DISPENSA DI ANALISI MATEMATICA I -Parte I - Paola Loreti

DISPENSA DI ANALISI MATEMATICA I -Parte I - Paola Loreti Dipartimeto di Scieze di Base, e Applicate per l Igegeria, Via Scarpa.6, 006 Roma, Italy

. Itroduzioe Questa dispesa ha come protagoista il umero e. Pur o tralasciado gli argometi di base, si è cercato di utilizzare gli argometi svolti per mettere i luce le molte proprietà del umero e. Abbiamo fializzato le ostre coosceze via via maggiori per cogliere aspetti di questo umero. Durate il percorso, abbiamo studiato la formula matematica e iπ + = 0, ota come l idetità di Eulero. L Idetità di Eulero è cosiderata la più bella formula della matematica. I questa formula iteragiscoo i modo cociso e o baale l uguagliaza, la moltiplicazioe, l addizioe, il umero elemeto eutro della moltiplicazioe), il umero 0 elemeto eutro della somma), π rapporto tra la circofereza e il diametro di u cerchio), e base aturale dei logaritmi, il umero complesso i uità immagiaria i 2 = ), Per fare ciò studieremo, oltre al umero e le operazioi i R e i C, i umeri 0, e i, il umero π. Il umero e è la base dei logaritmi aturali, trovati da Joh Napier. e 2.7828828459045235360287473527... La lettera greca π, che sta ad idicare la prima lettera greca della parola periphèria circofereza) è usata per rappresetare il umero π. Il suo studio parte dall atichità, il primo acceo alla rettificazioe della circofereza si trova addirittura ella Bibbia. Il problema della quadratura del cerchio si ritrova el Papyrus Rhid, attribuito ad Ahmose circa 2000 a.c., Egitto), i cui vegoo idividuate due cifre corrette, per arrivare all opera di Archimede Misura del cerchio i cui viee forita u approssimazioe per difetto e per eccesso, cosetedo quidi ua precisioe accurata del calcolo di π. Dopo il lavoro di Archimede altre scoperte sul umero π soo dovute a J. H. Lambert che prova el 768 l irrazioalità di π, e a F. vo Lidema che el 882 e dimostra la trascedeza.

2. LE PROPRIETÀ ALGEBRICHE DEI NUMERI REALI iii 2. Le proprietà algebriche dei umeri reali Si idica co R l isieme dei umeri reali. I R soo defiite le operazioi di Addizioe e Moltiplicazioe ed ua relazioe d ordie totale miore o uguale) co le segueti proprietà ) Per ogi coppia di umeri reali a, b si ha a + b = b + a proprietà commutativa dell Addizioe) 2) Per ogi a, b, c R si ha a + b + c) = a + b) + c proprietà associativa dell Addizioe) 3) Esiste ed è uico l elemeto 0 zero) tale che per ogi a R si ha 0 + a = a + 0 = a. esisteza dell elemeto eutro rispetto all Addizioe) 4) Per ogi a R esiste u uico simmetrico rispetto all Addizioe, detto ache opposto, a R tale che a + a) = 0 5) Per ogi coppia di umeri reali a, b si ha a b = b a proprietà commutativa della Moltiplicazioe) 6) Per ogi a, b, c R si ha a b c) = a b) c proprietà associativa della Moltiplicazioe) 7) Esiste ed è uico l elemeto uo),diverso da 0, tale che per ogi a R si ha a = a = a. esisteza dell elemeto eutro rispetto alla Moltiplicazioe) 8) Per ogi a R, a 0 esiste u uico simmetrico rispetto alla Moltiplicazioe, detto l iverso o il reciproco di a, idicato co a o co /a tale che 9) Per ogi a, b, c R si ha a a = a a = a b + c) = a b + a c proprietà distributiva della Moltiplicazioe rispetto all Addizioe)

iv 2.. Ordiameto. La relazioe è di ordie totale i R ossia, comuque si cosiderio due umeri reali a, b ecessariamete deve aversi a b oppure b a e soo vere etrambe se e solo se a = b. Ioltre tale relazioe è compatibile co le operazioi el seso precisato dalle proprietà : a, b, c R a b = a + c b + c 0 a e 0 b = 0 a + b, 0 a b Notazioe: a < b a b e a b Per ogi coppia di umeri reali a, b R vale ua ed ua sola delle segueti relazioi Dimostrare a < b, a = b, a > b. [i] a R, a 0 = 0 [ii] a R, a) = a [iii] a R, ) a = a [i] dim. a + a0 = a + a0 = a + 0) = a = a + 0, segue dalla legge di cacellazioe dell addizioe dimostrare). [ii] dim a + a) = a) + a = 0 a è l opposto di a, ossia a=--a). per l uicità dell opposto dimostrare). [iii] dim. )a + a = [ + ]a = 0a = 0, quidi )a è l opposto di a. Dimostrare per esercizio a, b R, a + b) = a) + b) a, b R, a) b = a b) a, b R, a) b) = a b a, b R, a b = 0 e a 0 = b = 0 a, b R, a b = 0 a = 0 oppure b = 0 I R è defiita la poteza co le proprietà segueti x = x x x }{{} volte x x m = x +m x R, N, x ) m = x m 2.2. Assioma di completezza. Siao A e B due isiemi o vuoti di umeri reali co a b a A, b B. Allora esiste c R tale che a c b a A, b B

+ )! =! + ) 2 2 = 2 3. N E IL PRINCIPIO DI INDUZIONE v 3. N e il pricipio di Iduzioe I Arithmetices pricipia Peao itroduce i umeri aturali N dado le segueti regole è u umero N, Il successivo di u umero N è u umero N, o è successivo di essu umero N, se i successivi di due umeri N soo uguali, ache i due umeri soo uguali, Se u isieme A cotiee il umero e il successivo di ogi suo elemeto, allora A = N, Gli assiomi riguardao l operazioe del passaggio da u umero aturale al suo successivo, l ultimo dei quali particolarmete importate el defiire le operazioi i N. Esso è il pricipio di iduzioe. Data ua proposizioe P), co P) vera se dall assumere P) vera ipotesi iduttiva), risulterà P + ) vera, allora la proposizioe sarà vera per ogi N. 3.0.. La somma dei primi umeri aturali e la somma dei loro quadrati. Proposizioe. + ) = 2 = 2 = = + )2 + ) 6 Dimostrare per esercizio. 3.0.2. La disuguagliaza di Beroulli e altri casi. Spesso alla base di dimostrazioi di teoremi, la disuguagliaza di Beroulli asserisce che Proposizioe 2. + x) + x, N, x. Dimostrazioe. La disuguagliaza è verificata per =. Assumedo vera la disuguagliaza al passo si ha + x) + = + x) + x) + x) + x) + + )x. 3.0.3. Ua disugugliaza. Itroduciamo il simbolo! fattoriale di ): è u applicazioe di N i N che agisce cos`ì Esempio :! =,! = )! 5! = 54!) = 543!) = 5432!) = 5432 = 20 Dimostriamo tramite il pricipio di iduzioe! 2,, N Dimostrazioe. Per = è verificata. Assumedo vera la disuguagliaza al passo, si ha

