Forze intermolecolari Si vuole descrivere in modo semplice la forza che si esercita tra due molecole A e B, in particolare in base alle caratteristiche elettrostatiche delle molecole. Le forze elettriche sono di tipo conservativo. E quindi possibile associare alla forza una energia potenziale. In una dimensione si ha U(r) = r F (r)dr se F è attrattiva l energia potenziale è negativa. In termini opposti F (r) = du(r) dr F = U
Forza e energia potenziale 5 4 U(r) 3 2 F (r) = du(r) dr 1 0-1 -2-3 -4 0.8 0.9 1 1.1 1.2 r 1.3 1.4 1.5 1.6
Funzione δ di Dirac 1 Gaussiana normalizzata con varianza σ 2 G(x) = 1 2πσ e x2 /2σ 2 G(x) = 1 La δ di Dirac può essere definita come il limite di G(x) per σ piccolo δ(x) = lim σ 0 G(x) δ(x) = 1 δ(x a) = { 0 x a x = a
Funzione δ di Dirac 2 δ(x) σ = 0.1 σ = 0.05 σ = 0.025 0 0 x σ σ σ
Densità di carica Consideriamo una molecola descritta dall approssimazione di Born- Oppenheimer: i nuclei sono mantenuti in posizioni fisse, gli elettroni possono muoversi. Nella meccanica quantistica è stata introdotta la funzione d onda elettronica ψ e ({r e }; {r N }): il suo quadrato ψ e ({r e }; {r N }) 2 rappresenta la probabilità di trovare gli elettroni nelle posizioni r (1) e, r (2) e,... quando i nuclei sono stati fissati nelle posizioni r (1) N, r(2) N,.... Densità di carica ρ = carica volume = dq dv Q = ρv ρ costante dq = ρ(x, y, z) (dxdydz) ρ(r) d 3 r Q = ρ(r)d 3 r ρ variabile
Calcolo della densità di carica Densità di carica nucleare ρ N (r) = e i Z i δ(r r (i) N ) Densità elettronica ρ e (r) = en e d 3 r (2) e d 3 r (3) e... d 3 r (N e) e ψ e ({r e }; {r N }) 2 N e è il numero totale di elettroni. Di questi il primo viene mantenuto fisso nella posizione r gli altri possono andare dove vogliono. Densità totale di carica ρ(r) = ρ N (r) + ρ e (r)
Potenziale di interazione tra due molecole lontane Se sono lontane possiamo pensare che la densità di carica della molecola A non venga influenzata da quella della molecola B e viceversa Potenziale elettrostatico (teorema di Hellmann-Feymman) du = U = 1 [ρ (A) (r A )d 3 r A ] [ρ (B) (r B )d 3 r B ] 4πε 0 ε r A r B 1 ρ (A) (r A )ρ (B) (r B ) 4πε 0 ε volume di A d3 r A volume di B d3 r B r A r B
Limiti dell approccio quantomeccanico 1. Determinazione delle corrette funzioni d onda elettroniche 2. Deformazione degli orbitali di A in presenza di B 3. Deformazione della posizione dei nuclei 4. Fluttuazioni delle cariche Si preferisce una descrizione classica della interazione
Multipoli di carica multipolo caso discreto caso continuo monopolo (carica) Q = i q i Q = ρ(r)d 3 r dipolo µ = i q ir i µ = ρ(r)rd 3 r µ x = i q ix i µ x = ρ(r)xd 3 r µ y = i q iy i µ y = ρ(r)yd 3 r µ z = i q iz i µ z = ρ(r)zd 3 r quadrupolo θ = i q ir i r i θ = ρ(r)r rd 3 r θ xx = i q ix i x i θ xx = ρ(r)xxd 3 r θ xy = i q ix i y i θ xy = ρ(r)xyd 3 r θ xz = i q ix i z i θ xz = ρ(r)xzd 3 r θ yy = i q iy i y i θ yy = ρ(r)yyd 3 r θ yz = i q iy i z i θ yz = ρ(r)yzd 3 r θ zz = i q iz i z i θ zz = ρ(r)zzd 3 r ottupolo O = i q ir i r i r i O = ρ(r)r r rd 3 r
Dipoli indotti e polarizzabilità Quando una distribuzione di carica elettrica (orbitali) si trova in un campo elettrico si può generare una deformazione: le cariche positive vengono attirate nella direzione di E quelle negative nella direzione opposta. Si genera quindi un momento di dipolo elettrico indotto µ ind La relazione tra E e µ ind definisce la matrice di polarizzabiltà α µ ind = α E µ ind x µ ind y µ ind z = α xx α yx α zx α xy α yy α zy α xz α yz α zz E x E y E z
Polarizzabilità 2 Per distribuzioni piuttosto simmetriche di carica (ad esempio una piccola molecola) o per una macromolecola a grande distanza (ad esempio una proteina) si può approssimare la matrice di polarizzabilità con una più semplice polarizzabilità scalare µ ind = αe α = 1 3 (α xx + α yy + α zz ) In questo caso µ ind ha sempre la direzione e il verso di E Si può dimostrare che il termine α/ε 0 ha le dimensioni di un volume: pertanto più grande è il volume molecolare, più grande risulta la polarizzabilità.
