Prove scritte di Analisi I - Informatica Prova scritta del 3 gennaio Esercizio Stabilire il comportamento delle seguenti serie: n= n + 3 sin n, n= ( ) n n + 3 sin n, n= (n)! (n!), n= n + n 9 n + n. Esercizio Si consideri la funzione f() = e log +log. Determinare l insieme di definizione di f. (ii) Determinare l insieme dei punti di continuità di f. (iii) (iv) (v) Trovare gli intervalli ove la f è monotona. Calcolare l estremo superiore e l estremo inferiore di f, specificando se si tratti di massimo o di minimo. Determinare tutti gli asintoti di f, se esistono. Esercizio 3 Calcolare l integrale te +t dt. Prova scritta del 7 febbraio Esercizio Si consideri la serie di potenze n= ( ) n(n+ (3 + cos nπ) n z n, z C. Si determini il raggio di convergenza R. (ii) Si descriva il comportamento della serie nei punti z C con z = R. (iii) Si calcoli la somma della serie nei punti z C con z < R.
Esercizio Sia f() = + 3, R. (ii) Si provi che f : R R è bigettiva. Si verifichi che f C (R). (iii) Si scriva il polinomio di Taylor di f di centro = e grado. Esercizio 3 Fra tutte le soluzioni dell equazione differenziale y () y() = e, R, si determini quella per la quale la quantità y( d è minima. Prova scritta del 3 maggio Esercizio Si consideri la successione {a n } n N così definita: { a = a n+ = an n N. Si verifichi che {a n } n N è una successione decrescente e che {a n+ } n N è una successione crescente. (ii) Si mostri che esiste L = n a n e lo si calcoli. (iii) Si provi che a n L n per ogni n N. Esercizio Dimostrare che sinh Esercizio 3 Calcolare l integrale cosh + sinh R. e (t log t + )(log t + ) t log t + dt.
Prova scritta del 6 giugno Esercizio Si consideri la successione a n = n d, n N. + Si verifichi che {a n } è strettamente decrescente. (ii) Si provi che a n = n a n per ogni n. iii) Si deduca che a n è infinitesima e che n= a n = +. Esercizio Sia f : R R definita da se, f() = + arcsin( ) se < <, π + se. Si verifichi che f è continua e surgettiva. (ii) Si provi che f è strettamente crescente in R. (iii) Si deduca che f : R R è una funzione di classe C. Esercizio 3 Determinare la natura dei punti stazionari della funzione f(, y) = ( y )e, (, y) R. Prova scritta del giugno Esercizio Calcolare, se esiste, Esercizio Poniamo n n f() = e n log d. n+. n= Determinare il dominio e l immagine della funzione f. 3
(ii) Provare che f è invertibile e scrivere esplicitamente l inversa f. (iii) Calcolare (f ) (). Esercizio 3 Calcolare l integrale e + e d. Prova scritta del 7 giugno Esercizio Sia {a n } una successione reale o complessa, tale che (ii) la serie n= n a n sia convergente, la serie n= n a n sia divergente. Si determini il raggio di convergenza della serie di potenze an z n. n= Esercizio Calcolare, se esiste, il seguente ite: 3 + 5 6 38 5 3. Esercizio 3 Si consideri la funzione f() = log t dt, >. + t Calcolare inf > f(), sup f(). > (ii) Determinare i punti di massimo e di minimo relativo per f. (iii) La funzione f ha un asintoto per?