vi 3.0.4. U altro caso. Proposizioe 3. Se il prodotto di umeri reali e positivi è uguale ad, la loro somma risulta di. Dimostrazioe. Il risultato è vero per =. Suppoiamo che x x 2 x = e x + x 2 + + x e dimostriamo che se x x 2 x x + =, allora Se x + x 2 + x + x + +. x x 2 + + x x + =, allora tutti i fattori soo uguali. Quidi soo tutti uguali ad e la loro somma vale +, e il risultato è dimostrato. Se o, Esisterà almeo u fattore più piccolo di ed u fattore più grade di. Suppoiamo x <, x + >. Poiamo abbiamo y = x x +, y x 2 x =, possiamo duque applicare il risultato assuto vero al passo, e segue ma Poichè y + x 2 + x, x + x 2 x + x + = y + x 2 x ) + x + y + x + + x + y + x = + + x + x x + + x = + + x + ) x ) x + ) x ) 0, il risultato è dimostrato al passo +. 4. Il simbolo di somma e prodotto La sommatoria è u simbolo matematico che idica la somma di u certo isieme di umeri. Si usa la lettera. Si deve idicare l itervallo di valori dove la somma ha luogo ossia il valore iferiore e superiore dell idice della somma; alla destra del simbolo vi e u espressioe algebrica che i geerale dipede dall idice di sommatoria. Sia 0 allora x 0 + x 0 + + x = x. = 0

Fissiamo 0 =, = N. Si ha Valgoo le segueti regole Per J N Per p N 5. MEDIE vii x + x 2 + + x N = N x + = = N x = = N y = = N j= N N cx = c x, J x + = N x = = = N =J+ N+p x j N = x N x + y ) = x = K=p+ c R N = x K p La produttoria è u simbolo matematico che idica il prodotto di u certo isieme di umeri. Si usa la lettera. Si deve idicare l itervallo di valori dove la produttoria ha luogo ossia il valore iferiore e superiore dell idice della produttoria; alla destra del simbolo vi e u espressioe algebrica che i geerale dipede dall idice di produttoria N x x 2 x 3 x = x x 5. Medie Theorema 5.. Siao dati x, x 2, x 3, x 4... x, o egativi, N. La media geometrica M g è il umero La media aritmetica M a è il umero Si ha = M g := x x 2 x 3... x ). x M a := x + x 2 + x 3 +... + x. M a M g. Dimostrazioe. Cosideriamo x M g,..., x 2 M g, x M g, allora la radice eesima del prodotto vale ossia x x 2 M g M g x M g =, e per il risultato precedete x M g + x 2 M g + x M g, ossia M a M g.

viii Diamo u altra dimostrazioe per iduzioe che fa uso della disuguagliaza di Beroulli Dimostrazioe. Per = la disuguagliaza è vera risultado x = x Suppoiamo che al passo risulti M g = i= x i x i = M a Si ha M a M a M a = i= ) M a + x = M a + x M a) ), = + x M a ) M a, Ma M a ) = + x M a ) M a Per applicare la disuguagliaza di Beroulli dovrà risultare M a + x M a ossia )M a + x 0, che risulta verificata. Pertato ) Ma M a + x M a ) M a = x M a M a ) x M a), e quidi per l ipotesi iduttiva M a ) x M g) = x x 2... x = e la dimostrazioe è completa x i = M g ). i= 6. Z, Q Si idica co Z isieme degli iteri) l isieme dei umeri aturali uito co i loro opposti e lo 0. L isieme Q è l isieme delle frazioi di iteri. U geerico elemeto i Q è del tipo m,, co 0. Le proprietà algebriche descritte prima i 2) valgoo i Q. 6.. Disuguagliaza di Youg per espoeti razioali. Come applicazioe della disuguagliaza tra la media aritmetica e geometrica dimostriamo la disuguagliaza di Youg per espoeti razioali. Defiizioe 6.. Dato p >, p R diciamo coiugato di p il umero reale q tale che p + q =. Se p = m, m, N co m < il coiugato di p è dato da q = m.

6. Z, Q ix Theorema 6.2. Disuguagliaza di Youg espoeti razioali): dati due umeri reali positivi x e y, e dati p, q umeri razioali verificati p + q =, si ha xy xp p + yq q Dimostrazioe. Dalla disuguagliaza sulle medie x x 2 x 3... x ) x + x 2 + x 3 +... + x Fissiamo x = x 2 =... x m = x p x m+ =... x = b q Fissiamo p = m co m <, segue che il coiugato di p è dato da q = allora x p ) m y q ) m ) mx p + m)y q x p ) m y q ) m segue allora la disuguagliaza. m xp + m yq, m. Ci soo umeri reali che o appartegoo all isieme Q. Soo i umeri irrazioali. U umero irrazioale è quidi u umero reale che o può essere scritto come ua frazioe m co m, Z, co 0. Alcui umeri irrazioali soo umeri irrazioali algebrici come la radice quadrata di due e gli irrazioali algebrici soo radici di equazioi algebriche a coefficieti iteri esempio la la radice quadrata di due è soluzioe di x 2 2 = 0), altri soo umeri irrazioali trascedeti come e,π e gli irrazioali trascedeti o soo radici di equazioi algebriche i a coefficieti iteri. I umeri trascedeti furoo per la prima volta distiti dagli irrazioali algebrici da Kroecer. Lemma 6.3. Se m 2 pari, m è pari Dimostrazioe. Se m fosse dispari m = 2+, allora m 2 = 2+) 2 = 4 2 + 3 + risulterebbe dispari cotro l ipotesi. Proposizioe 4. 2 o è u umero razioale. Dimostrazioe. Suppoiamo che 2 sia u umero razioale. Allora esistoo due iteri m e privi di fattori comui tali che 2 = m. Elevado al quadrato si ha 2 = m2 2 m 2 = 2 2 Questo implica che m 2 pari, e che quidi m è pari, ossia esiste itero tale che m = 2. Sostituedo a m 2 = 2 2 abbiamo che ache è pari, e quidi m e hao i comue u fattore 2, il che impossibile perch abbiamo assuto m e privi di fattori comui. Abbiamo otteuto ua cotraddizioe co l ipotesi. I umeri reali possoo essere pesati come puti su ua retta. I umeri corrispodeti agli iteri soo ugualmete spaziati. Possiamo cosiderare l applicazioe R Z che associa la parte itera, x = il più grade itero x,