Energia e fluttuazioni termiche In generale l energia di interazione U tra due molecole A e B dipende dalla distanza R tra le due molecole e da tutta una serie di variabili angolari Ω che sono necessarie per definire l orientazione con cui B vede A. Ad una data distanza R il valore medio dell energia di interazione U(R, Ω) dipende dalla probabilità con cui vengono popolati tutti i possibili stati Ω. Tale probabilità e la sua dipendenza dalla temperatura è descritta dal fattore di Boltzmann Moto Browniano <U > (R) = dω U(R, Ω) e U(R,Ω)/k B T dω e U(R,Ω)/k B T
Energia potenziale e multipoli U 1 (Carica-carica + Carica-dipolo + Carica-dipolo indotto+ 4πε 0 ε Carica-quadrupolo + + Dipolo-dipolo + Dipolo-dipolo indotto + Dipolo indotto-dipolo indotto + Dipolo-quadrupolo +... ) U U QA Q B + U QA µ B + U QA µ ind + U B Q A θ + + B Uµ A µ B + U µa µ ind + U B µ ind + U A µind B µ A θ +... B
Carica-carica E il termine più semplice, necessario ad esempio per descrivere l interazione tra due ioni. Le cariche hanno simmetria sferica, per cui non è necessaria nessuna variabile angolare, U QA Q B (R) <U QA Q B > (R) = Q AQ B 4πε 0 ε 1 R L energia è positiva (e quindi di tipo repulsivo) se le cariche hanno stesso segno, negativa (attrattiva) se il segno delle cariche è opposto.
Carica-dipolo 1 Immaginiamo che la molecola B abbia un momento di dipolo elettrico permanente µ B (come l acqua) e che interagisca con uno ione A dotato di carica Q A. Conviene calcolare prima il campo elettrico E generato da A e quindi scrivere l energia di interazione tra E e µ B E = 1 4πε 0 ε Q A R 2 u R u R vettore unitario lungo R U QA µ B (R, θ) = µ B E = µ B E cos θ = 1 4πε 0 ε cos θ Q Aµ B R 2 L energia è repulsiva o attrattiva in funzione di θ
Carica-dipolo 2 Calcoliamo il valor medio dell energia dalla statistica di Boltzmann π 0 <U QA µ B > (R) = sin θdθ ( µ BE cos θ) e µ BE cos θ/k B T π 0 sin dθ eµ BE cos θ/k B T = µ B EL(x) dove x = µ BE k B T e L(x) = coth x 1 x (funzione di Langevin) Se x 1, cioè se l energia termica k B T è molto più grande di U, si ha L(x) x/3 da cui <U QA µ B > (R) = µ2 B E2 3k B T = µ2 B Q2 A (4πε 0 ε) 2 1 3k B T L energia media è sempre attrattiva e varia come R 4 1 R 4
Funzione di Langevin 1 0.8 x 3 0.6 L(x) 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 x 30 35 40 45 50
Esempio T 1 T 2 > T 1
Dipolo-dipolo 1 In questo caso sia A che B hanno momenti di dipolo permanenti, µ A e µ B. Ad esempio due molecole d acqua. Per descrivere correttamente tutte le possibili posizioni abbiamo bisogno di due angoli per ciascun dipolo: θ A, φ A e θ B, φ B L energia potenziale si ricava dapprima calcolando il campo elettrico E generato da µ A e quindi applicando la nota relazione U = µ B E. Risulta Uµ A µ B (R, θ A, φ A, θ B, φ B ) = 1 4πε 0 ε [sin θ A sin θ B cos(φ A φ B ) 2 cos θ A cos θ B ] µ Aµ B R 3 L energia è repulsiva o attrattiva in funzione di θ A, φ A, θ B, φ B.
