Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate..................... Condizione necessaria, mon sufficiente, per la convergenza..... 3.2 La serie geometrica................................. 3.3 Complementi sui numeri.............................. 5.3. Numeri razionali e allineamenti decimali periodici........... 6.4 La serie armoniche generalizzate......................... 7.5 Criteri per serie a termini positivi......................... 8.5. Criterio del confronto........................... 8.5.2 Criterio del rapporto............................ 9.5.3 Criterio della radice.............................5.4 Criterio del confronto asintotico...................... 2.6 Serie a termini di segno alterno.......................... 2.7 Serie assolutamente convergenti.......................... 4 Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Cerchiamo di dare un significato a una somma di infiniti numeri, come ad esempio: + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 n + (.) + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + n + (.2) + 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + + n 2 + (.3)
Per dare significato a una somma infinita, detta anche serie (numerica), del tipo = a 0 + a + a 2 +... + +... (.4) procediamo come segue. Consideriamo la successione delle somme parziali S n, dove, per ogni n in N, S n = a 0 + a + + Se la successione S n converge a un numero (finito) S, si dice che S è la somma della serie + e si scrive S = Se invece la successione S n delle somme parziali diverge a + (o a ) si dice che la serie + diverge a + (o a ). Se infine la successione delle somme parziali S n non converge e non diverge, non daremo alcun significato all espressione.4. In quest ultimo caso, si dice anche che la serie è indeterminata. Esempio. Consideriamo la serie n(n + ) = 2 + 2 3 + 3 4 + + n(n + ) (.5) La successione S n delle somme parziali è data da Poiché S n = 2 + 2 3 + 3 4 + n(n + ) = ( 2 ) + ( 2 3 ) + ( 3 4 ) + + ( n n + ) = n + la serie.5 è convergente e ha per somma : lim S n = n(n + ) = Esempio 2. Si consideri la somma infinita + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + +... (.6) 4 in cui ogni termine n è ripetuto n volte. Poiché la somma di n addendi uguali a n è uguale a, le somme parziali S m diventano arbitrariamente grandi, pur di prendere m sufficientemente 2
grande. Ne segue che la somma infinita.6 diverge a +. Si noti che il termine generale della serie.6 è infinitesimo (cioè tende a zero). Quindi questo esempio mostra che una serie numerica può divergere a + anche nel caso in cui il suo termine generale sia infinitesimo. Detto altrimenti, il fatto che il termine generale di una serie sia infinitesimo, non è sufficiente a garantire la convergenza della serie. In modo analogo si può dimostrare che la serie armonica diverge a +. n = + 2 + 3 + 4 (.7).. Condizione necessaria, mon sufficiente, per la convergenza Teorema.. Se una serie numerica Dimostrazione. Supponiamo che converge, allora = L. Questo significa che lim = 0. la somma parziale S k = a +... + a k. Ora si noti che = S n S n. Quindi: lim S k = L, dove S k è k + lim = lim (S n S n ) = lim S n lim S n = L L = 0 Si noti che l esempio della serie armonica.7 mostra che lim = 0 non implica convergente. (.8).2 La serie geometrica Una serie geometrica di ragione q è una somma infinita del tipo: Teorema.2. La serie geometrica ha il seguente carattere: q n = + q + q 2 + q 3 + q 4 +... + q n +... (.9) q n = + q + q 2 + q 3 + q 4 +... + q n +... (.0) 3