Prova scritta dell luglio Esercizio Determinare i punti R nei quali ciascuna delle due serie 3n+ e n, n 3n+ e n è convergente. n= Esercizio Trovare due numeri a, b R tali che la funzione a + b se f() = e 3 e arctan se > sia di classe C (R). Esercizio 3 Calcolare l integrale n= π/ sin t sin t sin t dt. Prova scritta del 9 settembre Esercizio Fissato λ, si consideri la successione {a n } definita da a = λ a n+ = a n(a n + ), n N. (ii) Stabilire per quali λ la successione è crescente e per quali λ la successione è decrescente. Per ogni λ si calcoli il n a n. Esercizio Determinare quante sono le soluzioni positive dell equazione e e = 5. Esercizio 3 Stabilire se i due integrali impropri log + d, + esistono o no, e in caso affermativo calcolarli. 5 3 + d
Risoluzione Esercizio Analizziamo la monotonia della successione {a n }. Si ha e similmente a a λ(λ + ) a n+ a n a n(a n + ) λ λ, a n a n. È dunque necessario stabilire preinarmente per quali λ risulta a n. Notiamo che questa condizione è induttiva, nel senso che infatti e se a n allora Dunque sarà a n = a n+ n N : a = λ = a = a n+ = a n(a n + ) λ(λ + ) { (+) (+) { (+) = = =. (+) =, a n n N λ, e per quanto visto all inizio concludiamo che a n+ a n n N λ. In definitiva, {a n } è crescente se λ > e decrescente se λ. Si osservi che, in particolare, {a n } è costantemente uguale a se λ =, ed è costantemente uguale a se λ =. (ii) Il ite L della successione {a n } esiste sempre, perché essa è monotona. Passando al ite nella relazione a n+ = an(an+) si deduce L = L(L+), ossia 6
L =, oppure L =, oppure L =. Tenuto conto del comportamento di {a n } stabilito in, si può concludere che a n = n Esercizio Consideriamo la funzione se λ < se λ = + se λ >. f() = e e 5,. Essa è nulla per = e tende a + per +. Analizziamo la derivata: dato che f () = e + e 5, si ha f () se e solo se e 5e +, ovvero se e solo se e 5 + oppure e 5, ma la seconda condizione non può mai essere verificata perché 5 <. Quindi f () se e solo se log( 5 + ). Pertanto f decresce nell intervallo [, log( 5 + )] e cresce nella semiretta [log( 5 + ), [. Dato che f() =, la f è negativa in [, log( 5 )], mentre nella semiretta [log( 5+), [ la f, essendo crescente, cambierà di segno una volta sola. In conclusione, l equazione f() = ha una e una sola soluzione positiva, anzi maggiore di log 5 +. Esercizio 3 Analizziamo il primo integrale. Nell intervallo ], [ la funzione integranda log è positiva e decrescente, con + log + + = + : dunque l integrale (improprio) esiste. D altra parte, essendo esisterà una costante K > tale che log + log + + =, + K + ], [, 7
e dunque il primo integrale è convergente per confronto con l integrale improprio K d = K. + Calcoliamone il valore mediante una integrazione per parti: log + d = [ ( + ) log ( + ) + ] + ( ( + ) = log + [] = log +. ) d = Analizziamo il secondo integrale: nella semiretta [, + [ la funzione integranda è positiva e quindi l integrale improprio esiste; però, essendo 3 + tale integrale vale +. 3 + = +, Prova scritta del settembre Esercizio Per ogni n N sia a n = n e n/, (ii) Si provi che la successione {a n } ha massimo, e lo si calcoli. Si determini il raggio di convergenza della serie di potenze a n z n. n= Esercizio Calcolare, se esiste, il ite + + 8 + log ( + ) cos ( cos ) 6 sin 3. 8
Esercizio 3 Si consideri la funzione f() = / + t Si provi che f è srtettamente crescente. (ii) Si determini l inmmagine di f. dt,. (iii) Si verifichi che f ha un asintoto obliquo per +. Risoluzione Esercizio La successione {a n } è strettamente positiva per ogni n (ovviamente) ed è infinitesima, come si verifica immediatamente; quindi, scelto ε ], a [ si avrà a n < ε per ogni n > ν, con un opportuno ν N +. Perciò, posto M = ma{a, a,..., a ν } si ha evidentemente M = ma n ν a n = ma n N a n. Calcoliamo M: la funzione reale f(t) = t / verifica ovviamente f(n) = a n per ogni n N; inoltre f è di classe C su R, è non negativa, è nulla per t = e tende a per t. Dunque f ha massimo positivo in [, [. Annullando la derivata di f si trova f (t) = (t 99 t ) / = t = ; quindi il punto t = è necessariamente l unico punto di massimo assoluto per f e si ha ma t f = f() = a = ma n N a n = M. Pertanto ( ) M = a = e / = 3.776 56. e (ii) Detto R il raggio di convergenza, si ha (se il ite esiste) R = n n an = n ( n n ) e / = e /, 9
