I-Compitino LOGICA MATEMATICA 12 dicembre 2016 nome: cognome: - Scrivete in modo CHIARO. Elaborati illegibili non saranno considerati. - NON si considerano le BRUTTE copie. - Ricordatevi di ESPLICITARE l uso della regola dello scambio sia a destra che a sinistra del sequente (se non lo fate perdete punti!). - Ricordatevi di ETICHETTARE LE DERIVAZIONI CON LE REGOLE USATE (se non lo fate perdete punti!) Mostrare se i sequenti di seguito sono tautologie o opinioni o paradossi in logica classica e in logica intuizionista con uguaglianza. Il punteggio indicato è assegnato ad ogni derivazione utile per stabilire se il sequente è tautologia, opinione o paradosso posto che queste siano determinanti per risolvere l esercizio. In particolare le derivazioni in DNI = valgono il doppio dei punti e cosi quelle in DNC = nel caso che il sequente non sia valido in DNI =. Le derivazioni di un sequente intuizionisticamente valido fatto in DNC = valgono il punteggio indicato. ( A B ) A & B ( A B ) A & B ( ( A B ) ( B A ) ) ( A A ) ( A ) ( A & B ) A B ( A B ) (B A) 1
y C(y) x ( B(x) B(x) ) y x x y x w x w x ( A(x) C ) x A(x) C x A(x) x ( A(x) A(x) ) ( A B ) ( A B ) 7 punti x A(x) ( x B(x) x ( A(x) B(x) ) ) Formalizzare in sequente le argomentazioni di seguito. Si provi se il sequente ottenuto è tautologia, opinione o paradosso in logica classica e in logica intuizionista con uguaglianza. Il punteggio indicato è assegnato ad ogni derivazione utile per stabilire stabilire se il sequente è tautologia, opinione o paradosso posto che queste siano determinanti per risolvere l esercizio. In particolare le derivazioni in DNI = valgono il doppio dei punti e cosi quelle in DNC = nel caso che il sequente non sia valido in DNI =. Le derivazioni di un sequente intuizionisticamente valido fatto in DNC = valgono il punteggio indicato. (7 punti) Non si dà il caso che in Africa non ci siano degli elefanti. Gli elefanti sono animali a rischio di estinzione. Non si dà il caso che in Africa non ci sia qualche animale a rischio di estinzione. si consiglia di usare: E(x)= x è elefante R(x)= x è un animale a rischio di estinzione A(x)= x è in Africa (8 punti) Un desiderio di Giulio è diventare un cantante rock. Diventare un cantate rock è diverso che diventare un cantante di jazz. Giulio ha un unico desiderio. Se Giulio avesse il desiderio di diventare cantante di jazz sarebbe già famoso. si consiglia di usare: D(x,y)=x è un desiderio di y F(x)= x è già famoso r=diventare un cantante rock 2
