CONDUTTOI E DIELETTICI G. Pugliese
I conduttori Conduttori materiali solidi, liuidi o gassosi in cui sono presenti cariche che possono muoversi liberamente (cariche mobili) Conduttori solidi (ad es. i metalli) sono corpi in cui le cariche mobili sono elettroni Proprietà conduttori in euilibrio elettrostatico. E int Ø le cariche devono essere fisse (conduttori in e. elettrostatico) se E int à F E int à moto di cariche. int Per il T. di Gauss Φ E d S int ε int 3. In un conduttore carico, l eccesso di carica si distribuisce solo sulla superficie. G. Pugliese
I conduttori 4. Il potenziale è costante in ogni punto del conduttore. 5. La superficie di un conduttore è una superficie euipotenziale. P E dl P ( P ) ( P ) ( P ) ( P ) ( P ) G. Pugliese 3
I conduttori 6. Il campo in un punto esterno molto vicino al conduttore è ortogonale alla superficie del conduttore. Essendo la superficie di contorno la superficie euipotenziale. (inoltre se avesse una componente tangenziale, ne risulterebbe un forza tangenziale che metterebbe in moto le cariche). 7. E è pari a: G E d S EdS int ε E σ ε un σ ds ε G. Pugliese 4
I conduttori 7. Effetto punte: in un conduttore di forma irregolare la carica tende ad accumularsi nei punti in cui il raggio è minore ossia la curvatura della superficie è maggiore, ovvero in prossimità delle punte. 4π σ σ 4π σ σ Essendo le due sfere connesse tramite un filo conduttore, tutto il sistema deve essere allo stesso potenziale. Supponendo che la distanza tra le due sfere sia tale che la carica di una non influenzi la distribuzione di carica dell altra: 4πε 4πε σ σ G. Pugliese 5
Induzione elettrostatica Supponiamo di avere un conduttore neutro e di avvicinare ad esso, molto lentamente, un conduttore carico positivamente. Dalla parte vicina al conduttore carico appariranno, sulla superficie del conduttore delle cariche di segno - mentre dal lato opposto vi saranno delle cariche +. Se si riallontana il corpo carico, la distribuzione di carica del corpo neutro, ritorna ad essere uella iniziale. Un conduttore carico induce su di un conduttore neutro la comparsa di cariche, distribuite spazialmente in maniera differente, ma sempre tali che la loro somma algebrica rimanga nulla su tutto lo spazio occupato dal conduttore e sulla sola superficie del conduttore.. Il fenomeno si chiama induzione elettrostatica e la carica che compare sul conduttore neutro si chiama carica indotta. Tale fenomeno non ha ovviamente un analogo nel campo gravitazionale ed in uanto tale rappresenta una importante proprietà dei corpi carichi. G. Pugliese 6
Conduttore cavo: schermo elettrostatico Sulla superficie interna di una cavità non possono esserci cariche: la carica si distribuisce sempre e soltanto sulla superficie esterna. S superficie chiusa che racchiude la cavità S E ds ε int int Doppia distribuzione di carica nega9va e posi9va?? Linee di forza uscenti dalle cariche + entranti nelle - E d l C E d l + E dl C E dl C MA E è conservativo!! G. Pugliese 7
Conduttore cavo: schermo elettrostatico Introduciamo nella cavità di un conduttore scarico C un conduttore C di carica +. All euilibrio: S E ds ε int Fenomeno di induzione: - carica indotta sulla superficie interna della cavità C + carica sulla superficie esterna del conduttore C Induzione completa: tutte le linee di forza che partono da C, terminano su C. G. Pugliese 8
Conduttore cavo: schermo Il campo E all interno della cavità: elettrostatico dipende sia dalla forma delle due superfici affacciate, dalla posizione di C e dal valore della carica introdotta. Non dipende dalla variazione della distribuzione di carica sulla superficie esterna o dalla presenza di campi elettrici esterni La distribuzione della carica sulla superficie esterna: non dipende dalla posizione di e dalla forma del conduttore C. Dipende dalla forma della superficie esterna. Al limite se C tocca la superficie interna: all esterno non cambia nulla. G. Pugliese 9
Conduttore cavo: schermo elettrostatico Conduttore cavo schermo elettrostatico tra spazio esterno e spazio interno. Lo spostamento di cariche entro la cavità non modifica il campo elettrico esterno, lo spostamento di cariche all esterno non modifica il campo nella cavità. G. Pugliese
