMULARIO DI MATEMATICA 7
Si divide normalmente la parte numerica, si sottraggono gli esponenti della parte letterale. 15a 2 b 4 c : 3ab 2 = 5ab 2 c POTENZA Si possono elevare tutti i tipi di monomi. Si eleva normalmente la parte numerica, si moltiplicano gli esponenti della parte letterale. ( 5a 2 b 4 c ) 3 = 125 a 6 b 12 c 3 ADDIZIONE E SOTTRAZIONE POLINOMI Per sommare o sottrarre due polinomi basta togliere le parentesi con la regola dei segni ( + lascia tutto invariato, - cambia tutti i segni interni) e sommare algebricamente tutti i monomi simili. MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE a.di un polinomio per un monomio Esempio = -6 x 2 y 8 x y 2 + 10 x 2 y 2 sommo gli esponenti di ciascuna lettera ( 10 x 4 y 6-15 x 3 y 5-20 x 5 y 2 ) : ( - 5 x 2 y 2 ) = 2x 2 y 4-5 x y 3-4 x 3 sottraggo gli esponenti di ciascuna lettera la parte numerica segue le regole dei numeri relativi. b.di un polinomio per un polinomio Immaginiamo di avere il seguente polinomio FORMULARIO DI MATEMATICA 8
Il prodotto si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio. Così Iniziamo, quindi, col moltiplicare 3a per a. Avremo: Passiamo poi a moltiplicare 3a per -3b. Avremo: Quindi passiamo a moltiplicare +2b per -a. Avremo: Infine moltiplichiamo +2b per -3b. Avremo: Quindi il prodotto da noi ottenuto è: 3a 2-9ab + 2ab -6b 2. FORMULARIO DI MATEMATICA 9
Sommando i termini simili abbiamo come risultato finale 3a 2-7ab -6b 2. PRODOTTI NOTEVOLI 1. SOMMA PER DIFFERENZA ( a + b ) * ( a - b ) = a 2 b 2 è una moltiplicazione abbreviata 2. QUADRATO DEL BINOMIO ( a + b ) 2 = a 2 + 2*a*b + b 2 cioè: primo monomio alla seconda prodotto dei due monomi raddoppiato secondo monomio alla seconda 3. CUBO DEL BINOMIO ( a + b ) 3 = a 3 + 3*a 2 * b + 3 * a * b 2 + b 3 Cioè: -primo monomio alla terza -prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo moltiplicato poi per tre - prodotto del quadrato del secondo monomio per il primo moltiplicato poi per tre - secondo monomio alla terza EQUAZIONI Procedimento: 1. eseguire tutti i calcoli a destra e sinistra dell uguale 2. spostare i monomi con la X a sinistra dell uguale ed i termini senza X a destra, CAMBIANDO IL SEGNO 3. eseguire gli ultimi calcoli 4. dividere per il numero che moltiplica X a desta e a sinistra FORMULARIO DI MATEMATICA 10
5. ricordarsi che l equazione è come una bilancia che deve essere sempre mantenuta in equilibrio Esempio: 2(X+4) 5 = 5(X-2) + 3(X+1) eseguo i calcoli 2X + 8 = 5X 10 +3X +3 sposto i monomi cambiando il segno 2X 5X 3X = -8-10 +3 eseguo gli ultimi calcoli -6X = -15 divido per -6 a destra ed a sinistra e resta x = -15 / -6 = 5 / 2 CUBO l sup. lat. = l 2 * 4 l = sup.lat : 4 sup. tot. = l 2 * 6 l = sup.tot : 6 volume = l 3 l = 3 volume diagonale = l * 1,7 l = diag. : 1,7 PARALLELEPIPEDO c a b FORMULARIO DI MATEMATICA 11
sup. lat. = a*c*2 + b*c*2 oppure sup. lat. = 2p base* c 2p base = sup. lat. : c c = sup. lat. : 2p base sup. tot. = a*c*2 + b*c*2 + a*b*2 volume = a*b*c a = vol : b*c etc diagonale = a 2 + b 2 + c 2 PRISMA Solido che ha le seguenti caratteristiche: ha due basi a forma di poligoni congruenti e poste su due piani paralleli. Possono essere retti ed obliqui. Sup. Laterale = per. base * altezza per. base = Sup. Lat : altezza altezza = Sup. Lat : per. base Sup.Totale = Sup. Lat + Area base *2 Volume = Area base * altezza altezza = Vol : Area base FORMULARIO DI MATEMATICA 12
Area base = Vol : altezza Le stesse formule valgono anche per il cilindro, ricordando che la forma della base è un cerchio. PIRAMIDE La piramide retta ha per base un poligono regolare e l altezza è perpendicolare nel centro della circonferenza di base. La superficie laterale è formata da tanti triangoli uguali tra loro ed il loro numero è pari al numero dei lati di base. L altezza di ciascun triangolo è l apotema VK della piramide quindi la formula della superficie laterale è data da Sup. Laterale = area di un triangolo * n lati base Sup. Late. = apotema * lato base * lati base 2 Sup. Late = perimetro base * apotema 2 Perim. Base = 2* sup. Lat. Apot.= 2* sup. Lat. 2 2 Per il volume si paragona la piramide ad un prisma con la stessa base e la stessa altezza. Sperimentalmente si dimostra che la piramide equivale ad un terzo del prisma per cui Volume = Area base * altezza Altezza = Volume * 3 3 area base Area base = Volume * 3 Altezza FORMULARIO DI MATEMATICA 13
Le stesse formule valgono anche per il cono retto, ricordando che la forma della base è un cerchio. FORMULARIO DI MATEMATICA 14