Esempio µ B θ B φ B z x θ A µ A φ A y
Parte angolare 1 sin θ A sin θ B cos(φ A φ B ) 2 cos θ A cos θ B φ A = φ B 2 π 1 0-1 -2 π π 2 θ A 0 π 2 π π 0 π 2 π 2 θ B
Parte angolare 2 sin θ A sin θ B cos(φ A φ B ) 2 cos θ A cos θ B φ A φ B = π 2 2 π 1 0-1 -2 π π 2 θ A 0 π 2 π π 0 π 2 π 2 θ B
Dipolo-dipolo 2 Come nel caso carica-dipolo, possiamo calcolare il valor medio dell energia di interazione su tutte le variabili angolari. Tralasciando i passaggi intermedi, si ricava <Uµ A µ B > (R) = 2µ2 A µ2 B (4πε 0 ε) 2 1 3k B T L energia media è sempre attrattiva e varia come R 6 1 R 6
Carica-dipolo indotto Ad esempio una molecola B (dotata di grande polarizzabilità scalare α B ) e uno ione A con carica Q A. Per calcolare il termine di energia conviene considerare il campo elettrico E generato da A (E = Q A /4πε 0 εr 2 ) e quindi scrivere l energia di interazione tra E e µ ind B. Tuttavia, poichè µ ind B dipende da E, occorre calcolare l energia potenziale attraverso un integrale (cioè riprendendo la sua definizione), U QAµ ind B r E E E = F (r)dr = E dµ ind B = α E 2 B E de = α B EdE = α B 0 0 0 2 U QA µ ind B = Q2 A α B 2(4πε 0 ε) 2 1 R 4 L energia è sempre attrattiva e varia come R 4
Dipolo-dipolo indotto 1 Come esempio pensiamo ad un dipolo permanente A (come quello di una molecola d acqua) e una molecola B (dotata di grande polarizzabilità scalare α B ) Prendiamo in prestito un risultato dell elettrostatica ψ(r, θ) = µ B cos θ 4πε 0 εr 2 E(R, θ) = E R (R, θ) + E θ (R, θ) = µ B 4πε 0 εr 3 (2 cos θu R + sin θu θ ) dove u R e u θ sono due vettori unitari il primo lungo R l altro lungo µ B [ E ER ] Eθ Uµ A µ = α ind B B E de = α B E R de R + E θ de θ 0 0 0 = α B 2 (E2 R + E2 θ ) U µa µ ind B = µ2 A α B 2(4πε 0 ε) 2 (3 cos2 θ + 1) 1 R 6 L energia è sempre attrattiva e varia come R 6
Dipolo-dipolo indotto 2 E θ µ A θ R α B E R
Dipolo-dipolo indotto 3 Come nel caso dipolo-dipolo, possiamo calcolare il valor medio dell energia di interazione su tutte i valori di θ. Tralasciando i passaggi intermedi, per µ 2 A α B/[2(4πε 0 ε) 2 ]R 6 k B T si ha <U µa µ ind B > (R) = µ2 A α B (4πε 0 ε) 2 1 R 6 L energia media è sempre attrattiva, varia come R 6 ed è sostanzialmente indipendente da T.