. Se q < converge a 2. Se q diverge a +. q. 3. Se q è indeterminata. Dimostrazione. La somma parziale S n è data, se q, da S n = + q + q 2 + q 3 + q 4 +... + q n = qn+ q Per dimostrare l ultima uguaglianza, si constati, facendo i conti, che ( q)( + q + q 2 + q 3 + q 4 +... + q n ) = q n+ Se < q <, la successione q n tende a zero. Quindi lim S n = lim qn+ q = q Dunque, se q <, la serie geometrica converge a q. Se invece q, è ovvio che la successione S n = + q + q 2 + q 3 + q 4 +... + q n tende a + e quindi la serie geometrica.9 diverge a +. Infine, se q, il termine q n+ tende a + in valore assoluto, ma ha alternativamente segno positivo e negativo. Quindi la successione delle somme parziali S n = qn+ q non ha limite. Pertanto, se q la serie geometrica è indeterminata. Esempio. La serie geometrica di ragione q = 2 converge, e si ha ( n 2 ) = + 2 2 + ( 2 ) + ( 3 2 ) + = 2 = 2 se q < (.) Per interpretare geometricamente il risultato, si divida l intervallo [0, 2] (la cui lunghezza è 2) nei due intervalli [0, ] e [, 2]; si divida ancora l intervallo di destra [, 2] in due parti uguali, e così di seguito. La lunghezza dell intervallo [0, 2] si può allora scrivere come somma infinita: 2 = + 2 + 2 2 +... 4
Esempio. [Achille e la tartaruga.] Usando un opportuna serie geometrica, discutere il seguente paradosso, formulato dal filosofo greco Zenone (V secolo a.c.). Achille insegue la tartaruga, che inizialmente ha un vantaggio di un metro. La velocità di Achille è di 0 metri al secondo; quella della tartaruga di metro al secondo. Dopo un decimo di secondo, Achille raggiunge la posizione iniziale della tartaruga, mon raggiunge la tartaruga, che nel frattempo si è spostata in avanti di dieci centimetri. Quando Achille avrà percorso anche questi dieci centimetri, non avrà comunque raggiunto la tartaruga, che nel frattempo, se pur di poco (un centimetro) si sarà spostata avanti. E così via. La tartaruga sarà sempre, se pur di poco, davanti a Achille. Dunque Achille non la raggiungerà mai..3 Complementi sui numeri. Il fatto che i numeri reali si possano approssimare, con precisione arbitraria, mediante numeri razionali (densità di Q in R), si vede bene ricorrendo alla scrittura dei numeri reali come allineamenti decimali. Sappiamo che i numeri reali si rappresentano mediante allineamenti decimali del tipo: a, α α 2 α 3 α 4 α 5... (.2) dove a è un intero relativo e α, α 2, α 3,.. sono cifre comprese tra 0 e 9. Un tale allineamento può essere limitato (cioè con un numero finito di cifre diverse da zero; esempio: 0, 5 = 0, 5000..), oppure illimitato (esempio: 0, 33333..., periodo 3; oppure: 2 =, 442...). Gli allineamenti periodici corrispondono ai numeri razionali, quelli non periodici ai numeri irrazionali. Ad esempio: i numeri 0, 3 = 0, 333... (periodo 3) o, 52 =, 5200000... (periodo 0) sono razionali, mentre l allineamento non periodico 2 =, 442... rappresenta un numero irrazionale. I numeri razionali la cui rappresentazione decimale è periodica con periodo 0, cioè i numeri del tipo a, α α 2...α k = aα α 2...α k 0 k (.3) si dicono numeri decimali. In modo equivalente, i numeri decimali sono i numeri del tipo m 0 k dove m è in Z e k in N. Ad esempio,, 7 = 7 0 e 0, 43 = 43 00 sono numeri decimali. Se a > 0, il numero reale rappresentato dall allineamento.2 è l estremo superiore dell insieme numerico a a, α a, α α 2 a, α α 2 α 3 eccetera (.4) costituito dalle approssimazioni per difetto. (Cosa succede invece se a < 0?). Ad esempio, il numero 0, 333... (periodo 3) è l estremo superiore dell insieme numerico 0 0, 3 0, 33 0, 333 eccetera 5
