Relazione di Fisica Generale II La corrente elettrica e i circuiti elementari Antonella Sara Montella Stefano Tagliaferri Angela Vagnetti
Teoria delle bande All interno di un metallo gli elettroni possono essere localizzati attorno al proprio atomo o delocalizzati su tutto il reticolo cristallino. Gli elettroni localizzati sono confinati in livelli energetici profondi, detti livelli di core. Quelli delocalizzati si dispongono in livelli energetici estesi a tutto il solido e divisi in due bande: la banda di conduzione e la banda di valenza. (Fig. 1) Gli elettroni situati nella banda di valenza non contribuiscono alla conduzione elettrica. Al contrario, gli elettroni della banda di conduzione sono liberi di muoversi su tutto il reticolo cristallino, determinando le proprietà conduttive del metallo. Il numero di elettroni presenti nella banda di conduzione dipende dalle proprietà chimiche del metallo, ed è quindi determinato dalla sua posizione nel sistema periodico. In un metallo del primo gruppo, ad esempio il litio (Li), per ogni atomo si ha un solo elettrone nella banda di conduzione. In un metallo del secondo gruppo, ad esempio il magnesio (Mg), per ogni atomo si hanno due elettroni nella banda di conduzione, mentre nei metalli del terzo gruppo per ogni atomo si hanno tre elettroni di conduzione. Nel quarto gruppo sono presenti elementi con comportamenti molto differenti, tra cui il carbonio (conduttore nella forma allotropica della grafite, isolante come diamante) e il germanio (semiconduttore). Dal quinto gruppo in poi sono presenti veri e propri dielettrici senza alcuna proprietà conduttiva allo stato elementare. Tra i metalli di transizione vanno ricordati il rame, l argento e l oro, in cui, per ogni atomo di metallo, si ha un solo elettrone nella banda di conduzione. Esempio n.1: Calcoliamo gli elettroni di conduzione per unità di volume del rame. Nel rame ogni atomo mette in condivisione un elettrone. Dati: m = densità di massa del rame A = massa atomica del rame m(a) = massa in kg di un atomo di rame n = numero di elettroni per unità di volume ρ m = 8.9 10 3 kg m 3 A = 63.5 u. m. a. m(a) = 63.5 1.66 10 27 kg n = ρ m m(a) = 8.44 1028 elettroni/m 3 Intensità di corrente Definiamo portatori di carica corpi che muovendosi con la loro carica determinano una corrente elettrica. Consideriamo un filo conduttore in cui si muovano portatori di carica. Supponiamo che il filo sia percorso da portatori di carica positivi, dotati di velocità v. In un intervallo di tempo t la sezione è attraversata da una carica totale q. (Figg. 2 e 3) 1
Definiamo intensità di corrente elettrica i il rapporto: i = Δq Δt La corrente è quindi pari alla quantità di carica che attraversa la sezione in un intervallo di tempo unitario. L unità di misura della corrente è l ampere A: [i] = [Δq] [Δt] = C s = A L ampere è una delle sette unità fondamentali del Sistema Internazionale. Il coulomb è invece considerato un unita derivata: C = A s Densità di corrente La corrente i dipende da: Parametri geometrici: (sezione del filo) Parametri microscopici: q (carica dei portatori) v (velocità dei portatori) n (numero di portatori di carica per unità di volume) Supponiamo che le cariche presenti in un tratto di filo di volume V attraversino la sezione in un intervallo di tempo t. La carica più lontana da si trova a una distanza x = v t (lunghezza AB). (Figg. 4 e 5) ΔV = Σ v Δt Indichiamo con ΔN il numero totale di portatori di carica, con n il numero di portatori di carica per unità di volume e con Δq la carica totale che attraversa ΔN = n ΔV Δq = q ΔN 2
