Proprieta' meccaniche del corpo Fino ad adesso abbiamo considerato il corpo umano come un corpo rigido, in realta' ogni parte del corpo ha una certa elasticita' che gli permette di deformarsi, se la forza applicata non e' troppo elevata, senza rompersi. I vari componenti del corpo possono essere classificati in molti modi, per esempio: - elementi passivi: ossa e tendini rispondono alle forze esterne - elementi attivi: muscoli, generano forza. Classificazione, come sempre, risulta grossolana e non precisa, infatti per esempio i muscoli sono sia passivi che attivi, hanno cioe' anche una componente passiva. Ci occupiamo dello studio degli elementi passivi. Appunti tratti da Physics of the Human Body Irving P. Herman Donatella Lucchesi 1
Proprieta' meccaniche del corpo Ci limitiamo a elementi passivi che rispondono a forze esterne: - seguendo la legge di Hook (molla, oscillatore armonico) - in modo indipendente dal tempo; - restituendo l'energia potenziale immagazzinata. Nessun materiale ha un comportamento perfettamente elastico. La figura mostra la deformazione del materiale in funzione della sollecitazione. Si vede la regione elastica, in cui il materiale torna alle condizioni iniziali rimossa la sollecitazione e la regione di deformazione plastica. Donatella Lucchesi 2
Comportamento delle molle La molla, sollecitata da una forza, risponde seguendo la legge di Hooke F = k Δ L û F e' la forza sentita da una oggetto attaccato alla molla di costante elastica elastica k allungata di Δ L m Molla a riposo: nessuna forza agisce su m L ΔL m Molla allungata: forza di richiamo F = k Δ L û m Molla compressa: forza di spinta F =k Δ L û L ΔL Energia immagazinata da una molla=lavoro fatto per spostare corpo di Δ L che costituisce energia potenziale U = 1 2 k L2 cost. Rappresentano il comportamento di un qualsiasi materiale passivo. Donatella Lucchesi 3
Relazione Stress-Strain e Energia Immagazzinata Assumiamo che il materiale si deformi in una unica direzione, A sia l'area trasversa dell'oggetto, la lunghezza a risposo e F a sia la forza applicata alla molla F a = F : F a A = k A L strain modulo di Young stress = Relazione di stress-strain valida ε <<1 U = 1 2 k A L 2 2 2 V A cost. U = 1 2 2 V cost. U = 1 2 U = 1 2 V cost. 2 V cost. Donatella Lucchesi 4
Esempio: accorciamento del femore Quanto si accorciano le ossa sottoposte a compressione, stress. Assumiamo valida la relazione stress-strain fino al punto di rottura che corrisponde a σ~170 10 6 N/m 2 per ossa compatte. Dalla relazione di stress-strain: = Y = L (strain) Accorciamento del femore quando si e' in piedi su una gamba sola. Peso del corpo: 700N, area del femore A=370mm 2 σ=1.9 10 6 N/m 2 Per =0.5 m Y=179 10 8 N/m 2 ε=0.01 10-2 =0.01% ΔL=ε =5 10-1 x1 10-4 = 5 10-5 m =0.05mm =50μm Strain corrispondente a stress massimo ε=170 10 6 /179 10 8 =0.95 10-2 =0.95% ΔL=ε =5 10-1 x0.95 10-2 ~5 10-3 m = 5 mm Donatella Lucchesi 5
Esempio: Energia immagazinata dal femore durante la corsa Quando si cammina la forza diretta verso l'alto e' F=6400N e Possiamo assumere che sia tutta sul femore. Le dimensioni del femore sono: =0.5 m, A=370 10-6 m 2, V=185 10-6 m 3 Modulo di Young, y=179 10 8 N/m 2 Lo stress σ=17 10 6 N/m 2 U = 1 2 2 V = 1 2 17 10 6 2 179 10 8 185 10 6 =1.5 Nm=1.5 J Se la stessa quantita' e' immagazinnata nella tibia e nel perone abbiamo da 3 a 4J disponibili nelle ossa lunghe che e' molto poco confrontato con i 100J necessari per un passo. Donatella Lucchesi 6
Comportamento del tendine di Achille Prendiamo come esempio la corsa. La forza sul tendine di Achille e' di 4700N Area del tendine A=89mm 2 = 89 10-6 m 2 σ=53 10 6 N/m 2 Il punto di rottura si ha per σ=100 10 6 N/m 2 non lontano dal valore stimato per la corsa per cui correndo si puo' rompere il tendine. Stress(N/mm 2 ) Calcoliamo l'allungamento: σ=53 10 6 N/m 2 corrisponde ε=6% =250mm ΔL=ε =15mm Determiniamo l'energia immagazzinata: U = 1 2 V = 1 2 A U = 1 2 53 106 N m 2 0.06 89 10 6 m 2 0.25m U =35.4 N m=35.4 J Strain(%) Donatella Lucchesi 7
Generiche Relazioni Stress-Strain - Regione elastica, vale la legge di Hooke: relazione lineare tra stress e strain; il materiale torna alla condizione iniziale rimosso lo stress - Regione plastica o di deformazione permanente: lunghezza e forma del materiale sono diversi da quelli iniziali rimosso lo stress. Raggiunto Ultimate Tensile Stress il materiale arriva al punto di rottura. Donatella Lucchesi 8
Generiche Relazioni Stress-Strain-2 Curve di stress-strain per diversi materiali, comportamento diverso a causa della diversa struttura microscopia dei materiali. Ceramica: segue la legge di Hooke poi si rompe. Metalli: ampia regione non-elastica Polimeri: si distorcono molto anche con piccoli stress Donatella Lucchesi 9