e 2 =, 442... è l estremo superiore dell insieme numerico, 4, 4, 44 eccetera Ora la.4 rappresenta una successione non decrescente (di numeri decimali). Quindi (per il teorema??) l estremo superiore dell insieme dei suoi termini coincide con il suo limite. Vediamo allora che l allineamento decimale (magari infinito) a, α α 2 α 3 α 4 α 5... (.5) ha il seguente significato: esso è il limite (per k che tende a + ) della successione di numeri decimali a a, α a, α α 2... a, α α 2...α k... Ora il significato dell allineamento decimale finito (con a > 0) è ovviamente a, α α 2...α k (.6) a, α α 2...α k = a + α 0 + α 2 0 2 +... + α k 0 k (.7) Quindi, in base alla definizione di somma di una serie, un allineamento decimale può essere visto come una somma di infiniti termini: a, α α 2 α 3 α 4 α 5... = lim a, α α 2...α k = a + α k 0 + α 2 0 2 +... + α k +... (.8) 0k Riassumendo: abbiamo visto che ogni numero irrazionale può essere approssimato, con una approssimazione piccola quanto si vuole, dumeri razionali. In termini più precisi, ogni numero irrazionale è limite di una successione di numeri razionali. Esprimiamo quest ultima proprietà dicendo che l insieme Q è denso nell insieme R: Teorema.3. L insieme dei numeri razionali è denso nell insieme dei numeri reali. Le considerazioni svolte sopra mostrano che anche l insieme dei numeri decimali è denso nell insieme dei numeri reali..3. Numeri razionali e allineamenti decimali periodici In questa sezione dimostriamo che i numeri razionali sono esattamente i reali che si rappresentano mediante allineamenti periodici (eventualmente con periodo zero): Teorema.4. Un numero reale è razionale se e solo se è rappresentato da un allineamento decimale periodico. A) Cominciamo a dimostrare che un qualunque allineamento periodico si può sempre scrivere sotto forma di frazione (e quindi è un numero razionale). Per convincerci, vediamo un paio di esempi. Sarà chiaro però che il discorso è del tutto generale, vale a dire si applica a qualunque allineamento periodico (anche eventualmente preceduto da un anti-periodo). 6
Esempio. infinita: Si consideri il numero periodico 0, = 0,. Il suo valore è dato dalla somma Raccogliendo il fattore 0 0 + 0 2 + 0 3 +... + 0 n +... e ricordando la somma di una serie geometrica, si ottiene: 0 ( + 0 + 0 2 +...) = 0 0 Esempio. Se il periodo è costituito da più di una cifra, si procede in modo del tutto analogo. Ad esempio, si consideri il numero periodico, 34 =, 3434... Il suo valore è dato da: + 34 00 + 34 00 2 + 34 00 3 +... = + 34 00 ( + 00 + = + 34 00 00 00 2 +...) = 9 = + 34 99 = 33 99 B) Dimostriamo ora che ogni numero razionale è periodico (eventualmente con periodo zero). Sia p un numero razionale. Per trovare l allineamento decimale che lo rappresenta, si q ricorre all algoritmo di divisione di p per q. A ogni passo di tale algoritmo, si troverà un resto, compreso tra 0 e q. Se si trova il resto 0, il procedimento finisce (Il numero è decimale). Altrimenti il procedimento va avanti all infinito, e ogni volta si trova un resto compreso tra e q. Ma allora, dopo al più dopo q passi, un certo resto r si presenterà per la seconda volta. Da quel punto in poi, tutti i resti seguenti si ripeteranno nello stesso ordine in cui si sono succeduti dopo la prima comparsa del resto r. Questo dimostra che l espressione decimale del numero razionale p q è periodica..4 La serie armoniche generalizzate Le serie armonica è la serie Le serie armoniche generalizzate sono n (.9) n a (.20) dove a è un numero reale positivo. Un confronto con gli integrali generalizzati del tipo + x a dx (che convergono se a > e divergono se a ) porta alla seguente conclusione: 7