Sostituendo: Δq = q n Σ v Δt i = Δq = (n q v) Σ Δt Poiché i è proporzionale a definiamo la densità di corrente J: J = i Σ [J] = [i] [Σ] = A/m2 Dalle relazioni precedenti: J = n q v Possiamo infine attribuire a J un carattere vettoriale: J = n q v Se la carica dei portatori è positiva, il vettore velocità e il vettore densità di corrente sono paralleli e concordi (Fig. 6). Se la carica dei portatori è negativa, il vettore velocità e il vettore densità di corrente sono paralleli e discordi. (Fig. 7) Relazione tra densità e intensità di corrente (caso generale) Se è la sezione normale al filo e la densità di corrente J è uniforme (Fig. 8): i = J 3
Se invece è una sezione obliqua e la densità di corrente J è uniforme, la quantità di carica che attraversa è la stessa che attraversa = cos (Fig. 9) i = J = J cos J n ) Se infine è una sezione curva e la densità di corrente J non è uniforme, dividiamo in tanti elementi e calcoliamo l intensità di corrente i su ogni elemento. (Fig. 10) i = J n Sommiamo poi tutti i contributi, facendo tendere a zero. i = lim ΔΣ 0 J n ΔΣ = J n dσ Σ i = Φ Σ ( J ) La velocità di deriva All interno di un metallo, gli elettroni si muovono in modo caotico e le loro traiettorie sono approssimabili a delle spezzate. In seguito verrà spiegato meglio quali siano le traiettorie classiche degli elettroni. Possiamo per ora assumere che gli elettroni si muovano tutti con la stessa velocità. Nella descrizione macroscopica è dunque più corretto parlare di velocità media degli elettroni. Definiamo quindi velocità di deriva la velocità media che gli elettroni assumono in un metallo in cui circola corrente elettrica. Esempio n.2: Abbiamo verificato nell esempio n.1 che il rame ha n = 8.44 10 28 elettroni/m 3 e sappiamo che la carica degli elettroni è (in modulo): e = 1.6 10 19 C. Consideriamo un filo di rame sezione mm 2 e un intensità di corrente i = 1 A. Calcoliamo la velocità di deriva. J = i Σ = 1 A 10 6 m 2 = 106 A/m 2 J = n e v v = J n e = 10 6 8.44 10 28 1.6 10 19 m s = 7.4 10 5 m/s 4
La velocità di Fermi La disposizione degli elettroni all interno della banda di conduzione di un metallo avviene secondo il principio di Pauli: si riempiono prima gli stati a minore energia, poi quelli a energia crescente. È detta energia di Fermi (E F ) la massima energia che gli elettroni possono assumere nella banda di conduzione. Si tratta di un energia esclusivamente cinetica (possiamo considerare gli elettroni di conduzione come particelle libere), a cui è associata la velocità di Fermi, v F (caratteristica propria del materiale). E F = 1 2 mv F 2 Elemento Energia di Fermi ev Velocità di Fermi x10 6 m/s Li 4.74 1.29 Na 3.24 1.07 K 2.12 0.86 Cu 7.00 1.57 Ag 5.49 1.39 Au 5.53 1.40 Mg 7.08 1.58 Ca 4.69 1.28 Nb 5.32 1.37 Fe 11.1 1.98 Zn 9.47 1.83 Hg 7.13 1.58 Al 11.7 2.03 Ga 10.4 1.92 Relazione tra la velocità di deriva e la velocità di Fermi Si può notare che v F >> v La velocità di Fermi rappresenta infatti la velocità istantanea che un elettrone ha nel metallo (anche quando questo non è collegato ad alcun circuito). La velocità di deriva esprime invece la velocità media di tutti gli elettroni che circolano in un metallo a cui sia applicata una differenza di potenziale. Solo una piccola componente della velocità istantanea di ogni elettrone contribuisce alla velocità di deriva complessiva di tutte le particelle. 5
Regimi stazionari Consideriamo un sistema fisico esteso caratterizzato da una grandezza fisica assegnata punto per punto, che possa essere rappresentata con una mappa. Diremo che il sistema si trova in regime stazionario se la mappa che lo descrive risulta invariata nel tempo. Vediamo un esempio: Esempio 4: Consideriamo come sistema in esame l atmosfera terrestre, che descriviamo attraverso il campo della pressione atmosferica e quello della velocità dei venti. Il sistema è quindi rappresentato dalla mappa scalare delle pressioni (Fig. 12) e da quella vettoriale della velocità dei venti (Fig. 13), in funzione di latitudine e longitudine. Una mappa può essere interpretata come una fotografia del sistema in un dato istante. Se le fotografie del sistema non cambiano nel tempo, possiamo dire di essere in presenza di un regime stazionario. Ciò non vuol dire che il sistema sia in una condizione di equilibrio statico. Si trova invece in una condizione di equilibrio dinamico, mantenendo inalterate le proprie caratteristiche al trascorrere del tempo. Un discorso analogo vale per sistemi elettromagnetici in regime stazionario. Se ci troviamo in regime stazionario, ad esempio, la quantità di carica Q che si trova in una regione del sistema è costante al trascorrere del tempo. (Figg. 14 e 15) Quindi considerati due istanti t 0 e t 0+ t, risulta: Q( t 0 + t ) = Q( t 0 ) q 1 - q 2 Siccome Q( t 0 + t ) = Q( t 0 ), segue che: q 1 = q 2 6
