La circonferenza e il cerchio Def.: Si dice circonferenza una linea piana chiusa formata dall insieme dei punti che hanno la stessa distanza da un punto detto centro. Si dice raggio di una circonferenza la distanza tra un punto qualunque della circonferenza e il centro. C = circonferenza r = raggio C = centro Un punto P la cui distanza dal centro O è minore del raggio r si dice interno alla circonferenza; se la distanza dal centro O è maggiore del raggio r si dice esterno; se la distanza dal centro O è congruente al raggio r, il punto appartiene alla circonferenza. Def.: Si dice cerchio la parte di piano costituita dai punti di una circonferenza e dai punti interni ad essa. Osservazione: la circonferenza è una linea, il cerchio è una superficie! due circonferenze o due cerchi che hanno raggi congruenti sono tra loro congruenti e, viceversa, due circonferenze o due cerchi congruenti tra loro hanno raggi congruenti. 1
Def.: Si dice corda di una circonferenza ogni segmento che unisce due suoi punti. Si dice diametro ogni corda passante per il centro. Osservazione: ogni diametro è il doppio del raggio e quindi tutti i diametri sono congruenti. ogni corda non passante per il centro è minore del diametro. Il diametro è la corda massima. Teorema: la perpendicolare condotta per il centro di una circonferenza a una corda divide la corda a metà. è un triangolo isoscele è l altezza relativa alla base è anche mediana Vale anche il teorema inverso: la perpendicolare ad una corda condotta per il suo punto medio (ASSE DELLA CORDA) passa per il centro della circonferenza.
Si dice arco di circonferenza ciascuna delle due parti in cui una circonferenza risulta divisa da due suoi punti che si dicono estremi dell arco. L arco di estremi A e B si indica con. La corda che unisce gli estremi dell arco si dice che sottende l arco; al contrario si dice che l arco è sotteso dalla corda. SOTTENDE all ARCO in una circonferenza, archi congruenti sono sottesi da corde congruenti. Osservazione: Se la corda è un diametro, la circonferenza si divide in due archi congruenti chiamati semicirconferenze. Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza 1. Retta esterna, se la distanza d della retta dal centro della circonferenza è maggiore del raggio r: 2. Retta tangente, se la distanza d della retta dal centro della circonferenza è congruente al raggio r: 3. Retta secante, se la distanza d della retta dal centro della circonferenza è minore del raggio r: s è esterna a C t è tangente a C u è secante a C 3
La retta tangente ad una circonferenza in un suo punto è perpendicolare al raggio, avente un estremo in quel punto, detto punto di tangenza. Posizioni reciproche di due circonferenze 1. circonferenze esterne: non hanno punti in comune e la distanza d tra i loro centri è maggiore della somma dei raggi: 2. circonferenze tangenti esternamente: hanno un solo punto in comune e la distanza tra i loro centri è congruente alla somma dei raggi:
3. circonferenze secanti: hanno due punti in comune e la distanza tra i loro centri è minore alla somma dei raggi e maggiore della loro differenza: e 4. circonferenze tangenti internamente: hanno un solo punto in comune e la distanza tra i loro centri è congruente alla differenza dei raggi: 5. circonferenze l una interna all altra: non hanno alcun punto in comune e la distanza tra i loro centri è minore alla differenza dei raggi: 5
6. circonferenze concentriche: non hanno alcun punto in comune e hanno lo stesso centro. La parte di piano limitata da due circonferenze concentriche di raggi diversi è detta corona circolare.
Angoli al centro e angoli alla circonferenza Si dice ANGOLO AL CENTRO ogni angolo che ha il vertice nel centro di una circonferenza. l angolo al centro insiste sull arco o corrisponde all arco. A ogni angolo al centro corrisponde un solo arco e viceversa. Angoli al centro congruenti insistono su archi congruenti e viceversa. Si dice ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ogni angolo che ha il vertice in un punto della circonferenza e i lati che passano per altri due punti della circonferenza. 7
ogni angolo alla circonferenza individua un solo arco su cui insiste. Viceversa, ad uno stesso arco corrispondono infiniti angoli alla circonferenza. tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco sono congruenti. Def. Un angolo al centro e un angolo alla circonferenza che insistono su uno stesso arco si dicono corrispondenti. ogni angolo alla circonferenza è la metà dell angolo al centro corrispondente.
ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è un angolo retto. in ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all ipotenusa è la metà dell ipotenusa. Si dice settore circolare ciascuna delle due parti in cui un CERCHIO risulta diviso da due suoi raggi, che si considerano appartenenti al settore. 9
Si dice segmento circolare a una base ciascuna delle parti in cui un cerchio risulta diviso da una sua corda, che si considera appartenente al segmento circolare. Si dice segmento circolare a due basi la parte di cerchio limitata da due sue corde parallele e dai due archi di circonferenza tra esse compresi.