M.Guida, S.Rolando, Integrali tripli / Esercizi svolti ESERCIZIO. Rappresentare graficamente l insieme (x, y) R :y x, x + y e calcolare l integrale e x+y dxdy. Posto V (x, y, z) R :(x, y), z, calcolare poi l integrale triplo V ze x+y dxdydz. Svolgimento. L insieme (rappresentato in figura) è l intersezione dei tre insiemi individuati dalle seguenti disequazioni: y semipiano al di sopra dell asse x, asse x incluso; y x semipiano al di sotto della bisettrice y x, bisettrice inclusa; y x + semipiano al di sotto della retta y x +, retta inclusa. Il calcolo dell integrale risulta comodo per orizzontali, in quanto è orizzontalmente convesso e le sue frontiere in ingresso ed uscita sono rappresentate da un unica espressione ciascuna, cioè x y e x y +rispettivamente, con y [, ]. Siottiene y+ e x+y dxdy e x+y dx dy e x+y xy+ dy e e y dy y e dy e e y dy e y y y xy e +. lternativamente, il calcolo può essere eettuato anche per verticali, ma l insieme va diviso in due, in quanto, muovendosi parallelamente all asse y, la frontiera in uscita non è più rappresentata da un unica espressione. In questo caso si ottiene e x+y dxdy x e x+y dy dx + e x+y yx y dx + e x dx e x x x e x dx + x+ e x+y dy dx e x+y yx+ dx y e dx e x dx [e x ] x x + e ( ) [e x ] x x e +. e x e x dx + e e x dx L insieme V è evidentemente semplice rispetto all asse z (è un prisma triangolare retto di base ed altezza ), con proiezione sul piano xy data dall insieme e frontiere in ingresso ed uscita date
M.Guida, S.Rolando, rispettivamente da z e z. llora, integrando per fili verticali, si ha ze x+y dxdydz ze x+y dz dxdy e x+y zdz dxdy zdz e x+y dxdy V z z e + e +. z ESERCIZIO. Calcolare l integrale ( + z) dxdydz con (x, y, z) R : x + y +z, z. Svolgimento. L insieme è l intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni: x + y + z interno dell ellissoide x + y + z di centro O esemiassia b e c, ellissoide incluso; z semispazio al di sopra del piano xy, piano incluso. Poiché le sezioni orizzontali del semiellissoide pieno sono cerchi (si noti che l ellissoide x +y +z è di rotazione attorno all asse z), conviene integrare per fette orizzontali (ma anche per fili il calcolo non risulta troppo dicile). unque, osservato che la proiezione di sull asse z è l intervallo [, ] (si ricordi che i semiassi dell ellissoide sono,, ) e che le sezioni orizzontali di aquotaz [, ] si proiettano sul piano xy nei cerchi z (x, y) R :(x, y, z) (x, y) :x + y +z (x, y) :x + y z (di centro l origine e raggio z ), si ottiene ( + z) dxdydz ( + z) dxdy dz z ESERCIZIO. Calcolare l integrale zdxdydz con ( + z) area ( z ) dz +z z z dz ( + z) dxdy dz z ( + z) z dz z + z z z. (x, y, z) R : x + y + z 9, z.
M.Guida, S.Rolando, Svolgimento. L insieme è l intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni: x + y + z 9 interno della sfera di centro l origine e raggio, sfera inclusa; z semispazio al di sopra del piano z, piano incluso. Il calcolo dell integrale può essere eettuato abbastanza comodamente sia per fili paralleli all asse z che per strati ortogonali all asse z. Vediamo entrambi i procedimenti. Per fili paralleli all asse z. La proiezione di sul piano xy coincide evidentemente con la proiezione sullo stesso piano del cerchio di base di, cheèdatoda x + y + z 9 z, ossia x + y z. llora (x, y) R : x + y e (x, y, z) R :(x, y), z 9 x y, in quanto i fili entrano in attraverso il piano z ed escono attraverso la semisfera z 9 x y. unque zdxdydz 9x y zdz dxdy z z 9x y dxdy z d 9x y zdz dxdy x y dxdy, dd dove si è passati a coordinate polari per integrare sul cerchio. Per strati ortogonali all asse z. La proiezione di sull asse z è evidentemente data dall intervallo, e la proiezione sul piano xy della sezione di con il piano orizzontale a quota z, èil cerchio z (x, y) R : x + y 9 z (di raggio 9 z ). unque zdxdydz zdxdy dz z z 9 z dz z dxdy dz z 9z z dz 9 z z z area ( z ) dz z z.