Dipolo-quadrupolo Per semplicità assumiamo che la matrice momento di quadrupolo della molecole B abbia solo un valore isotropo θ B. La molecola A ha un momento di dipolo permanente µ A Tralasciamo tutti i passaggi intermedi e mostriamo soltanto l espressione finale, mediata su tutte le possibili variabili angolari <U µa θ B > (R) = µ2 A θ2 B (4πε 0 ε) 2 1 k B T 1 R 8 L energia media è sempre attrattiva e varia come R 8
Quadrupolo-quadrupolo Due molecole A e B con due valori isotropi del momento di quadrupolo θ A e θ B <U θa θ B > (R) = 14θ2 A θ2 B (4πε 0 ε) 2 1 5k B T 1 R 10 L energia media è sempre attrattiva e varia come R 10
Dipolo indotto-dipolo indotto Deriva dalle fluttuazioni della carica (e quindi della densità elettronica) di una molecola A. Queste fluttuazioni creano un campo elettromagnetico che interagisce con la densità di carica della seconda molecola B. Il risultato netto è un termine di energia attrattivo. L espressione per l energia potenziale si ricava attraverso un trattamento quantomeccanico dell oscillatore armonico, in cui le frequenze di oscillazione per A e B sono ν A e ν B (modello di Drude), U µ ind (R) = 3hα Aα B ν A ν B A µind B 2(ε 0 ε) 2 (ν A + ν B ) h è la costante di Planck. L energia media è sempre attrattiva e varia come R 6 1 R 6
Tabella riassuntiva Tipo di interazione U(R, Ω) <U > (R) Carica-carica Q AQ B 4πε 0ε Carica-dipolo 1 4πε 0ε 1 R cos θ QAµB R 2 1 Dipolo-dipolo 4πε [sin θ 0ε A sin θ B cos(φ A φ B ) 2 cos θ A cos θ B ] µaµb R 3 Carica-dipolo indotto Dipolo-dipolo indotto Q AQ B 4πε 0ε R 1 µ2 BQ 2 A 1 (4πε 0ε) 2 3k 1 BT R 4 2µ2 Aµ 2 B (4πε 0ε) 2 1 3k BT 1 R 6 Q2 Aα B 2(4πε 0ε) 2 1 R 4 Q2 Aα B 2(4πε 0ε) 2 1 R 4 µ2 Aα B 2(4πε 0ε) 2 (3 cos 2 θ + 1) 1 R 6 µ2 Aα B (4πε 0ε) 2 1 R 6 Dipolo-quadrupolo... µ2 Aθ 2 B (4πε 0ε) 2 1 k BT 1 R 8 Quadrupolo-quadrupolo... 14θ2 AθB 2 (4πε 0ε) 2 1 Dipolo indotto-dipolo indotto 3hαAαB 2(ε 0ε) 2 ν Aν B (ν A+ν B) 1 R 6 1 5k BT 3hαAαB ν Aν B 2(ε 0ε) 2 (ν A+ν B) R 10 1 R 6 Tutti i termini di dipo R 6 sono compresi nel cosiddetto termine attrattivo dell interazione di van der Waals, e rappresentano la parte sostanziale dell interazione a corto raggio.
Lunghezza di scala 0-0.2 ) n U ( R0 R -0.4-0.6-0.8-1 1 n > 3 Interazioni a corto raggio n 3 Interazioni a lungo raggio 1.5 2 (R 0 /R) n n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 6 n = 8 n = 10 2.5 3
Potenziale di interazione tra due molecole vicine Quando due molecole sono molto vicine, prevale la repulsione elettrostatica tra gli orbitali elettronici Il termine di energia potenziale diventa piuttosto complicato da descrivere, in quanto ciascuna delle due distribuzioni di carica è modificata dalla presenza dell altra In genere vengono adottate espressioni parametriche del tipo U(R) = A R n dove A è un parametro positivo aggiustabile, dipendente dal tipo di molecola
Potenziale di Lennard-Jones E uno dei potenziali più frequentemente utilizzati per descrivere l interazione tra due molecole prive di carica. U LJ (R) = 4ɛ [ ( σ 12 ( σ ) ] 6 R) R E costituito da una parte repulsiva di tipo R 12 e una parte attrattiva di tipo van der Waals R 6. I due parametri che lo caratterizzano sono la distanza σ che annulla U LJ e la profondità della buca ɛ. La distanza d equilibrio risulta 2 1/6 σ 1.122σ. Esempio: per H 2 O si ha σ = 3.1655Å e ɛ = 0.6502 kj/mol
Plot di U LJ (R) ULJ(R) 2ɛ ɛ 0 4ɛ ( σ ) 12 R 4ɛ ( σ ) 6 R ɛ σ 2 1/6 σ 3 2 σ R 2σ
Legame idrogeno 1 Il legame idrogeno è un caso particolare di interazione fra dipolodipolo fra dipoli permanenti. X H A X è un atomo molto elettronegativo come N, O, o F, che attrae gli elettroni di valenza, acquisendo una parziale carica negativa δ lasciando l idrogeno con una parziale carica positiva δ+. Il gruppo X H viene detto donatore D. Il legame idrogeno si forma quando la carica positiva su H viene in contatto con un doppietto elettronico di un gruppo funzionale di un altra molecola, il quale lega l H e viene definito accettore A.