x e la parte itera superiore Valori di x e x x = il più piccolo itero x 0 = 0 /2 = 0 3.7 = 4 0 = 0 /2 = 3.7 = 3 Valgoo le proprietà x = x idempoteza x = x x R /2 + /2 = Z 7. Formula del biomio Defiiamo )! =! )! Dimostrare per esercizio, per, 0! =, per covezioe.) ) ) ) + + = Proposizioe 5. Dimostrare per iduzioe ) a + b) = a b, per ogi coppia di umeri reali a e b. Dimostrazioe. L asserto è vero per =. Assumedo vera la formula al passo la dimostriamo al passo +. Vogliamo dimostrare che + ) + a + b) + = a + b. a + b) + = a + b) a + b) = ) a + b + a + + = a + + = a + + = ) a + b + ) a + b + ) a + b + = ) a b ) a + b) = ) a b + = ) a b + + b + = ) a + j b j + b + = j j= ) a + b + b + =

a + + = 8. MINIMO E MASSIMO DI UN INSIEME DI NUMERI REALI xi [ ) )] + a + b +b + = ) + a + b +a + +b + = = + ) + a + b. Esercizio 7.. Dimostrare ) 2 =, 0 = 2) = ) ) 2 ), 8. Miimo e Massimo di u isieme di umeri reali Dato u isieme X di umeri reali u umero reale m è u miorate per X se x X x m. Se l isieme X ha u miorate, X si dice iferiormete itato. Dato u isieme X di umeri reali u umero reale M è u maggiorate per X se x X x M. Se l isieme X ha u maggiorate, X si dice superiormete itato. U isieme iferiormete e superiormete itato si dice itato. Esempio 8.. L isieme X = {x = ), N} è iferiormete e superiormete itato. L isieme dei miorati è dato da X m = {x R, x } L isieme dei maggiorati è dato da X M = {x R, x }. X può essere o itato sia superiormete che iferiormete X = {x = ), N} X può essere o itato superiormete X = {x =, N} L isieme dei miorati è dato da X m = {x R, x } X può essere o itato iferiormete X = {x =, N} L isieme dei maggiorati è dato da X M = {x R, x }. ).

xii Se il umero più grade dei miorati appartiee all isieme, tale umero è il miimo dell isieme.se il umero più piccolo dei maggiorati appartiee all isieme,tale umero è il massimo dell isieme. L isieme ha come isieme dei miorati X = {x = ), N} X m = {x R, x }, il cui massimo è è miimo dell isieme X), metre l isieme dei maggiorati è dato da X M = {x R, x }, il cui miimo è massimo dell isieme X). Il miimo e il massimo devoo apparteere all isieme: puo accadere che l isieme o ammetta massimo o miimo. Ad esempio X = {x =, N}, o ammette miimo. L isieme dei miorati X m = {x R, x 0}, ammette però massimo. Il umero 0 o è il miimo di X. iferiore dell isieme X. Aalogamete È l estremo X = {x =, N}, o ammette massimo. L isieme dei maggiorati X M = {x R, x 0}, ammette però miimo. Il umero 0 o è il massimo di X. superiore dell isieme X. È l estremo M é l estremo superiore dell isieme X ossia M è il miimo dei maggiorati dell isieme X. m é l estremo iferiore dell isieme X ossia m è il massimo dei miorati dell isieme X. No esiste c Q elemeto separatore degli isiemi Y = {q Q q > 0, q 2 > 2} X = {q Q q < 0} {q 0, q 2 2}. Dovrà risultare x c y, x X, y Y Se c X, sia c > 0 allora c 2 2 per quato precedetemete dimostrato), e dovrà risultare c 2 < 2. Si ha per N N e N > 2c + 2 c 2, allora c + N X.

8. MINIMO E MASSIMO DI UN INSIEME DI NUMERI REALI xiii Ifatti c + N Q e c + ) 2 = c 2 + N N 2 + 2c N < 2. Abbiamo trovato u elemeto di X maggiore di c, cotro l ipotesi Esercizio: Svolgere il caso c Y. x c, x X 8.. Dall assioma di completezza. Theorema 8.2. Ogi isieme X di umeri reali che o sia vuoto e che sia itato superiormete possiede u estremo superiore. Dimostrazioe. Idichiamo co Y l isieme dei maggiorati di X. Y. Applichiamo l assioma di completezza. Esiste M reale tale che x M y, x X, y Y M è u maggiorate di X ossia M Y, ed è miore di tutti gli elemeti di Y. Quidi M è il miimo dei maggiorati. Aalogamete Theorema 8.3. Ogi isieme X di umeri reali che sia o vuoto e iferiormete itato possiede u estremo iferiore. Per ogi isieme umerico X o itato superiormete si poe sup X = + Tali isiemi soo caratterizzati dalla proprietà seguete M R, x X t.c. x > M. I modo aalogo, se X o è itato iferiormete allora o ha miorati. Cioè, comuque si cosideri u umero reale m, esiste u elemeto i X miore di m. Per ogi isieme umerico X o itato iferiormete si poe if X = Tali isiemi soo caratterizzati dalla proprietà m R, x 2 X t.c. x 2 < m. Esercizio 8.4. Determiare l estremo iferiore e superiore dell isieme umerico X = { x = ) 2 +, N} r. L estremo iferiore di X è 0, l estremo superiore di X è 3 4.

xiv 9. Il umero di Nepero Scoperto da Joh Napier, e idicato co la lettera e, il umero di Nepero è ora uiversalmete oto co la lettera e, dopo l uso di tale lettera da parte di Eulero. Ecco alcue altre otazioi tra 690 e il 787, tratto da u libro di Floria Cajori, matematico del XIX secolo wiipedia). 690 b Leibiz, Letter to Huyges 69 b Leibiz, Letter to Huyges 703 a A reviewer, Acta eruditorum 727 e Euler, Meditatio i Experimeta explosioe tormetorum uper istituta 736 e Euler, Mechaica sive motus scietia aalytice exposita 747 c D Alembert, Histoire de l Académie 747 e Euler, various articles. 75 e Euler, various articles. 760 e Daiel Beroulli, Histoire de l Académie Royal des Scieces 763 e J. A. Seger, Cursus mathematici 764 c D Alembert, Histoire de l Académie 764 e J. H. Lambert, Histoire de l Académie 77 e Codorcet, Histoire de l Académie 774 e Abb Sauri, Cours de mathématiques Cosideriamo l isieme A = {x R tali che x = =! N}. Dimostriamo che l estremo superiore di A è u umero reale. Come precedetemete dimostrato,! 2,, N. Si ha! + + 2 + 2 + 2 = 3 Ioltre Da cui si evice =! > 2 Per defiizioe, poiamo 2 sup A 3. e = sup A. Dalla formula del biomio di Newto Ma, + ) = ) 2)... + )! ) 2)... + ) = ) 2)... + )... volte