Δq 1 Δt = Δq 2 Δt i 1 = i 2 In regime stazionario la corrente ha lo stesso valore ad ogni sezione del circuito. Ad esempio consideriamo un filo a sezione variabile. (Fig. 16) Se il regime è stazionario: i 1=i 2 Quindi J 1 J 2 La densità di corrente è inversamente proporzionale alla sezione. Prima legge di Kirchoff Dalle considerazioni fatte nel paragrafo precedente segue la prima legge di Kirchoff (legge dei nodi). Consideriamo k fili entranti in un nodo. Diremo che la corrente è positiva se esce dal nodo, negativa se entra nel nodo (Fig. 17) Se il regime è stazionario, la somma delle correnti è nulla. i k = 0 k Considerando una superficie chiusa che contenga un circuito in regime stazionario, potremo così generalizzare la prima legge di Kirchoff: Φ Σ ( J ) = 0 7
Seconda legge di Kirchoff Consideriamo un generico circuito costituito da un generatore e da un utenza. Il generatore compie un lavoro non conservativo per trasportare una quantità di carica q da A a B. (Fig. 18) Per il Teorema dell Energia Meccanica: E mecc (B) E mecc (A) = L nc L energia cinetica dei portatori di carica può essere considerata trascurabile (gli elettroni hanno massa molto piccola e velocità di deriva molto bassa). E mecc (B) E mecc (A) = U(B) U(A) U(B) U(A) = L nc Δq V(B) Δq V(A) = L nc = ΔL g V(B) V(A) = ΔL g Δq Si definisce f.e.m.: f. e. m. = ΔL g Δq Nota: La forza elettromotrice ha le stesse unità di misura di un potenziale elettrostatico, pur non essendo un potenziale. [f. e. m. ] = V Sulla base di tali considerazioni, possiamo enunciare la seconda legge di Kirchoff: f. e. m. = V(B) V(A) 8
Esempio n.5: Applichiamo la seconda legge di Kirchoff a un circuito costituito da un condensatore di capacità C collegato a un generatore di f.e.m. pari a f (Fig.19) V = q C Si ha quindi, per la seconda legge di Kirchoff: f = q C Potenza del generatore Definiamo la potenza di un generatore come: P g = ΔL g Δt Per definizione di f.e.m: Δq f. e. m. = ΔL g Dunque: P g = Δq f. e. m. Δt = f. e. m. i Campo elettromotore Nel volume del generatore, le cariche sono spinte da una forza motrice. 9
Consideriamo il lavoro compiuto dalla forza motrice ΔF m per spostare la carica Δq dal punto A al punto B del circuito. (Fig. 20) B ΔL g = ΔF m ds A Definiamo campo elettromotore: E m = ΔF m Δq Il campo elettromotore è quindi pari alla forza motrice che si esercita sulla carica unitaria. Nota: Il campo elettromotore E m ha le stesse unità di misura del campo elettrostatico: [E m ] = V m Tuttavia il campo elettromotore non è mai un campo elettrostatico, poiché quest ultimo è conservativo, mentre E m non è conservativo. In base alla definizione di campo elettromotore, è possibile esprimere la f.e.m. del generatore come: f. e. m. = ΔL g Δq = ΔF m Δq ds A B B = E m ds A Legge di Ohm Consideriamo un circuito in cui un conduttore sia collegato a un generatore di f.e.m. variabile. Supponiamo di misurare con un amperometro l intensità di corrente nel circuito al variare della tensione. (Fig. 21) 10