M.Guida, S.Rolando, ESERCIZIO. ati gli insiemi calcolare (x, y) R : x +9y e V (x, y, z) R :(x, y), z 5 x y, V xdxdydz. Svolgimento. La definizione dell insieme di integrazione V suggerisce di integrare per fili verticali. La proiezione di V sul piano xy è individuata dalle condizioni (x, y) e 5 x y, cioè dalle disequazioni x +9y (interno dell ellisse x +9y, ellisse inclusa) y 5 x (semipiano sotto la retta y 5x). Rappresentando graficamente tali disequazioni, si vede subito che tutta l ellisse piena x +9y è contenuta nel semipiano y 5 x e quindi il sistema precedente equivale alla sola disequazione x +9y, cioè individua esattamente l insieme dato nel testo. Riducendo per fili, si ha allora 5xy 5xy xdxdydz xdz dxdy x dz dxdy x (5 x y) dxdy. V Scrivendo l insieme nella forma x + y /9 corrispondenti coordinate ellittiche (ellisse piena di semiassi e /) e passando alle x t cos y t sin (t>, < ), l ellisse piena intera privata dell origine (che è trascurabile nell integrazione) si trasforma nel rettangolo (, ] [, ) erisultadxdy tdtd. llora, integrando tramite cambiamento di variabili, si ottiene x (5 x y) dxdy t cos 5 t cos (,] [,) t sin tdtd t cos 5 t cos t sin dt d cos 5t t cos t sin dt d 5 5 cos cos t t 5 cos cos d cos d, t t cos sin sin d d t cos d cos sin d dove si è usato il fatto che cos d cos d e cos sin d cos sin d
M.Guida, S.Rolando, 5 (integrando dispari su intervallo di integrazione simmetrico). Poiché +cos() cos d d + sin() + c (si ricordi l identità cos +cos() ), risulta quindi x (5 x y) dxdy + sin(). ESERCIZIO. Calcolare il momento d inerzia rispetto all asse z dell insieme (x, y, z) R : x + y +z, y x. Svolgimento. Per definizione di momento d inerzia di un insieme rispetto all asse z, si deve calcolare l integrale I z x + y dxdydz. L insieme di integrazione è l intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni: x + y + z interno dell ellissoide di semiassi,,, ellissoide incluso; y x angolo diedro acuto delimitato dai semipiani verticali che intersecano il piano xy nelle semirette y x, semipiani inclusi. Visto l insieme, il calcolo dell integrale può essere eettuato in vari modi, risultando particolarmente semplice se eseguito per strati ortogonali all asse z (come suggerito dal fatto che è un insieme di rotazione attorno all asse z e quindi le sezioni orizzontali sono porzioni di cerchi). Vediamo comunque anche il procedimento di integrazione per fili paralleli all asse z, cherisultadipocopiùcomplicato. Per strati ortogonali all asse z. La proiezione di sull asse z è evidentemente data dall intervallo [, ] (si veda la figura e si ricordi che è il semiasse dell ellissoide relativo all asse z). La proiezione sul piano xy della sezione di con il piano orizzontale a quota z [, ] è l insieme z (x, y) R :(x, y, z) (x, y) R : x + y +z, y x (x, y) R : x + y ( z ),y x che è il settore circolare di raggio z z rappresentato in figura.