) 2)... + )... volte Allora, 0. IL MODULO DI x xv = ) 2 )... ). + )!, e passado al sup, defiedo A = {x R tale che x = + ) N}, si ha sup A sup A Dalla itarezza di A si evice il suo estremo superiore e è u umero reale. Fi ora abbiamo dimostrato e e Vogliamo i realtà dimostrare che e = e. Prediamo m >. Allora + ) = ) 2)... + )! m Da cui passado all estremo superiore su m + ) ) 2)... + )! = Osservado che ) 2)... + ) = sup Passado all estremo superiore su, sup + )!. Allora otteiamo l altra disuguagliaza, e quidi l uguagliaza. 0. Il modulo di x Dato x R il modulo di x è defiito { x, x 0, x = x, x < 0 Vale per x, y R x 0 x 0 se e solo se x > 0 x = x - x x x x r se e solo se r x r r reale positivo. x < r se e solo se r < x < r, r reale positivo. ) 2)... + )!

xvi xy = x y x + y x + y x y x y x = y se e solo se x 2 = y 2, x < y se e solo se x 2 < y 2. Esercizio 0.. Dimostrare al variare di x R x = x, N Esercizio 0.2. Disegare y = x, al variare di x R. y = max{ x, x }, al variare di x R. Disegare Traslazioi i x. y = fx + ), R, il grafico subisce ua traslazioe orizzotale, verso siistra se > 0, verso destra se < 0. Traslazioi i y. y = + fx), R, il grafico subisce ua traslazioe verticale, verso l alto se > 0, verso il basso se < 0. Esercizio 0.3. Disegare y = x 5, y = x + 3, y = x 7, y = x + 8.. Successioi Defiizioe.. Ua successioe di umeri reali è u applicazioe dall isieme N dei umeri aturali i R: N x R L elemeto x R della successioe è quidi l immagie del umero N Ua successioe di umeri reali si dice iferiormete itata se esiste m R tale che x m, N. Ua successioe di umeri reali si dice superiormete itata se esiste M R tale che x M, N. Ua successioe si dice itata se risulta iferiormete e superiormete itata..0.. Mootoia. Ua successioe si dice mootoa crecete x + x, Esempio: 2. mootoa decrescete x + x, Esempio:. 2) Osserviamo che ua successioe può o essere mootoa esempio ) ) Proposizioe 6. Dimostriamo che la successioe x = + ). è mootoa crescete. Dimostrazioe. Cosideriamo il rapporto ) + + x + + = ) x = + ) + 2 + ) + +

. SUCCESSIONI xvii ) + 2 + ) + ) ) + + 2 + ) + = = + + + ) + ) 2 ) + 2 + ) + 2 ) + 2 + + ) + = 2 = + 2 + ) 2 = + 2 + ) 2 ) + 2 + 2 + 2 + + ) + 2 + 2 + Dalla disuguagliaza di Beroulli che vale i seso stretto per ogi h 0) si ha, abbiamo + h) + h, real h, N poichè h = 2 + 2 + >, 2 + 2 + <,. E quidi sostituedo ella disuguagliaza precedete x + x = + + + ) + Ciò coclude la prima dimostrazioe. ) > ) ) + =. + Dimostrazioe. Diamo ora u altra dimostrazioe basata sulla disuguagliaza tra la media aritmetica e geometrica dell asserto: la successioe x ) defiita da x = + ), =, 2,.... è itata e crescete. Applicado la disuguagliaza co + a... a + a + + a + + a = = a = + ad a + =, otteiamo + + ) + 2 + = + +. Ciò è equivalete a x x +. Quidi x ) è crescete ed è iferiormete itata da x = 2. I più applicado la disuguagliaza co +2 a... a +2 a + + a +2 + 2 a = = a = + ad a + = a +2 = 2

xviii otteiamo +2 + ) 2 2 + 2 + 2 =. Equivalete a x 4. Quidi x ) è itata superiormete da 4. Esercizio.2. Dimostrare ) è itata Dimostrazioe. 0 ) < Proposizioe 7. La successioe x = ), è crscete. Dimostrazioe. Abbiamo x 2 > x Per > cosideriamo il quoziete ) + x + + = ) x = ) + ) + ) + ) + ) ) + ) = = + + ) ) ) 2 + ) = 2 = ) 2 ) + + ) 2 2 = ) 2 + ) + ) 2. Applichiamo la disuguagliaza di Beroulli, co 0 < h = 2, > Da cui sostituedo ella precedete disuguagliaza x + x = + ) ) >, > Ache la successioe x ) defiita da x = ), =, 2,.... è crescete come applicazioe della + a... a + a + + a + +

with. SUCCESSIONI xix a = = a = ad a + =, otteiamo + ) + = +. Ciò è equivalete a x x +. Quidi x ) è crescete... Successioi divergeti positivamete e egativamete. Defiizioe.3. Ua successioe x ) N si dice divergete positivamete, se per ogi umero reale M > 0 esiste ν N tale che I questo caso si scrive > ν = x > M. x = +. Defiizioe.4. Ua successioe x ) N si dice divergete egativamete, se per ogi umero reale M > 0 esiste ν N tale che I questo caso si scrive > ν = x < M. x =. Esempio di successioe divergete positivamete : x = 2 2 = + Esempio di successioe divergete egativamete : x = 2 2 = Defiizioe.5. Si dice che la successioe x ) N coverge al umero reale l, se per ogi ε > 0 esiste ν N tale che > ν = x l < ε. I simboli x = l, che si legge ite di x rispetto a uguale ad l. cioè Poichè x l < ε equivale a si può ache scrivere ε < x l < ε, l ε < x < l + ε, > ν = l ε < x < l + ε. Esempio di successioe covergete : x = 2 ) = 0 2 Teorema Se x ) N e x ) N soo successioi regolari cioè successioi che ammettoo ite R {, + }), si ha ) c x + c 2 x ) = c x + c 2 x, 2) x x ) = x x, )

xx x 3) x = x x, i tutti i casi i cui il secodo membro ha sigificato i R {, + }. Forme Idetermiate Se x e x +, allora x + x o può essere iquadrata i essuo dei casi già cosiderati. Questo rietra ifatti tra quelli i cui il secodo membro + + ) o ha sigificato i R. Facciamo vedere, per mezzo di esempi, come la successioe x + x può essere di qualuque tipo. x =, x = x =, x = + ) x + x = 0, covergete; x + x = ), o regolare; x =, x = 2 x + x = ), + ; x = 3, x = 2 x + x = 2 ),. Per questo motivo quado { x x + si dice che la successioe x + x si preseta sotto la forma idetermiata. Aaloghe cosiderazioi valgoo per x x se x + e x + o ache se x e x. Se { x 0 la successioe x ± x x, si preseta ella forma idetermiata 0. Se ivece { x ± x ± si dice che la successioe x x, si preseta ella forma idetermiata. Quado, ifie { x 0 x 0 si dice che la successioe x x, si preseta ella forma idetermiata 0 0.