Dall analisi di dati sperimentali, si nota un diretta proporzionalità tra la differenza di potenziale ai capi del conduttore e l intensità di corrente che circola in esso. (Fig. 22) Ponendo R come costante di proporzionalità, si ottiene la legge di Ohm (in forma integrale): V = R i Consideriamo come conduttore un filo di lunghezza l e sezione Σ, in cui sia presente un campo elettrico uniforme E. La differenza di potenziale ai capi del conduttore è proporzionale al campo elettrico al suo interno: V = E l L intensità di corrente è proporzionale alla velocità di deriva dei portatori di carica: i = J Σ = n q v Σ Quindi, in base alla legge di Ohm, deve esserci una legge di proporzionalità che lega la velocità di deriva delle cariche al campo elettrico applicato: v E Se le cariche all interno del metallo si muovessero come particelle libere, in presenza di un campo elettrico (e quindi di una forza elettrica) esse dovrebbero sviluppare un accelerazione costante, proporzionale all intensità del campo. Tuttavia, la velocità di deriva dei portatori di carica risulta costante e direttamente proporzionale all intensità del campo elettrico; quindi le cariche non si comportano come particelle libere. Si può supporre che su di esse agisca una forza resistente determinata dall effetto medio degli urti che subiscono. Modello di Drude Nel modello di Drude si suppone che sui portatori di carica agisca una forza resistente F V proporzionale alla loro velocità. Si ha un equazione analoga a quella per il moto di corpo in un fluido viscoso. F E m τ v = m dv dt Per ottenere la velocità limite, poniamo la derivata della velocità uguale a zero, essendo v costante. F E m τ v = m dv dt = 0 Per la definizione di campo elettrico: F E = q E Da cui si ricava: m v τ = q E Otteniamo la velocità limite: q E = m τ v v = τ q E m Si definisce mobilità dei portatori di carica μ: μ = q τ m 11
Valutiamo le unità di misura della mobilità: [μ] = [q] [τ] [m] = m2 V s Mobilità degli elettroni (Electron mobility) (cm 2 V -1 s -1 ) Mobilità delle lacune (Hole mobility) (cm 2 V -1 s -1 ) Ge 3800 1800 Si 1350 450 GaAs 6000 330 SiC 800 120 GaN 1800 150 Legge di Ohm in forma locale Possiamo esprimere la densità di corrente all interno di un conduttore in funzione della mobilità dei portatori di carica: J = n q v = n q τ E m = μ n q E Si definisce conducibilità elettrica σ: σ = n q2 τ m = μ n q Sostituendo nell equazione precedente, otteniamo la legge di Ohm in forma locale: Definiamo la resistività ρ come: J = σ E ρ = 1 σ Dunque risulta: E = ρ J Materiale Resistività ρ x10-8 Ωm Conducibilità σ x10 7 (Ωm) -1 Argento 1.59 6.29 Rame 1.68 5.95 Alluminio 2.65 3.77 Ferro 9.71 1.03 Platino 10.6 0.943 Piombo 22 0.45 Mercurio 98 0.10 12
Resistività nei conduttori Dalle definizioni di conducibilità e resistività: σ = n e2 τ m ρ = m n e 2 τ Nei conduttori il numero di portatori di carica per unità di volume (n) è costante, quindi la resistività dipende solo da Possiamo supporre che gli elettroni si muovano in modo caotico attraverso il reticolo cristallino di un conduttore. Durante il loro moto, gli elettroni subiscono continue deviazioni, dovute a urti. Tra un urto e il successivo il moto dell elettrone è libero e la traiettoria è rettilinea. Definiamo quindi libero cammino medio l la lunghezza media dei tratti che l elettrone percorre di moto rettilineo uniforme. (Fig. 23) rappresenta il tempo medio che intercorre tra gli urti dell elettrone. Dallo studio della conducibilità dei materiali si ricava che: τ 10 12 /10 14 s Sulla base di tali considerazioni, la velocità di Fermi è data da: v F = l τ Noti τ e v F ricaviamo che: l 10/100 nm Nell intervallo di tempo che intercorre tra due urti, l elettrone percorre quindi una distanza l ben maggiore del raggio atomico. Se ne deduce che le deviazione degli elettroni non sono dovute ad urti contro gli atomi. Analizziamo allora le cause degli urti. Motivi di scattering degli elettroni Un blocco di metallo è costituito da grani cristallini (regioni con diversa orientazione degli strati atomici). Le zone di contatto tra grani diversi sono dette bordi di grano. (Fig. 24) 13