Teorema.5. La serie armonica generalizzata converge se a >, mentre diverge se a. (Omettiamo i dettagli della dimostrazione). n a (.2).5 Criteri per serie a termini positivi Sia una serie i cui termini siano tutti numeri positivi. Anzitutto è chiaro che la successione delle somme parziali s k = a + +a k è strettamente crescente, e quindi converge a un numero reale, oppure diverge a +. Pertanto, una serie a termini positivi è convergente, oppure è divergente a + ; non può mai essere indeterminata. Per le serie a termini positivi, valgono i criteri del confronto, del confronto asintotico, del rapporto e della radice, che ora studiamo..5. Criterio del confronto Il seguente criterio è ovvio: Teorema.6. Siano e b n due serie a termini positivi. Supponiamo che si abbia b n (.22) per ogni n (o definitivamente, cioè per tutti gli n sufficientemente grandi). Allora:. Se 2. Se diverge, anche b n converge, anche b n diverge. converge. La dimostrazione è molto semplice. Segue subito dalla definizione di serie convergente e serie divergente (in termini di limite della successione delle somme parziali). Esempio. Consideriamo la serie n=2 ln n n 8
Si ha, definitivamente, ln n n > n (la disuguaglianza è vera per ogni n 3). Poiché la serie armonica + la serie data diverge. n dive rge, anche.5.2 Criterio del rapporto Teorema.7 (Criterio del rapporto di D alembert.). Sia positivi. Supponiamo che esista (finito o + ) il limite Allora:. Se α <, la serie converge. 2. Se α > (in particolare, se α = + ), la serie una serie numerica a termini + lim = α (.23) diverge a +. Se α = non si può concludere niente sulla convergenza della serie sia serie convergenti che serie divergenti per le quali α =. Le due serie. Infatti esistono n 2, + n forniscono due esempi a questo riguardo. Infatti, la prima converge, la seconda diverge, e per entrambe si ha lim + =. Dimostrazione. (Criterio del rapporto di D alembert). Se α <, esiste un numero q tale che α < q <. Fissiamo un tale q. Per le proprietà del limite, si ha definitivamente + < q Dal momento che un numero finito di termini non ha alcun effetto sulla convergenza di una serie, possiamo supporre, senza perdere in generalità, che la disuguaglianza + < q valga per ogni n N. Poiché + a2 = +, a a 9
vediamo che ossia Ma la serie + a < q q = q n + < a q n a q n = a + converge (perché + qn è una serie geometrica di ragione q < ), e quindi anche la serie converge. a Se invece lim n+ = α >, si ha definitivamente + a >, ovvero + >. Dunque ( ), n N, è una successione di numeri positivi strettamente crescente, e ovviamente non può tendere a zero. Pertanto la condizione 0, che è necessaria per la convergenza, non vale per la serie q n. Pertanto, tale serie non converge. Esempio. Vogliamo vedere per quali x R la serie x n n! = + x + x2 2! + x3 3! + (.24) converge. Naturalmente per x = 0 converge a. Se x 0, applichiamo il criterio del rapporto: x n+ lim (n + )! n! x n = lim x n + = 0 Dunque la serie converge per ogni x R. Si tratta della serie esponenziale, che converge a e x : e x x n = n! = + x + x2 2! + x3 3! + (.25) Esempio. Studiamo il carattere della serie n! n n Applichiamo il criterio del rapporto: lim Dunque, la serie converge. (n + )! nn (n + ) n+ n! = lim ( ) n n = n + e < 0
.5.3 Criterio della radice Teorema.8 (Criterio della radice). Sia Supponiamo che esista (finito o + )il limite una serie numerica a termini positivi. lim n an = α (.26) Allora:. Se α <, la serie converge. 2. Se α > (in particolare, se α = + ), la serie Se α =, il criterio della radice non fornisce informazioni utili. Dimostrazione. Supponiamo diverge a +. La dimostrazione è del tutto simile a quella del criterio del rapporto. lim n an = α < Fissiamo un numero q soddisfacente le condizioni α < q <. Si ha definitivamente vale a dire Allora la serie n an < q < q n è minorante della serie geometrica Per il criterio del confronto, anche la serie converge. Se invece lim n = α >, si ha, definitivamente, n an > q n, che converge, in quanto q <. ossia (elevando alla potenz-esima) > Ma allora il termine generale non tende a zero, e quindi la serie convergente. non può essere