Legame idrogeno 2 D A R AD (Å) N H :: O = 2.90 N H : OH 2.90 N H : N = 3.10 N H : S 3.70 O H :: O = 2.75 O H : OH 2.75 L energia del legame idrogeno U HB 40 kj/mol è inferiore al legame covalente ( 500 kj/mol), ma superiore alla energia di Van der Waals ( 1 kj/mol). Non c è correlazione fra l energia U HB e l energia Uµ A µ D e quindi con R AD o con gli angoli θ A, θ D, φ A φ D
Legame idrogeno 3 Una descrizione quantitativa di U HB si ha con un trattamento quantomeccanico ψ HB = aψ 0 A,D + bψ 1 A D + ψ 0 A,D è la funzione d onda di A e D separati, ψ1 A D + quella di una coppia ionica in cui un elettrone è passato da D a A. a e b sono due parametri aggiustabili. Una recente approssimazione dell energia di interazione risulta ( ) ( ) B ij U HB = cos θ Rij 12 A ij B ij Rij 6 + (1 cos θ) Rij 12 A ij Rij 6 θ è l angolo DHA, le costanti A ij, B ij, A ij e B ij dipendono dalla coppia ij accettore/donatore.
Geometria delle interazioni di legame i j 4 di non legame i j > 4
Energia e conformazione di una macromolecola Si studia nel dettaglio l energia potenziale conformazionale di una macromolecola. Si distingue tra energia potenziale di legame (b) e di non-legame (nb) U = U b + U nb Il termine U b rappresenta l energia conformazionale dovuta ai legami chimici. Dipende: 1. Dalla distanza di legame r di ciascun legame 2. Dall angolo di legame θ tra 3 atomi adiacenti 3. Dall angolo diedro φ tra 4 atomi adiacenti Si adotta una descrizione classica di U b
Quattro atomi adiacenti
Legame di valenza: distanza Si assume il modello dell oscillatore armonico semplice U b 1 = K 1 (r r 0 ) 2 K 1 costante di forza, r 0 distanza di equilibirio Alcune costanti di forza e distanze di equilibrio usate dal programma AMBER (http://amber.scripps.edu/) legame r 0 (Å) K 1 (kcal mol 1 Å 2 ) C C 1.507 317 C = C 1.336 570 C N 1.449 337 C = N 1.273 570
Esempio U1 (kcal mol 1 ) 900 600 300 C C C = C C N C = N 0 0.5 1 1.5 r (Å) 2 2.5
Legame di valenza: angolo Si assume il modello dell oscillatore armonico di torsione U b 2 = K 2 (θ θ 0 ) 2 K 2 costante di forza, θ 0 angolo di equilibirio Alcune costanti di forza e angoli di equilibrio usati dal programma AMBER angolo θ 0 ( ) K 2 (kcal mol 1 rad 2 ) C C C 112.4 63 C N C 121.9 50 C C N 111.2 80
Esempio 300 C C C C N C C C N U2 (kcal mol 1 ) 200 100 0 0 20 40 60 80 θ ( ) 100 120 140 160 180
Potenziale torsionale Si assume la più semplice espressione trigonometrica, U b 3 = V 2 [1 + cos(nφ γ)] V barriera di energia conformazionale, n molteplicità, γ angolo di fase. Alcuni esempi (AMBER) angolo n γ ( ) V/2 (kcal mol 1 ) X C C X 3 0.0 2 P OS P OS 1 0.0 0.897 CT OS P O2 2 0.0 1.179
Esempio U3 (kcal mol 1 ) 2 1 0-1 -2 V/2 = 2.0 kcal/mol n = 3 γ = 0 V/2 = 0.9 kcal/mol n = 1 γ = 0 V/2 = 1.2 kcal/mol n = 2 γ = 0 0 60 120 180 φ ( ) 240 300 360
Energia potenziale di non-legame E dovuta a tutti gli gli altri effetti ad esclusione dei legami chimici. Distinguiamo almeno tre termini 1. Interazione di Coulomb 2. Interazione di Lennard-Jones U nb 1 = q iq j 4πε 0 ε U nb 2 = 4ɛ ij [ (σij r ij 1 r ij ) 12 ( σij r ij ) 6 ] 3. Legami idrogeno U nb 3 = cos θ ( B ij r 12 ij A ij r 6 ij )
Somma dei termini U = K 1 (r r 0 ) 2 + K 2 (θ θ 0 ) 2 bonds angles V + 2 [1 + cos(nφ γ)] + dihedral angles i<j + [ (σij ) 12 ( ) ] 6 σij 4ɛ ij r i<j ij r ij ( ) B ij + cos θ rij 12 A ij rij 6 hydrogen bonds p i = exp( U i/k B T ) j exp( U i/k B T ) q i q j 4πε 0 ε 1 r ij
Limiti Assegnazione delle cariche q: effetto del ph e della forza ionica, coppie ioniche Assegnazione della costante dielettrica relativa ε Legami covalenti non locali, ponti disolfuro