cosicché R = e. Esercizio Il ite da calcolare è, dopo evidenti trasformazioni, + 8 + log( ) cos. 6 ( cos ) sin 3 + Utilizziamo i seguenti sviluppi di Taylor per t : + t = + t 3 3 t + o(t ), log( t) = t t + o(t ), cos t = t + o(t ), sin t = t + o(t). Sostituendo al posto di t rispettivamente le variabili 8,, e 3 si ottiene per + : + 8 = + 6 + o(), Pertanto log( ) = + o(), cos = + + o(), ( cos ) = 6 + o( ) = + o( ), 6 sin 3 = 6 3 + o() = + o( ). + + 8 + log( ) cos 6 ( cos ) sin 3 = + 3 + o() + o() = 3 8. Esercizio 3 Se < y si ha y <, cosicché /y dt; se ne deduce che f è strettamente crescente in [, [. +t / +t dt <
(ii) La funzione f è non negativa. Dato che f() dt, + t si ha f() per ; essendo anche f() =, per il teorema dei valori intermedi l immagine di f è [, [. (iii) Si ha f() = inoltre, per la continuità dell integrando, ( ) f() + t dt = = + t + t dt = dt = Pertanto l asintoto obliquo esiste ed ha equazione y = + t Prova scritta del 9 gennaio 3 dt. / + t dt ; +t dt Esercizio Trovare, se esistono, i numeri z C tali che z z + = iz +. Esercizio Dimostrare che n ( ) ( ) m + k m + n + = k n k= m, n N. =. Esercizio 3 Sia a R e sia f : R R definita da f() = 3 a +. Stabilire per quali a R la funzione f è surgettiva.
(ii) Stabilire per quali a R la funzione f è iniettiva. (iii) Stabilire per quali a R la funzione f è invertibile con inversa derivabile. e in tal caso si calcoli (f ) (). Esercizio Si calcoli, se esiste, il ite Esercizio 5 e cos t t/. t + t Per ogni n N si scriva la soluzione u n () dell equazione differenziale che si annulla nel punto =. u n() = n 3 u n () + sin (ii) Per ogni R si determini il comportamento della serie n= u n(). Prova scritta del 6 febbraio 3 Esercizio Calcolare, se esiste, n k/n. n n Esercizio Analizzare qualitativamente il grafico della funzione k= f() = e (sin cos ). Esercizio 3 Determinare l insieme delle soluzioni dell equazione differenziale y () y() = log. (ii) Provare che non esiste alcuna soluzione y() che sia positiva sulla semiretta ], [.
Prova scritta del giugno 3 Esercizio Sia {a n } n N la successione definita da { a = 5 a n+ = 5a n n N. Si provi che {a n } è monotona e se ne determini il ite per n. Esercizio Calcolare la somma n k k per ogni n N + e per ogni R. k= Esercizio 3 Calcolare l integrale π/3 d cos. Prova scritta del giugno 3 Esercizio Calcolare, se esiste, il ite Esercizio Sia n 3 n n 3 (n 5 n 3 ) log(7 + 5 3 n. ) f() = ( ), R. Si determinino le seguenti caratteristiche del grafico della funzione f: eventuali iti a ± ; (ii) eventuali asintoti; (iii) eventuali punti di massimo relativo e di minimo relativo; (iv) intervalli di convessità e di concavità. Esercizio 3 Calcolare, se esiste, l integrale log d. 3
Prova scritta del 7 luglio 3 Esercizio Sia {a n } n N la successione così definita: { a = Si provi che: (a) n a n = + ; (b) a n n per ogni n N + ; a n (c) n log n =. a n+ = log(n + a n ) n N. Esercizio Si consideri l equazione nella variabile R 3 3 y =. Per quali y R l equazione ha almeno una soluzione? (ii) Per quali y R l equazione ha più di una soluzione? Esercizio 3 Determinare, se esiste, una soluzione u dell equazione differenziale u u = π cos, R, che verifichi π/5 u()d =, π/ Prova scritta del 6 settembre 3 n= u()d = π. Esercizio Stabilire per quali R è convergente la serie ( sin π ) n sin π n. n + Esercizio Calcolare, se esiste, il ite e cos. + sin
Esercizio 3 Determinare, se esistono, gli asintoti della funzione g() = e et dt, R. 5