Itituzioni i Probabilità Laurea magitrale in Matematica prova critta ell 8/5/13 Exercie 1. punti 7) Sia W un moto browniano reale e f una funzione in L p, T ) per qualche p >. Sappiamo che, per ogni < t, fr)w r è una v.a. gauiana. Vogliamo imotrare che il proceo continuo It) = fr)w r ha traiettorie höleriane. 1. Si imotri che, per ogni intero poitivo m, E t ) fr)w r m t m/ = C m fr) r ove C m := E Z m, con Z v.a. N, 1).. Si euca che il proceo I ha traiettorie che ono q.c. α-höleriane, per ogni α < 1 1 p uggerimento: per la iuguaglianza i Höler, vale fr) r ) t ) 1 /p T /p). fr) p Exercie. punti 9) Sia S una paeggiata aleatoria ugli interi, ucente a zero, con gli incrementi X n = S n S n 1, tra loro inipenenti, che aumono olo i valori ±1 con egual probabilità paeggiata aleatoria immetrica). Per ogni a N, ia τ a il primo itante in cui i raggiunge a. Sia λ un numero reale poitivo. Si conieri come filtrazione quella aociata al proceo egli incrementi X n ) n. 1. Si imotri che e λsn coh λ) n è una martingala, convergente q.c. per n + coh λ = eλ +e λ ; i noti che coh λ > 1 per λ > ).. Si imotri che e λsn τa coh λ) n τa converge per n + ) q.c. e in L 1 a e λa coh λ) τa 1 τa<+. 3. Uano il teorema arreto, i imotri che τ a < + q.c. e che Ecoh λ) τa = e λa uggerimenti: i) i conieri il tempo i arreto n τ a ; ii) i prena il limite per λ ). Exercie 3. punti 14) Dato un moto browniano n-imenionale B t ) t e ue funzioni regolari a upporto compatto α, β : R R, con β ) = 1, i conieri la eguente SDE in R n : { X t = α X t ) X t t + β X t ) Π X t ) B t X = x R n ove v inica la norma eucliea i v R n e, per ogni v R n, Π v) è la matrice Π v) = v I v v cioè Π v) w = v w v v, w). Si riconocano preliminarmente alcune proprietà i Π v), quali Π v) v =, Π v) = Π v), Π v) Π v) = v Π v), T r Π v) = n 1) v, UΠ v) U T = Π Uv) e U è una matrice ortogonale. 1. Si icuta eitenza e unicità per queta SDE.. Si imotri che X t, e quini X t, è empre eterminitico. 1
3. Si imotri che, e α ) = n 1) β ), allora X t = x è cotante. Nel eguito i auma queta conizione e i ponga R = x. 4. Data un applicazione ortogonale U : R n R n, i imotri che Z t = UX t riolve la tea equazione, a partire al ato iniziale Ux, ripetto al moto browniano B t = UB t. 5. Preo v R n, i calcoli la funzione valore atteo m t el proceo X t, v. 6. Si calcoli la funzione varianza σ t el proceo X t, v uggerimento: i calcoli X t, v e, etta X, v t la variazione quaratica i X t, v, motrare che ea i può eprimere in termini i X t, v ).
1 Soluzioni Eercizio 1. 1. Se Z è una N, 1), appiamo che: i) C m < ; ii) σz ha legge N, σ ). Quini, e X N, σ ), vale E X m = σ m E Z m = σ m C m. La v.a. X = fr)w r è una N, σ ) con σ = fr) r. Pertanto E. Per ogni < t, E It) I) m = E m/ fr)w r m = C m σ m = C m fr) r). fr)w r m = C m ) m/ T ) m/p fr) r t ) 1 /p)m/ fr) p per completezza, la iuguaglianza el uggerimento va verificata). Per il criterio i Kolmogorov, eite una verione con traiettorie q.c. γ-höleriane per ogni 1 m p) 1 γ < = p m p 1 m = 1 1 p 1 m. Siccome m è arbitrario, con un uuale ragionamento ull unione i una famiglia numerabile i iniemi i miura nulla i arriva a ire che eite una verione con traiettorie q.c. γ-höleriane per ogni γ < 1 1 p. Infine, non c è biogno i parlare i verione höleriana perché It) è già continuo. In altre parole, a meno i initinguibilità, il proceo continuo It) è γ-höleriano per ogni γ < 1 1 p. Eercizio. 1. Eeno S n una v.a. finita, e λsn è integrabile. Prea come filtrazione i riferimento quella aociata al proceo X n ), i riconoce inuttivamente che S n è aattato. Infine E e λs n+1 F n = E e λx n+1 e λsn F n = e λsn E e λx n+1 = e λsn coh λ a cui E e λs n+1 coh λ) n+1) F n = e λsn coh λ) n quini e λsn coh λ) n è una martingala. Inoltre è poitiva, quini converge q.c.. Sull evento τ a <, e λsn τa coh λ) n τa vale efinitivamente e λsτa coh λ) τa = e λa coh λ) τa, quini converge q.c. a e λa coh λ) τa 1 τa<+. Per le ucceive imotrazioni uiamo il fatto comune che S n τa a q.c., per ogni n la paeggiata parte a e alta con pai unitari, quini non può trovari opra a enza eere paata per a). 3