Lo scattering (diffusione) degli elettroni è legato a fattori di disordine della struttura cristallina. Distinguiamo fattori di disordine statico e fattori di disordine dinamico. I fattori di disordine statico sono: Difetti strutturali in corrispondenza del bordo di grano (dove si hanno variazioni dell allineamento degli strati atomici) Impurità chimiche I fattori di disordine dinamico sono: Vibrazioni degli atomi del reticolo causate dall agitazione termica. All aumentare della temperatura, aumentano le vibrazioni e di conseguenza anche la probabilità che gli elettroni urtino. Contribuiscono alla resistività di un metallo due termini: ρ 0 e ρ T. ρ = ρ 0 + ρ T ρ 0 dipende dalle impurità del materiale, ρ T è dovuto all agitazione termica. A basse temperature il contributo ρ T è trascurabile e la resistività dipende esclusivamente dalle impurità presenti nel materiale. ρ = ρ 0 ρ 0 prende il nome di resistività residua. (Fig. 25) 14
Semiconduttori e superconduttori In un semiconduttore il numero dei portatori di carica non è costante, ma aumenta all aumentare della temperatura. Dunque la resistività di un semiconduttore diminuisce all aumentare di T. (Fig. 26) I superconduttori sono invece materiali in cui la resistività si annulla al di sotto di una temperatura di soglia, detta temperatura critica. (Fig. 27) La temperatura critica è caratteristica per ogni materiale. Tra i superconduttori vi sono: alcuni metalli allo stato elementare (tra cui l alluminio e il piombo), leghe metalliche (come MgB 2) e composti ceramici (come YBaCu 3O 7). SUPERCONDUTTIVITÀ: TEMPERATURA CRITICA DI ALCUNE SOSTANZE SOSTANZA K SOSTANZA K Alluminio 1,20 Gallio 1,09 Mercurio 4,16 Indio 3,40 Piombo 7,22 MgB 2 39 Zinco 0,54 YBaCu 3O 7 90 15
Il campo elettrico all interno un superconduttore in cui scorre corrente è nullo. Non si ha potenza Joule dissipata. Inoltre la differenza di potenziale ai capi di un superconduttore in cui scorre corrente è nulla. (Fig.28) V(B) V(A) = 0 Legge di Ohm: passaggio dalla forma locale a quella integrale Per la legge di Ohm in forma locale: E = ρ J Consideriamo un filo di lunghezza L percorso da corrente elettrica. Supponiamo che al suo interno sia presente un campo elettrico uniforme. (Fig. 29) Poniamo V(A) V(B) = V V = E l E = V L Per definizione di densità di corrente: i = J Σ J = i Σ Sostituendo nella legge di Ohm in forma locale: V l = ρ i Σ V = ρ L i Σ 16
Definiamo resistenza R: R = ρ L Σ Ricaviamo quindi la forma integrale della legge di Ohm: V = R i [R] = Ω = V A Da tale relazione possiamo ricavare l unità di misura della resistività: [ρ] = Ω m Circuito elementare Definiamo generatore ideale di f.e.m un dispositivo in grado di fornire una f.e.m. costante, indipendentemente dal carico alimentato. Consideriamo un circuito costituito da un generatore di f.e.m. ideale f0, chiuso su una resistenza elettrica R. (Fig. 30) Per la seconda legge di Kirchoff: f. e. m. = V(B) V(A) = i R Nota f 0, possiamo ricavare l intensità di corrente f 0 = i R i = f 0 R In un circuito elementare alimentato da un generatore di f.e.m. ideale, la corrente dipende quindi dal carico. Definiamo generatore ideale di corrente un dispositivo in grado di fornire un intensità di corrente costante, indipendentemente dal carico alimentato. Consideriamo un circuito costituito da un generatore di corrente ideale i0, chiuso su una resistenza elettrica R. (Fig. 31) Per la seconda legge di Kirchoff: f. e. m. = V(B) V(A) = i 0 R Nota i 0, possiamo ricavare la f.e.m. prodotta dal generatore: 17
f = i 0 R In un circuito elementare alimentato da un generatore di corrente ideale, la f.e.m. dipende quindi dal carico. Potenza dissipata in un carico resistivo Consideriamo una carica q che si muove dal punto A al punto B di un conduttore. Il lavoro necessario per spostare la carica è pari a: ΔL = Δq [V(B) V(A)] Dividendo per Δt otteniamo la potenza P: P = Δq Δt [V(B) V(A)] = i [V(B) V(A)] = i2 R = V2 R P è detta potenza Joule. Si tratta di una potenza dissipata in energia termica. 18