j=diventare un cantante di jazz l=diventare un cantante lirico g=giulio (10 punti) Nessuna funzione monotona si applica a tutte e sole le funzioni che non si applicano a sè stesse. ove si consiglia di usare: F (x)= x è una funzione A(x, y)= x si applica ad y C(x)=x è monotona (10 punti) Non si dà il caso che soltanto i gruppi abbiano un elemento neutro. si consiglia di usare: G(x)= x è un gruppo N(x)= x ha un elemento neutro (1) Non si dà il caso che in ogni monoide con almeno un elemento ci sia un elemento che se lui è invertibile allora tutti gli elementi del monoide siano invertibili. ove si consiglia di usare: M(x)= x è monoide E(x, y)=x è un elemento di y I(x)= x è invertibile (20 punti) Dimostrare che in DNI = un sequente Γ β è derivabile se e solo se lo è il sequente Γ & β ove si ricorda che Γ & tt (costante vero) se Γ è la lista vuota Γ & pr 1 se Γ pr 1 Γ & ( pr 1, pr 2 )..., pr n ) & & pr n+1 se Γ pr 1, pr 2,... pr n+1 con n 1 (8 punti) Dimostrare che la seguente regola è ammissibile nel frammento di LC = con tutti gli assiomi e soltanto le regole per la disgiunzione e la quantificazione universale: Γ 1, tt, Γ 2, Γ 1, Γ 2 2 3
(1) Stabilire se la seguente regola Γ, fr[x/t] β Γ, fr β 3 è ammissibile in LI = e in LC = e se è invertibile in entrambe le logiche. (20 punti) Stabilire se il frammento LI, di LI = con assiomi e regole di quantificazione universale e disgiunzione prova gli stessi teoremi del frammento LI, rist avente le stesse regole di LI, eccetto per la regola di S che è ristretta alla seguente istanza Γ, fr α Γ, x fr α Sr(x V L(Γ)) 4
0.1 Calcolo dei sequenti per la deduzione naturale intuizionista con uguaglianza DNI = Γ A & Sn 1 Γ Γ A ex-f-q Γ B & Sn 2 Γ A B Γ, A C Γ, B C Γ C Γ A Γ A Γ Sn Γ A B Γ A Sn Γ B Γ x A(x) Γ A(t) Sn ax-id Γ, A, Γ A Sn Γ x A(x) Γ, A(w) C Sn (w V L(Γ, x A(x), C)) Γ C Γ t = s Γ A(t) Γ A(s) ax- Γ Σ, Γ, Θ, Γ, C Σ, Γ, Θ, Γ, C sc sx Γ A Γ B & D Γ A Γ A B Dn 1 Γ, A Γ A D Γ, A B Γ A B D Γ A(w) Γ xa(x) = Sn = ax Γ t = t Γ A(t) Γ x A(x) Dn Γ B Γ A B Dn 2 D (w V L(Γ, xa(x))) 0.2 Calcolo dei sequenti per la deduzione naturale classica con uguaglianza DNC = Regole di DNI = + Γ, A Γ A ra e si ricorda che t s t = s 5
Calcolo dei sequenti LC = per la logica classica predicativa con uguaglianza ax-id ax- Γ, A, Γ, A, Γ,, Γ ax- Γ,, Σ, Γ, Θ, Γ, Σ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ sc sx Γ Σ,, Θ,, Γ Σ,, Θ,, sc dx Γ, A, B Γ, A&B &S Γ A, Γ B,, Γ, A Γ, B Γ, A B S Γ A, B, Γ A B, D Γ A, Γ, A S Γ, A Γ A, D Γ A, Γ, B S Γ, A B Γ, x A(x), A(t) Γ, x A(x) S Γ, A B, Γ A B, D Γ A(w), Γ xa(x), Γ, A(w) Γ, x A(x) S (w V L(Γ, x A(x), )) Γ A(t), x A(x), Γ x A(x), Σ, t = s, Γ(t) (t), Σ, Γ(s), t = s (s), = S 1 = ax Γ t = t, & D D (w V L(Γ, xa(x), )) D Σ, s = t, Γ(t) (t), Σ, Γ(s), s = t (s), = S 2 6
0.3 Calcolo dei sequenti della Logica Intuizionista predicativa con uguaglianza ax-id Γ, A, Γ A ax- Γ,, Γ C Σ, Γ, Θ, Γ, C Σ, Γ, Θ, Γ, C sc sx ax- Γ Γ, A, B C Γ, A&B C &S Γ A Γ B Γ, A C Γ, B C Γ, A B C S Γ A Γ A B D 1 Γ, A A Γ, A B S Γ, A Γ A D Γ, A B A Γ, B C Γ, A B C Γ, x A(x), A(t) C Γ, x A(x) C S S & D Γ, A B Γ A B D Γ A(w) Γ xa(x) Γ, A(w) C Γ, x A(x) C S (w V L(Γ, x A(x), C)) Γ A(t) Γ x A(x) D Σ, t = s, Γ(t) C(t) Σ, Γ(s), t = s C(s) = S 1 = ax Γ t = t Σ, s = t, Γ(t) C(t) Σ, Γ(s), s = t C(s) = S 2 Γ B Γ A B D 2 D (w V L(Γ, x A(x))) 7