Sull evento τ a =, abbiamo e λsn τa e λa, coh λ) n τa = coh λ) n, pertanto e λsn τa coh λ) n τa e λa coh λ) n ovvero il limite è ancora e λa coh λ) τa 1 τa<+. Inoltre, q.c., vale coh λ 1, coh λ) n τa 1, e λsn τa e λsn τa coh λ) n τa e λa e λa quini e pertanto, per il teorema i convergenza ominata, vale la convergenza anche in L 1. 3. Per il teorema i arreto, preo un qualiai intero poitivo n >, conierato il tempo i arreto limitato n τ a, vale E e λsn τa coh λ) n τa = 1. Ma abbiamo appena oervato che e λsn τa coh λ) n τa converge a e λa coh λ) τa 1 τa<+ in L 1, per n, quini, paano al limite nell ientità preceente, otteniamo E e λa coh λ) τa 1 τa<+ = 1 ovvero E coh λ) τa 1 τa<+ = e λa. Queta relazione vale per ogni λ >, quini empre applicano il teorema i convergenza ominata) vale anche per λ = : E 1 τa<+ = 1 ovvero P τ a < + ) = 1. Aoato queto, implicitamente abbiamo già imotrato che E coh λ) τa = e λa. Eercizio 3. Inizialmente, anrebbero verificate le proprietà algebriche i Π v). 1. I coeffi cienti ono regolari a upporto compatto, quini ono lipchitziani e limitati); pertanto c è eitenza e unicità forte.. Per la formula i Itô, X t = X t, X t + β X t ) n Π ik X t )) t i,k=1 = X t, X t + β X t ) T r Π X t ) Π X t ) t. Vale Π X t ) Π X t ) = Π X t ) Π X t ) = X t Π X t ), T r Π X t ) Π X t ) = n 1) X t 4, quini, uano anche Π v) v =, X t = α X t ) X t t + n 1) β X t ) X t 4 t. 4
Quini il proceo y t := X t oifa q.c. l equazione ifferenziale eterminitica t y t = α y t ) y t + n 1) β y t ) y t y = x. Queta equazione ha oluzione unica anch ea ha coeffi cienti regolari a upporto compatto), quini y t ovvero X t ) è quai certamente uguale a tale unica oluzione eterminitica anche il ato iniziale è eterminitico). 3. Quano α ) = n 1) β ) troviamo X t = e quini X t = x. Nel eguito, ogni volta che compare X t, gli potremo otituire R. 4. Abbiamo X t = x + α X ) X + β X ) Π X ) B quini Z t = Ux + = Ux + α X ) UX + α Z ) Z + β β X ) UΠ X ) U T UB Z ) UΠ X ) U T B in quanto v = Uv per ogni v abbiamo anche uato la prorietà Z UB = Z B che icene a eempio alla efinizione i integrale tocatico o alla formula i Itô). Ma UΠ X ) U T = Π UX ) = Π Z ), quini Z t oifa la tea equazione. Per completezza, anrebbe anche piegato perché B t è un moto browniano. 5. Per la formula i Itô X t, v = α X t ) X t, v t + β X t ) v, Π X t ) B t ove Ovvero X t, v = x, v + v, Π X t ) B t = X t v, B t v, X t X t, B t = X t v v, X t X t, B t. e anche eeno X = R) X t, v = x, v + α X ) X, v + α R ) X, v + 5 β X ) X v v, X X, B β R ) R v v, X X, B
quini moulo verificare che il termine i Itô è una martingala) ovvero Troviamo E X t, v = x, v + α R ) E X, v t m t = α R ) m t, m = x, v. m t = x, v e αr )t ricrivibile anche come m t = x, v e n 1) βr ) R t. Il termine i Itô era una martingala: il proceo R v v, X X è limitato e quini i clae M, al momento che X ta ulla fera i raggio R. 6. Per la formula i Itô X t, v = α R ) X t, v t + X t, v β R ) R v v, X t X t, B t + X, v t e come opra X t, v = x, v + + α R ) X, v X, v β R ) R v v, X X, B + X, v t ove poi ueremo il fatto che l integrale i Itô ha meia nulla come opra). Dobbiamo calcolare X, v t. Vale Riaumeno, E X t, v = x, v + X, v t = β R ) Poto r t) = E X t, v, vale = β R ) R v v, X X R 4 v R v, X ). α R ) E X, v +β R ) t r t) = α R ) β R ) ) R r t) + β R ) R 4 v r ) = x, v. R 4 v R E v, X ). 6
Si può oervare che, iccome tiamo upponeno α ) = n 1)β ), l equazione i può emplificare in La oluzione è t r t) = nβ R ) R r t) + β R ) R 4 v. r t) = e nβr ) R t x, v + β R ) R 4 v nβ R ) R 1 e nβr ) R t ) a cui poi 1. σ t) = r t) m t). 7