2. ANALISI DEL CASO MISTO E SERIE GEOMETRICA xxi.2. Successioe o regolare. Defiizioe. Ua successioe x ) N si dice o regolare se o ammette ite. Esempio di successioe o regolare: x = ) o esiste il ) Proposizioe 8. Dato l applicazioe i : N N. i) = j co i+) > i), ua successioe estratta è la successioe ristretta a i). Se x coverge a x R oppure diverge positivamete o egativamete) allora ogi estratta di x coverge a x oppure diverge positivamete o egativamete). Esempio.6. No esiste il ) perchè calcolata ell estratta di idici pari la sottosuccessioe coverge a, ell estratta di idici dispari la sottosuccessioe coverge a. 2. Aalisi del caso misto e serie geometrica Allora x = Cosideriamo x = q + q > q = 0 q ], [ q + q + q 2 + + q + serie geometrica di ragioe q. Ridotta sima Se q = si ha Sia q. Abbiamo dimostrato che s = + q + q 2 + + q s = + + + =. s = + q + q 2 + + q = q q Se q < allora q = 0 e pertato s q = q = q. Se q >, poichè q = + si ha s q = q = q q = + = + q Sia ora q =, s = ) 2 Pertato la successioe s ) N o è regolare. = { 0, = 2p, = 2p +

xxii Sia ifie q <. Possiamo scrivere q = q, e quidi s = q ) + q = ) q + q = q 2p + q, = 2p + q 2p, = 2p + q Ne segue che S 2p e S 2p + e pertato s Allora + q s = q ], [ q q 2.. Permaeza del sego per successioi. Sia + x = l co l > 0 allora esiste ν tale che x > 0 per > ν. Sia x = l + y = l + Se x < 0 per ogi alora x 0. Ricordare l esempio x = x < 0 per ogi ma l = 0 Se x 0 per ogi allora l 0. Se x y per ogi allora l l Esercizio 2.. Dimostrare che se per x, y reali risulta x < y + per ogi N, allora x y. 2.2. Il teorema del cofroto. Theorema 2.2. Siao x, y, e z tre successioi. Se x x R, z x R, e x y z, allora y x Se y + e x y, allora x +. Se y e x y, allora x. 3. Serie Armoica Si chiama serie armoica la serie di temie geerale x = /. Theorema 3.. La serie armoica diverge positivamete. + 2 + 3 + + + Dimostrazioe. Cosideriamo per N a = + ) ) Allora e + Poichè la fuzioe l x è crescete i 0, + ) = l e = l a l + )

3. SERIE ARMONICA xxiii Da cui l + ) l Facedo le somme da a l + ) l = l + ) = = I coclusioe s l+) e quidi la serie armoica diverge per il teorema di cofroto sulle successioi. Importate otare Remar. Per la serie armoica = è verificata la codizioe x 0; questa codizioe è perciò ecessaria, ma o è sufficiete per la covergeza della serie. 3.. Teorema criterio del cofroto asitotico. Sia x ua successioe a termii o egativi per cui esiste il ite e Allora x = l 0. + x = + = Esempio Studiare il carattere della serie + + ) ossia = + + ) + = e. [ + ) ] = e + ) e per, Dal criterio del cofroto asitotico segue immediatamete che la serie è positivamete divergete

xxiv 4. Serie Armoica Geeralizzata Per p umero reale e positivo. La serie armoica geeralizzata è data da p = p = = { + p < p > Dimostrazioe del caso di covergeza. La successioe delle ridotte -sime è regolare, pertato per valutare il ite possiamo cosiderare ua sottosuccessioe. [ s 2 h = + 2 p + ] [ ] 3 p +... 2 h ) p + 2 h + ) p +... 2 h ) p +2 2 p +4 4 p +...2h 2 h ) p = h = [ ] 2 p ) < + = < [ ] 2 p ) < + teorema criterio del cofroto asitotico) Sia p u umero reale e positivo. Suppoiamo p. Sia x ua successioe a termii o egativi tale che per cui esiste il ite e Allora + p x = l 0. x = + = Esempio Studiare il carattere della serie + + ) ossia = + ) = e. [ + ) ] = e + + ) e per, Dal criterio del cofroto asitotico segue immediatamete che la serie è positivamete divergete. teorema criterio del cofroto asitotico) Sia p > u umero reale. Sia x ua successioe a termii o egativi tale che per cui esiste il ite i R di + p x

Allora 4. SERIE ARMONICA GENERALIZZATA xxv x < + = Esempio 4.. Studiare il carattere della serie + + ) 2 Pertato ossia = + ) = e. + ) 2 e 2 per, + 2 + ) = e Dal criterio del cofroto asitotico segue immediatamete che la serie è covergete. Esempio 4.2. Studiare il carattere della serie + + ) 2α Pertato ossia = + ) 2α + ) = e. e 2α per, + 2α + ) = e Dal criterio del cofroto asitotico segue immediatamete che la serie è covergete per α > 2 2α > ) e divergete per 0 < α 2. Esercizio 4.3. Studiare il comportameto della serie La serie è covergete, ifatti + = + = 2 + +. + 2 + + 2 =. Studiare la covergeza applicado il cofroto asitotico.

xxvi Esercizio 4.4. Studiare il comportameto della serie r.abbiamo Duque la serie! + 2 ) + )! + =0 +! + 2 ) + )!.! + )! = +.! + 2 ) + )! è positivamete divergete. Studiare la covergeza applicado il cofroto asitotico. Esercizio 4.5. Studiare il comportameto della serie 2 +. = r. La serie è divergete. 2 + 2 + + 2 = +, Quidi = = + = j = +. j=2 2 + j = +. j=2 Studiare la covergeza applicado il cofroto asitotico. Esercizio 4.6. Studiare il comportameto della serie + ) +. = r. La serie è positivamete divergete. Ifatti ) + = + ) 2. Il risultato segue allora dal cofroto co la serie armoica. Studiare la covergeza applicado il cofroto asitotico. 5. Calcolo di iti e criteri per serie Sia x ua successioe a termii positivi. Posto y = x + x si ha: se + y < allora + x = 0. Applicazioe. x >, c > 0, N c + x = 0