Applicazione Un conduttore sferico di raggio è al centro di un conduttore sferico cavo di raggio interno ed esterno 3. Una carica è depositata sul conduttore interno. Calcolare E e in funzione di r. r < r r 3 E r > 3 E ds ε E ds E S ε E S E 4πε r ur 4πε r u r G. Pugliese
Applicazione Il potenziale: > B A B A dr r r 4-4 - B A B A 3 πε πε ( ) r 4 r πε ( ) 3 3 3 4 r πε 3 3 3 4 cost r πε G. Pugliese
( ) + B B A B A r dr r r 4 r 4 4 - B B A πε πε πε ( ) + B B 4 4 4 4 3 B 3 B πε πε πε πε ( ) + 3 4 r r πε ( ) + 3 4 r πε Applicazione G. Pugliese 3
Capacità di un conduttore Si abbia un conduttore isolato con una carica : La carica è distribuita sulla superficie di un conduttore carico isolato: ( x', y', z' ) σ dσ Il campo, all esterno del conduttore, varia a seconda della disposizione delle cariche (dipende dalla forma e dalle dimensioni del conduttore) Il potenziale dipenderà dalla forma e dalle dimensioni del conduttore. σ dσ 4πε r' o Se aumentiamo la carica m à m σ ' mσ non cambia C Capacità del conduttore: dipende dalla forma, dimensioni e mezzo che lo circonda. G. Pugliese 4
Capacità conduttore sferico isolato σ 4πε 4πε r r > r C 4πε Nel S.I. la capacità si misura in Farad (F): F C/ Per esempio:. m à C pf sfera isolata di F à 9 9 m Il Farad è un valore enorme per le capacità ordinarie. Si usano allora dei Sottomultipli: µf e nf G. Pugliese 5
Condensatore Un sistema costituito da due conduttori isolati (detti armature) tra i uali ci sia induzione completa, di forma arbitraria, è detto condensatore Le superfici dei conduttori, sono euipotenziali Δ la differenza di potenziale C Δ Dipende SOLO dalla geometria delle armature e dal mezzo interposto G. Pugliese 6
Condensatore piano Le armature sono costituite da due conduttori piani e paralleli di superficie S e distanti h, aventi carica e. E σ ε A - B B A E dl σ ε [ x x ] B A σh ε Δ Eh E Δ h C σs σsε Sε C Δ Eh σh h G. Pugliese 7
Collegamenti tra condensatori In serie (3 conduttori): Euivale a tre conduttori C B C B A C C A + Δ C C C euiv C euiv C + C G. Pugliese 8
Collegamenti tra condensatori In parallelo ( conduttori): C C ( C + C ) C + euiv C C + euiv C G. Pugliese 9
Processo di carica: energia del campo E Nel processo di carica di C: la carica sulle armature passa da a + e. à separazione di cariche à lavoro, che essendo conservativo, non dipende da come avviene il processo. d ' dw ' d' d' W dw d' C C ' C - + Il lavoro effettuato contro la forza elettrostatica che si oppone all accumulo di carica dello stesso segno viene immagazzinato sotto forma di energia elettrostatica nel C. W UC C C G. Pugliese
Dielettrici Dielettrico: materiale non conduttore (gomma, vetro, carta paraffinata) Al contrario dei conduttori anche in presenza di un campo elettrico esterno in essi non si genera un movimento di cariche. Sperimentalmente si osserva che introducendo tra le armature di un condensatore un dielettrico: + + + + + il Δ (e uindi il campo) diminuisce - - - - - Se lo spazio è completamente riempito: ε cost. dielettrica del vuoto k E h kh E k ε r cost. dielettrica del mezzo k ε ε r > cost. dielettrica del relativa Dipende dal materiale e non dalla carica o dalle dimensioni e forma delle armatura G. Pugliese
Dielettrici La capacità aumenta: C Q Δ Qk Δ C k + + + + + - - - - - Qualunue sia la forma del condensatore Non abbiamo spiegato il motivo fisico del perché la capacità aumenta con l inserimento del dielettrico. La spiegazione può avvenire solo se si fa un modello fisico di uello che accade. La risposta la troveremo nel fenomeno della polarizzazione. G. Pugliese
Costante dielettrica relativa G. Pugliese 3
E Polarizzazione - + E E k σ ε k σ ε " k % $ ' σ " σ $ # k & ε # ε k k % ' & σ ε Il campo elettrico all interno del dielettrico ha la stessa espressione di un campo nel vuoto sovrapposizione del campo prodotto da due distribuzioni di cariche: Ø le cariche libere sulle armature Ø distribuzione uniforme di carica di polarizzazione, che immaginiamo depositata sulle facce della lastra dielettrica, avente segno opposto a uello della carica libera sull armatura contigua. E E + E p σ p ε posto σ p σ k k G. Pugliese 4
