Principio di induzione: esempi ed esercizi Principio di induzione: Se una proprietà P n dipendente da una variabile intera n vale per n e se, per ogni n N vale P n P n + allora P vale su tutto N Variante del principio di induzione: Se una proprietà P n dipendente da una variabile intera n vale per un intero n 0 e se, per ogni intero n n 0 vale P n P n + allora P vale da n 0 in poi n 0 può essere un intero relativo Esercizi: Si possono dimostrare per induzione le seguenti proprietà: 3 n n + n n n + n + 3 n n + 5 Se x > allora + x n + nx n! n 7 n > n + per ogni intero n 3 8 n > n per ogni intero n 5 9 a n b n a b a n + a n b + + ab n + b n da cui segue + q + q + + q n qn+ q per ogni q 0 Ogni insieme di n elementi ha n sottoinsiemi n n + n + n 3 a + b n 0 a b n
Dimostrazioni n n + La proprietà è vera per n : Supposta vera per n verifichiamo per n + : n n + + n + + n + n + + n La proprietà è vera per n : + n + n + Supposta vera per n verifichiamo per n + : + n + n + n + n + 3 n n + n + Vero per n : + + Verifica che P n P n + : + n + n n + n + + n + n n + + n + n + n + n + 7n + n + n + n + 3 3 n n + Vero per n Verifica che P n P n + : 3 3 + n + 3 n n + + n + 3 n + n + 5 + x n + nx Per n vale l uguaglianza P n P n + : + x n+ + x n + x + nx + x + n + x + nx + n + x si noti che la prima disuguaglianza della riga precedente vale perché perché nx 0 n! n : banalmente vera con l uguale per n e per n P n P n +, infatti n +! n + n! n + n n n perché n + + x > 0 e la seconda 7 n > n + per ogni intero n 3 Falso per n e per n, vero per n 3 P n P n + per ogni n 3, infatti n + n + n + > n + + n + 7 + n + n + 8 > n + + 8 n > n per ogni intero n 5 La proposizione è falsa per n,, 3, vera per n 5 Per ogni n 5 si ha P n P n + : n+ n > n n + n > n + n + per la proposizione precedente
9 a n b n a b a n + a n b + + ab n + b n Ovvio per n Per il passaggio da n ad n + si può procedere così: a n+ b n+ a n+ a n b + a n b b n+ a n a b + b a n b n a n a b + b a b a n + a n b + + ab n + b n a b a n + a n b + + ab n + b n Ponendo nella formula precedente a, b q si ottiene per q + q + q + + q n qn+ che può essere verificata, nel passaggio da n ad n +, così: q q q + q n+ qn+ + q n+ qn+ + q n+ q n+ qn+ q q q 0 0 N B Da S n q + q + q + + q n si ottiene q S n q q + q + + q n+ 0 da cui, sottraendo de due uguaglianze, S n qs n q S n q n+, quindi S n qn+ q 0 Ogni insieme di n elementi ha n sottoinsiemi Ovvio per n Supponiamo che E n abbia n sottoinsiemi e sia E n+ E n {z} dove z / E n Dividiamo i sottoinsiemi di E n+ in due famiglie: quella dei sottoinsiemi di E n+ che non contengono z e quella dei sottoinsiemi di E n+ che lo contengono La prima famiglia è costituita da tutti i sottoinsiemi di E n che sono n, ogni insieme della seconda famiglia può essere costruito come unione di {z} con un insieme della prima: abbiamo ancora n insiemi: In tutto n + n n+ n n + Per n si ha + Per il passaggio da n ad n + : + n + 8n + 3 n n + + n + n + 3 n + 3n + n + n + 3 n + n + 3 Osservazione: questa uguaglianza può essere dimostrata direttamente tenendo conto che quindi + + n+ n + n n + N B Nei passaggi precedenti si è fatto un cambiamento di variabile: ponendo h si ottiene + Si sono poi semplificati tutti i termini che compaiono col segno h h opposto nella prima e nella seconda somma n + Per n si ha n 3 Per il passaggio da n ad n + : + n + n + + n + n + n n+ n n+ n+ 3 n + + n+
Osservazione: per questa uguaglianza, come per la maggior parte delle precedenti, è essenziale verificarne la validità per almeno un valore di n : l implicazione P n P n + vale anche in 7 n + ma questa uguaglianza è sempre falsa a 7 si può sostituire qualunque n numero diverso da e l uguaglianza resta falsa 3 a + b n 0 a b n È bene ricordare che per ogni n > 0 e per ogni : 0 < < n vale l uguaglianza n n + infatti n n n! +! n! + n!! n +! n!! n! + n!! n! n! n +! n! L uguaglianza a + b n 0 n n!! n! n!! n! a n b a n + a n b + a n b + + a n b + + b n è vera per n Supposta vera per n cioè n n n a + b n a n + a n b + a n 3 b + + a n b + + b n scriviamo incolonnando i fattori simili a + b n a + b n a + b { a n + n a n b + n a n 3 b + + n a n b + + b n } a + b an + n a n b + n a n b + + n a n b + + ab n + a n b + + n a n b + + n ab n + b n a n b + ed otteniamo il risultato: il coefficiente di a n b è: n + n n
Esercizi i Calcolare il coefficiente di x 9 y nello sviluppo di 3 x y 3 y 9 x 3 x y 3 y 9 x 9 9 3 0 9 9 3 x y 3 0 x y 3 9 y 8 x 9 Deve essere quindi il coefficiente cercato è 9 3 3 9 8 7 3 3 8 3 3 3 3 9 ii Risolvere l equazione 8 Ricordando che n n! 7 7! n 7!, n 9 7 n 5 y 9 x 9 n 5 0 n! 5! n 5! 9 3 9 x 3 3 9 y 8 n intero maggiore di l equazione è: n! 8 7! n 7! 9 n! semplificando per n! 5! n 5! 8 7! n 7! 9 e riscrivendo meglio 5! n 5! 8 7 5! n 7! 9 5! n 5 n n 7! semplificando ancora per tutto il semplificabile 8 7 9 dunque n 5 n 8 7 n 5 n Le soluzioni sono n e n 33 quindi l unica soluzione è n 33 iii Risolvere l equazione 5 8 Da n! 5! n 5! n! 8! n 8! n 5 n n 7 8 7 cioè n intero maggiore di 8 si ottiene l equazione di terzo grado n 3 8n + 07n 3 0 Certamente n 3 è soluzione, per la simmetria del coefficiente binomiale Dividendo per n 3 ci si accorge che non esistono altre soluzioni reali: n 3 8n + 07n 5 n 3 n 5n + iv Risolvere l equazione 5 9 n intero maggiore di 9 Procedendo come sopra si ottiene l equazione di quarto grado 5
n 5 n n 7 n 8 9 8 7 cioè n n 3 + 5n 0n 3 Di questa equazione conosciamo la soluzione n e si può verificare che anche n è soluzione dell equazione per noi da scartare, almeno per il momento Non esistono altre soluzioni reali: n n 3 + 5n 0n 3 n n + n 3n + 9 v Calcolare Ricordando che n + n n + si ottiene: 5 n 5 5 5 + n 5 n n + 0 n + 5 n + n 55 Altre proprietà che si possono verificare per induzione n + x + x + x + x + x n x n+ x Per ogni a intero dispari n+ divide a n per induzione su n 9 n+ + n+ è divisibile per Ogni insieme finito ammette sempre sia massimo che minimo