6. IL TEOREMA FONDAMENTALE SULLE SUCCESSIONI MONOTONE E IL NUMERO xxvii e x +! = 0 Proposizioe 9. Data ua serie a termii positivi + = a tale che esista il ite a + a = l, co a 0 per grade, si ha se l > la serie diverge se l < la serie coverge o e stabilisce il comportameto l =. Esercizio Utilizzado il risultato precedete dimostrare! + = 0 6. Il teorema fodametale sulle successioi mootoe e il umero e Theorema 6.. Se x è crescete e superiormete itata allora sup x = x Se x è decrescete e iferiormete itata allora if x = x Se x è crescete e superiormete o itata allora sup x = x = + Se x è decrescete e iferiormete o itata allora if x = x = Dimostrazioe. Suppoiamo, per fissare le idee, che x ) N sia crescete. Se o è itata, o lo è superiormete. Ifatti x è u miorate. Comuque si scelga u umero M R esiste u elemeto della successioe, x ν, tale che x ν > M. Per ogi > ν si avrà x x ν > M e questo sigifica x +. Se x ) N è itata, avrà estremo superiore e M R. Per le proprietà dell estremo superiore, per ogi ε > 0 esiste u termie della successioe, sia x ν, tale che x ν > e M ε. Per > ν si avrà x x ν e x e M. Perciò da > ν segue e M ε < x ν x e M < e M + ε. Ciò sigifica x e M. I modo aalogo si prova l altro caso. Esercizio.Come esercizio sul teorema fodametale sulle successioi mootoe provare il teorema el caso di successioi decresceti e itate. suggerimeto l = if x. Per defiizioe di estremo iferiore x l, per ogi ; ioltre ɛ > 0 esiste ν tale che x ν ɛ < l. Ma x ν x se > ν...).

xxviii Precedetemete abbiamo verificato e = sup { + ) } e + ) è ua successioe mootoa crescete. Dal teorema fodametale sulle successioi mootoe, deduciamo e = + ) + Ioltre abbiamo defiito { } e = sup! e abbiamo visto che! è ua successioe mootoa crescete. Dal teorema fodametale sulle successioi mootoe, deduciamo e = +! =!. 6.. Applicazioe della formula del biomio al calcolo di iti. ) =. Dimostrazioe. Dall idetità [) ) + ] = Dalla formula del biomio, ) [ ) + ] = ) ) ), cosiderado ella somma uicamete l addedo otteuto per = 2, otteiamo quidi ) ) 2 ) <, 2 Passado al ite, 0 ) < 2, ) < + 2, ) =.

6. IL TEOREMA FONDAMENTALE SULLE SUCCESSIONI MONOTONE E IL NUMERO xxixe 6.2. Formula di Stirlig. James Stirlig Scotlad, 692-770) Vale la seguete formula di approssimazioe appare sia e che π)! ), 2π e ossia! 2π/e) =. Esercizio 6.2. Calcolare Dalla disuguagliaza di Beroulli ) 2. < 2 ) < Da cui, passado al ite ) 2 = Esercizio 6.3. Teuto coto dell esercizio precedete calcoliamo ). Abbiamo allora ) 2 = ) = e ) + ) = ) 2 ) = + e ) Esercizio 6.4. Dimostrare che o esiste il ite della successioe { a = + ) se è pari, ) se è dispari. r. Il termie geerale della successioe si può ache scrivere { ) a = se è pari + ) se è dispari Cosicchè se è pari a e 2 metre se è dispari a e, quidi la successioe o ammette ite.

xxx Esercizio 6.5. Dopo aver determiato dalla formula ricorsiva { a+ = a e + a 0 = l espressioe di a, studiare il comportameto della serie a. =2 r. Si ha a = e!. Si può procedere alla dimostrazioe utilizzado il pricipio di iduzioe. La formula è vera al primo passo e se suppoiamo che sia vera per, ossia si ha Dal passo si ricava a = e )!, a = a e. a = e e )! = e!, da cui l asserto. Si tratta ora di studiare la covergeza della serie e!. =2 È verificata la codizioe ecessaria per la covergeza e! = 0. La serie è a termii positivi, pertato la covergeza semplice ed assoluta si equivalgoo. Applicado il criterio del rapporto si ha Proposizioe 0. Approssimazioe di e. Per sufficietemete grade! + )! e = e + e < >. + Dimostrazioe. Ricordiamo Calcoliamo +m! + )! e 2, 7828 e =!! = + )! + + 2)! +... + m)! = + + 2) +... + 2) + m) )

7. CONVERGENZA ASSOLUTA xxxi ) + + )! + 2) +... + 2) m <! Allora per m +, troviamo 0 < e! <!, disuguagliaza che cosete il calcolo approssimato di e. Proposizioe. e o è u umero razioale Dimostrazioe. Sappiamo e > 2. Ricordiamo 0 < e! <!, per = si ha e < 3; assumiamo per cotraddizioe che e sia u umero razioale e = p q co p, q iteri positivi primi tra loro e q >. Allora e 0 < p q q p 0 < q! q! < qq!, q ) <! q, e otteiamo ua cotraddizioe poichè il primo membro è u itero positivo e il secodo membro è u umero miore di uo. Si ha Cosideriamo le due serie + a, + = + = 7. Covergeza assoluta = a coverge = a coverge = + = a + = + = a coverge a coverge Per avere due serie differeti el carattere, la serie + = a dovrà coteere u umero ifiito di cambi di sego. Ua serie prototipo di questo tipo è + ) +. = Proposizioe 2. La serie + è covergete. = ) +

xxxii si ha Remar 2. Per questa serie + ) + + ma )+ + = = + = = Dimostrazioe. Ifatti idicato co s = ) + 2 = s 2+2 = = ) + = 2+2 = = ) + + )2+ 2 + + )2+2 2 + 2 = s 2 2 + + 2 + 2. I forza di 2 + + 2 + 2 0, si evice s 2 s 2+2, N. Ciò mostra che la ridotta di ordie pari è mootoa decrescete ed è iferiormete itata da s 2 = 3. Esiste il ite per + s 2 = S p + Si ha 2+ s 2+3 = ) + = I forza di si evice 2+ = = ) + + )2+2 2 + 2 + )2+3 2 + 3 = s 2+ + 2 + 2 2 + 3. 2 + 2 2 + 3 0 s 2+ s 2+3, N. Ioltre s + = s 2 2 + s 2 s 2 Ciò mostra che la ridotta di ordie dispari è mootoa crescete ed è superiormete itata da s 2 = 3. Esiste il ite per + s 2+ = S d, + e risulta, passado al ite per + S p = S d, perchè s + = s 2 2 +