Polarizzazione Il fenomeno può essere spiegato considerando la struttura microscopica dei dielettrici. L applicazione di un campo elettrico, in un conduttore, produce uno spostamento di cariche. Lo stesso campo applicato ad un dielettrico non produce alcun moto ma: Ø Ø Gli e - risentono di una forza opposta al campo Le cariche+ risentono di una forza concorde al campo Ø Ø Gli atomi o le molecole si deformano assumendo una configurazione di euilibrio come un dipolo (non potendosi le cariche muoversi liberamente) (sostanze non polari). p a il momento di dipolo elettrico microscopico indotto è parallelo e concorde ad E (sostanze polari) G. Pugliese 5
Sostanze non polari (a) il centro di massa delle cariche positive coincide con il centro di massa di uelle negative (b) gli effetti della polarizzazione si hanno solo se si applica un campo elettrico esterno: i centri delle distribuzioni di carica all interno di ciascuna molecola si separano sufficientemente da creare i dipoli e uindi la polarizzazione del dielettrico. (c) Il tutto può essere visto come l accumularsi di una carica negativa sulla faccia della lastra vicina all elettrodo positivo ed una carica, uguale in modulo, ma positiva sulla faccia opposta del dielettrico. Globalmente la lastra resta neutra, ma al suo interno si crea un campo E minore del campo esterno E ed in verso opposto ad esso, pertanto, l effetto finale è di ottenere un campo E minore di uello di partenza E. G. Pugliese 6
Sostanze non polari Un pezzo di dielettrico non polare posto in un campo elettrico esterno si polarizza. Definiamo (se Z è il numero atomico): il momento di dipolo elettrico p a Ze x dove x vett, che va dal centro della carica negativa al nucleo Polarizzazione elettronica L atomo acuista un momento di dipolo elettronico microscopico indotto dal campo (a uesto parallelo e concorde), per cui il dipolo tende a muoversi nella direzione in cui cresce il campo elettrico. p a G. Pugliese 7
Sostanze polari Sostanze polari: possiedono un momento di dipolo intrinseco (molecole poliatomiche, H O). In assenza di campo i dipoli sono orientati a caso. In presenza di E si orientano parallelamente ad esso, anche se l allineamento non è mai completo a causa dell agitazione termica. L allineamento cresce al crescere di E esterno e al diminuire della temperatura. Polarizzazione per orientamento Ogni molecola acuista un momento di dipolo elettrico medio parallelo e concorde al campo E: < p > n : numero di atomi o molecole per unità di volume n Δ numero di atomi o molecole contenute in Δ vett. di polarizzazione (momento di dipolo per unità di volume): P p Δ N < Δ p > n < p > G. Pugliese 8
Polarizzazione Lastra piana dielettrica polarizzata uniformemente à P costante in tutti i punti della lastra. Suddividimamo la lastra in prismi di base ds e altezza dh (volume dsdh) à momento di dipolo à d p Pd PdSd h Ossia a ± d p ± P ds poste alla distanza dh distribuite con densità ± σ p ± P sulle basi del prisma Le cariche sulle basi comuni di due prismi adiacenti si annullano Eccetto che sulla superficie limite del dielettrico dove è localizzata una carica (entro uno spessore pari alle dimensioni atomiche) G. Pugliese 9
Polarizzazione Qualunue sia la forma del dielettrico, la densità superficiale delle cariche di polarizzazione è uguale alla componente di P lungo la normale alla superficie. σ P P n Se la polarizzazione è uniforme, non si hanno cariche all interno ma solo superficiali (con carica totale nulla). Se la polarizzazione non è uniforme, si hanno cariche di polarizzazione anche all interno, ma la somma delle cariche di polarizzazione superficiali e di volume deve essere nulla. Dielettrici lineari: P ε (k ) E G. Pugliese 3
ettore spostamento Per calcolare il campo nel dielettrico applichiamo il teorema di Gauss: ε S E d S C + p σ P P n Essendo P nel condutore P PS P ds PS S P P ds S G. Pugliese 3
ettore spostamento ε E d S C S P ds S (ε E S D ε + P) ds C ettore induzione dielettrica (C/m ) E + P S D d S C Legge di Gauss per l induzione dielettrica: Nei dielettrici, le cariche libere sono le sorgenti del vettore induzione, mentre nel vuoto lo erano per il campo elettrico G. Pugliese 3
ettore induzione dielettrica D ε E + P P ε (k ) E D ε E +ε (k ) E ε k E ε E G. Pugliese 33