.5.4 Criterio del confronto asintotico Teorema.9. Siano e b n due serie a termini positivi. Supponiamo che si abbia b n (.27) per n. Allora le due serie hanno lo stesso carattere (vale a dire, entrambe convergono, oppure entrambe divergono a + ). Dimostrazione. Ricordiamo che, per definizione, b n, per n, significa che lim = b n Fissiamo un numero δ > 0 per il quale si abbia δ < b n < + δ per tutti gli n (sufficientemente grandi). Possiamo scrivere tali disuguaglianze come Di qui leggiamo subito che la serie se la serie maggiorante della serie diverge. ( δ) b n < < ( + δ) b n b n converge, anche la serie è minorante della serie ( δ) b n. Quindi, se la serie ( + δ) b n. Quindi, converge. Analogamente, la serie b n diverge, anche la serie è.6 Serie a termini di segno alterno Le serie con termini di segno alterno sono del tipo con > 0. Ad esempio, Vale il seguente criterio. ( ) n (.28) ( ) n n + = 2 + 3 4 + (.29) 2
Teorema.0 (Criterio di Leibniz). Sia ( ) n = a 0 a + a 2 a 3 + con tutti gli > 0, una serie a termini di segno alterno. Supponiamo che valgano entrambe le seguenti condizioni:. lim = 0 2. La successione è decrescente: per ogni n. + Allora la serie converge. Dimostrazione. Consideriamo la successione delle somme parziali s k. Risulta: s 0 = a 0 s = s 0 a < s 0 (perché a > 0) s 2 = s + a 2 > s (perché a 2 > 0) e s 2 = s 0 a + a 2 < s 0 (perché a + a 2 < 0) s 3 = s 2 a 3 < s 2 (perché a 3 > 0) e s 3 = s + a 2 a 3 < s (perché a 2 + a 3 < 0) s 4 = s 3 + a 4 > s 3 (perché a 4 > 0) e s 4 = s 2 a 3 + a 4 < s 2 (perché a 3 + a 4 < 0) Proseguendo in questo modo, vediamo che valgono le disuguaglianze s < s 3 < s 5 < s 7 < < s 6 < s 4 < s 2 < s 0 (.30) Dunque le due successioni (s, s 3, s 5, s 7,...) e (s 0, s 2, s 4, s 6,...) sono entrambe monotone e limitate. Quindi convergono (per la completezza del campo dei reali): con s S. Ma si ha lim s 2n = s lim s 2n = S (.3) S s = lim (s 2n s 2n ) = lim a 2n = 0 (perché, per ipotesi, la successione è infinitesima). Dunque S = s. Da questa uguaglianza segue che la serie è convergente. Esempio. Per esempio, si consideri la serie armonica generalizzata a segni alterni: con a > 0. Poiché lim ( ) n n a (.32) n a = 0 e la successione è decrescente, la serie converge. na 3
.7 Serie assolutamente convergenti Si dice che la serie converge. converge assolutamente se la serie dei valori assoluti Teorema.. Se la serie converge assolutamente, allora converge. Inoltre si ha (.33) Dimostrazione. Per ogni n vale la ovvia disuguaglianza. Mon si può applicare direttamente il criterio del confronto e affermare che, poiché la serie dei moduli converge, anche la serie converge. Infatti, il criterio del confronto si applica solo a termini di segno positivo (mentre i termini potrebbero essere di segno arbitrario). Per superare questa difficoltà, ci riconduciamo al confronto di serie a termini positivi nel modo seguente. Se a è un qualunque numero reale, poniamo Ovviamente si ha a +, a 0 e Poiché le due serie, a termini positivi, a + = max{a, 0} a = min{a, 0} (.34) a = a + a a + n, a n a + n e a n sono entrambi minoranti della serie convergente, e quindi convergono, per il criterio del confronto. Dall uguaglianza segue che, per ogni k, k = = a + n a n k (a + n a n ) = k a + n k a n Facendo tendere k a +, = a + n a n 4
In altri termini, la serie, essendo somma di due serie convergenti, è essa stessa convergente. Inoltre, per ogni k, vale l ovvia disuguaglianza k k (.35) Di qui, facendo tendere k all infinito, otteniamo Esempio. La serie ( ) n è assolutamente convergente. Quindi è convergente. n2 Esempio. La serie ( ) n n converge, mon converge assolutamente. 5