8. FUNZIONI xxxiii Essedo S p il ite delle somme parziali pari, per la defiizioe di ite ɛ m pari) tale che s S p < ɛ > m, pari. Essedo S d il ite delle somme parziali dispari, per la defiizioe di ite ɛ j dispari) tale che s S d < ɛ > j, dispari. Sappiamo S p = S d, perciò prededo h = max{m, j} la disuguagliaza s S < ɛ vale per ogi per ogi N tale che > h, quidi s = S, + e la serie coverge. ii criterio di Leibiz è u criterio di covergeza applicabile a serie a termii di sego altero. Vale il Criterio di Leibiz Theorema 7.. Per ogi N, sia a positivo, decrescete e ifiitesimo. Allora la serie + = )+ a coverge. Esercizio 7.2. Fare la dimostrazioe precedete el caso più geerale, assumedo a positivo, decrescete e ifiitesimo. 8. Fuzioi Dati due isiemi X e Y, f è ua relazioe che a ogi x X fa corrispodere y = fx) Y. f : X Y, la fuzioe si dice suriettiva se If) = Y e iiettiva se x, x 2 X si ha x x 2 = fx ) fx 2 ) Ua fuzioe fiestra ua fuzioe a supporto compatto: vale zero al di fuori di u itervallo [a, b]. Fiestra rettagolare Ua fuzioe costate all itero dell itervallo. {, i [0,] fx) = 0, otherwise Serve per localizzare ua fuzioe: si moltiplica la fuzioe per la fuzioe fiestra. I geerale l operazioe rede la fuzioe risultate meo regolare. 8.. Proprietà dei logaritmi i base eperiaa. Per ogi x R co x > 0,, il logaritmo i base eperiaa ha la proprietà Per ogi x, y R co x, y > 0, vale e log x = x. log xy = log x + log y. log = log x. log x y = log x log y. Per t reale, log x t = t log x. Per ogi x 0, log x 2 = 2 log x per ogi x, y co xy > 0, log xy = log x + log y.

xxxiv 9. Le fuzioi trigoometriche Sia 2π la lughezza della circofereza di raggio. Al geerico puto P apparteete alla circofereza viee associato cos x, si x), co le proprietà: cos x, si x, x R cos 2 x + si 2 x = x R si x = si x) x R cos x = cos x) x R cosx + y) = cos x cos y si x si y. six + y) = si x cos y + cos x si y. si x si y = 2 si x y cos x + y 2 2 cos x cos y = 2 si x y si x + y 2 2 Dalla relazioe cos 2 x + si 2 x =, si osservi che le fuzioi cos x e si x o si aullao mai cotemporaeamete, pertato o esistoo soluzioi del sistema { si x = 0, cos x = 0 Moltiplicado per ua costate reale positiva l argometo di ua fuzioe trigoometrica, ossia cosiderado la fuzioe fx), si determia ua variazioe del periodo da T a T. La fuzioe fx) = ta x = si x cos x è defiita per ogi x R, x π 2 + π, Z, è periodica di periodo π taθ + π) = ta θ. È ua fuzioe dispari ed è ovuque crescete. Per alcui agoli oti ta θ) = ta θ ta 0 = 0 ta π 3 6 = ta π 3 4 = ta π 3 = 3 Se restrigiamo lo studio della fuzioe tagete i π 2, π 2 ), utilizzado la stessa otazioe per idicare la fuzioe i tale itervallo la fuzioe risulta iiettiva e If) = R La fuzioe tagete è ivertibile: la fuzioe iversa è idicata co arcta : R π 2, π 2 )

20. I NUMERI COMPLESSI xxxv r. Esercizio 9.. Risolvere { arcta s = t s π 2, π 2 ) π 2, π] π, π) = π, π] {± π 2 } Sia π 2 < s < π 2, allora Sia pesiamo t = ta s se e solo se s = arcta t π 2 < s π, s = π + s tale che s π 2, 0] Sappiamo che ta s = taπ + s ) = ta s ; t = ta s; t = ta s e s = arcta t ossia s π = arcta t. I coclusioe s = π + arcta t Sia π < s < π 2, Poiamo s = π + s tale che s 0, π 2 ]. Sappiamo che ta s = ta s t = ta s ossia t = ta s s = arcta t s + π = arcta t. I coclusioe s = π + arcta t Quidi l uica soluzioe s è data da arcta t t π 2, π 2 ) s = π + arcta t, t π 2, π] π + arcta t, t π, π 2 ) 20. I umeri complessi 20.. L uita immagiaria: il umero i. No tutte le equazioi a 0 + a x + a 2 x 2 + + a x = 0 co a 0, a,... a Z hao ua soluzioe ell isieme dei umeri reali. Estediamo i umeri reali affichè equazioi poliomiali a 0 + a x + a 2 x 2 + + a x = 0 abbiamo almeo ua soluzioe ell estesioe di R che idichiamo co C chiusura algebrica di R). I particolare l equazioe x 2 + = 0 o ha soluzioi ri R. Defiiamo l uità immagiaria i soluzioe dell equazioe x 2 + = 0. La proprietà del umero i è data dalla relazioe i 2 =.

xxxvi 20.2. Forma algebrica dei umeri complessi. U umero complesso z C corrispode ad ua coppia ordiata di umeri reali x, y). Defiiamo forma algebrica di u umero complesso z z = x + iy. x e y soo rispettivamete la parte reale e il coefficiete dell uita immagiaria immagiaria, e vegoo scritti tramite la otazioe x = Rz y = Iz La forma algebrica si presta facilmete all operazioe di somma. Dati due umeri complessi z = x + iy e w = u + iv l operazioe di somma C C C si defiisce al seguete modo z, w) z + w = x + u) + iy + v) Ricordiamo che z = 0 x, y) = 0, 0). Nell operazioe di prodottoc C C si opera algebricamete sapedo che i 2 =. z w = xu yv) + iyu + xv) Molto spesso si omette il simbolo usado più praticamete zw. L opposto z è dato da z = x iy, metre il reciproco z x = x 2 + y 2 i y x 2, z 0 x, y) 0, 0). + y2 I umeri complessi si possoo idetificare co i puti del piao reale ed è particolarmete importate la simmetria rispetto all asse delle ascisse espressa dall operazioe di coiugio C C. Dato z = x + iy il couigato di z è il umero complesso z = x iy. Figura. z e z L operazioe di coiugio è ua fuzioe complessa di variabile complessa che vediamo. Studiamoe le proprietà. Dato z e w C, z + w è u umero complesso, a cui possiamo applicare l operazioe di coiugio. Il risultato o cambia se cosideriamo z e e facciamo il coiugato, cosideriamo w e e facciamo il coiugato, e poi sommiamo i due. I simboli z + w = z + w Dato z e w C zw è u umero complesso, a cui possiamo applicare l operazioe di coiugio. Il risultato o cambia se cosideriamo ze e facciamo il coiugato, cosideriamo w e e facciamo il coiugato, e poi moltiplichiamo i due. I simboli

20. I NUMERI COMPLESSI xxxvii z w = z w Ioltre se operiamo due volte l operazioe di coiugio otteiamo il umero di parteza. z = z Ha iteresse cosiderare il prodotto di z per il suo coiugatoz. Metre il prodotto di z co se stesso produce u uovo umero complesso z 2 il prodotto di di z per il suo coiugatoz forisce u umero reale. ) zz = x + iy)x iy) = x 2 + y 2 = z 2 essedo z = x 2 + y 2 = Rz) 2 + Iz) 2 modulo di z. Notiamo che z = 0 z = 0. Per z 0 si ha z z z 2 = per cui z = z z 2 da cui si ottiee la formula del reciproco. Valgoo le relazioi Rz = z + z 2 Iz = z z 2i 20.3. Forma trigoometrica dei umeri complessi. La rappresetazioe el piao dei umeri complessi permette ua rappresetazioe mediate coordiate polari forma trigoometrica di z. La forma trigoometrica è particolarmete utile elle operazioi di prodotto e radice. { x = ρ cos θ, y = ρ si θ, ρ R, ρ > 0, θ [0, 2π) Dato z = x + iy si ha z = ρcos θ + i si θ) dove ρ = z = x 2 + y 2 = Rz) 2 + Iz) 2 e θ = arg z. L argometo θ è idividuato a meo di multipli iteri di 2π. Si ha quidi u isieme θ + 2π Z. Osserviamo che se ρ = 0 cioè z = 0) arg z resta idetermiato. Partedo dalla codizioe z z 2 = 0 si ha coseguetemete z = z 2 Rz = Rz 2 Iz = Iz 2, z = z 2 z = z 2 arg z = arg z 2 + 2π

xxxviii 2. Argometo pricipale Può essere coveiete fissare u argometo. L argometo pricipale., Arg z, è fissato i modo che risulti π < Arg z π sigy)) π 2. x = 0, arcta y Arg z = x x > 0, ossia θ π 2, π 2 ) π + arcta y x x < 0, y 0, ossia θ π 2, π] π + arcta y x x < 0, y < 0, ossia θ π, π 2 ) Ifatti Arg z = θ: Arg z è l uica soluzioe i π, π] del sistema cos θ = si θ = x x 2 +y 2 y x 2 +y 2 ) Se x = 0 allora si ha il sistema { cos θ = 0 si θ = y y π < θ π π < θ π la cui uica soluzioe del sistema sopra descritto è 2) Nel caso si ha il sistema cos θ = si θ = θ = sigy)) π 2. x x 2 +y 2 y x 2 +y 2 x 0, ossia l uioe dei tre sistemi ta θ = y x ta θ = y x x > 0 x < 0, y 0 π 2 < θ < π π 2 2 < θ π π < θ π ta θ = y x x < 0, y < 0 π < θ < π 2 Esercizio precedetemete risolto vedi fuzioi trigoometriche).. 22. Prodotto Prodotto di due umeri complessi i forma trigoometrica z = rcos θ + i si θ) r = z θ = arg z w = ρcos ρ + i si ϕ) ρ = z ϕ = arg w z w = rρ[cos θ cos ϕ si θ si ϕ) + isi θ cos ϕ + si ϕ cos θ)] aturalmete = rρ[cosθ + ϕ) + i siθ + ϕ)] z w = z w [cosarg z w)) + i siarg z w))]

Per cui 25. RADICI xxxix z w = z w arg z w) = arg z + arg w. Esercizio 22.. Utilizzado il pricipio di iduzioe dimostrare z = z cos arg z + i si arg z), N 23. Forma espoeziale di u umero complesso Notiamo che la fuzioe fθ) = cos θ + i si θ verifica fθ) fϕ) = fθ + ϕ) Tale proprietà è tipica dell espoeziale. Poiamo e la scrittura z = z e i θ e iθ = cos θ + i si θ espoeziale complessa). Notiamo che e iθ =,ifatti e iθ = cos 2 θ + si 2 θ =. Osserviamo che poiché arg z w) = arg z + arg w. Defiizioe di espoeziale i C. e z = e x+iy = e x e iy = e x cos y + i si y) e z = e x arg e z = y + 2π Z Osserviamo che moltiplicare z per e iϕ equivale a far effettuare a z ua rotazioe di ϕ. 24. Formule di Eulero. Da cui si z e cos z i C Dalla formula e iθ = cos θ + i si θ e iθ = cos θ i si θ si z = eiz e iz 2i cos θ = eiθ + e iθ 2 si θ = eiθ e iθ 2i e iθ = cos θ + i si θ e iθ = e iθ cos z = eiz + e iz 2 abbiamo per θ = π e iπ + = 0, ota come l idetità di Eulero. oppure Remar 3. 25. Radici z = w Rz = Rw, z = w z = w Iz = Iw arg z = arg w + 2π, Z

xl quidi 26. Radici sime di u umero complesso Diciamo w radice sima di z se e solo se w = z. Suppoiamo z 0, allora w = w e iϕ z = z e iθ w = w e iϕ = z e iθ w = z ϕ = θ + 2π ossia { w = z ϕ = θ + 2π)} Z al variare di le radici sime o soo ifiite; vi soo solo radici distite ifatti coicide modulo 2π) co ϕ ϕ +p = θ + 2π) + 2πp ϕ 0 = θ ϕ = θ + 2π ϕ 2 = θ + 4π ϕ = θ + 2π) {z / } radici sime di z: w = z arg w = θ + 2π = 0,, 2,..., z = z e iθ Dado a i valori iteri cosecutivi si hao gli argometi: φ 0 = θ φ = θ + 2π, φ 2 = θ + 4π,..., φ = θ + e poi i valori si ripetoo. Esercizio 26.. Calcolare le radici -sime dell uità immagiaria ) 2π, Esercizio 26.2. Calcolare le tre radici cubiche del umero complesso z = 4. r. Calcoliamo il modulo e l argometo: Risulta ρ = 4, θ = 0. z = 4 3, z 2 = 4 2 3 cos 3 + i si 2 3 3 ) = 2 + i 2, z 3 = 4 4 3 cos 3 + i si 4 3 3 ) = 2 i 2.

27. LA FORMULA DEL BINOMIO E LA FORMULA DI EULERO xli 27. La formula del Biomio e la Formula di Eulero La formula di Eulero: per x R, i uità immagiaria i 2 =. Ricordiamo la Formula di triplicazioe cos x = eix + e ix 2 cos 3x + i si 3x = e ix ) 3 = cos x + i si x) 3 = = cos 3 x i si 3 x + 3i cos 2 x si x 3 si 2 x cos x. Uguagliado la parte reale e la parte immagiaria dei due umeri Più i geerale si ha cos 3x = cos 3 x 3 si 2 x cos x si 3x = si 3 x + 3 cos 2 x si x Proposizioe 3. Si ha ) )π cos x = cos 2 cos x si x, Dimostrazioe. e ix + e ix ) e ix ) + e ix ) ) cos x = = = 2 2 cos x + i si x) + cos x i si x) = 2 ) cos xi si x) + cos x i si x) = 2 ) i) + i) cos x si x = 2 ) iπ e 2 ) + e iπ 2 ) cos x si x = 2 ) i )π e 2 ) + e i )π 2 ) cos x si x = 2 ) )π cos cos x si x 2 N Esercizio 27.. Dalla formula di Eulero, x R, i uità immagiaria i 2 =. si x = eix e ix, 2i ricavare che si x = ) )π si cos x si x, 2 N