M.Guida, S.Rolando, 6 unque x + y dxdydz x + y 7/ z dxdy dz dd dz z 5/ z dz z dz z dz z + z dz z z + z5 5 + 5 5, dove si è passati a coordinate polari per integrare su z e, per semplificare i conti, si è usata l uguaglianza z dz z dz, che sussiste in quanto l integrando è pari e l intervallo di integrazione è simmetrico rispetto all origine. Per fili paralleli all asse z. La proiezione di sul piano xy coincide evidentemente con il settore circolare ottenuto intersecando l insieme con il piano xy, ossiaè (si veda la figura che rappresenta ). llora e quindi x + y dxdydz (x, y) R : x + y, y x. (x, y, z) R (x :(x, y), +y ) z (x +y )/ x + y dz dxdy (x +y )/ x + y (x +y )/ dz dxdy (x +y )/ x + y (x + y )dxdy 7/ d, 5/ (x +y ) dd dove si è passati a coordinate polari per integrare su. Eettuando ora il cambio di variabile u e quindi du d e u, siottiene d ( u) udu u u du 8 u 5 u 5 6 5 edunquesiconclude x + y dxdydz d 5. ESERCIZIO. Calcolare il volume dell insieme ottenuto dalla rotazione completa attorno all asse z
M.Guida, S.Rolando, 7 della regione del piano xz definita da B (x, z) R : (x ) + z, x. Svolgimento. La regione B del piano xz è una semiellisse piena, intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni: (x) + z interno dell ellisse di centro (, ) esemiassia e b, ellisse inclusa; x semipiano a destra della retta x (passante per il centro dell ellisse), retta inclusa. L insieme di rotazione è rappresentato (parzialmente e poi totalmente) nelle figure seguenti: Il calcolo del volume di può essere eettuato in almeno tre modi, che risultano via via più complicati: tramite il primo teorema di Guldino, oppure calcolando per strati o per fili l integrale vol () dxdydz. Vediamo i primi due procedimenti (l integrazione per fili risulta notevolmente meno agevole), dopo aver osservato che, per la simmetria dell insieme, si può operare la seguente semplificazione (che non è comunque essenziale allo svolgimento dei conti): vol () vol( + ) dxdydz + dove + è il solido dato dalla rotazione attorno all asse z del quarto di ellisse B + {(x, z) B : z }. Tramite teorema di Guldino. Per il primo teorema di Guldino, si ha vol ( + ) xdxdz, B + dove, visto l insieme B +, l integrale doppio si calcola agevolmente passando a coordinate polari ellittiche
M.Guida, S.Rolando, 8 centrate in (, ) e con parametri a, b : x +tcos z t sin, dxdz tdtd. Ragionando geometricamente (ma il conto algebrico è altrettanto semplice), si ottiene subito B + (t cos,tsin ) :t [, ],, e quindi B + xdxdz ( + t cos )tdtd + cos d + sin t + t cos dtd / + t + t +. t cos d t unque vol ( + ) + + 8 e vol () vol( +) + 6. Per strati ortogonali all asse z. lfine di integrare per strati, si osserva subito dalla rappresentazione grafica di B + (prima figura) che la proiezione di + sull asse z è l intervallo [, ] e che le sezioni di + con piani orizzontali a quota z [, ] sono corone circolari di raggi r ed r (z) + z, così come pure le loro proiezioni z sul piano xy. unque dxdydz dxdy dz area ( z ) dz r (z) r dz + z z +8 z dz 8 +8 z dz. Per calcolare l ultimo integrale, ricorriamo alla sostituzione standard z sint. Si ottiene z dz sin t cos tdt cos tdt t +cost sin t. unque 8 vol () +8 6 +. ESERCIZIO. Usando coordinate cilindriche, calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare attorno all asse z la figura del piano yz data dall insieme C (y,z) R : y, y z 6y. Svolgimento. L insieme C è l intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni: y striscia compresa tra le rette verticali y e y, rette incluse; y z 6y regione di piano compresa tra i grafici z y e z 6y, grafici inclusi.
M.Guida, S.Rolando, 9 Il solido risultante dalla rotazione di C attorno all asse z si ottiene dalla definizione di C sostituendo x + y (distanza dall asse di rotazione) al posto di y (variabile non relativa all asse di rotazione, sempre positiva su C); si ha quindi (x, y, z) R : x + y, x + y z 6 x + y. (.) Passando a coordinate cilindriche x r cos : y r sin z h (r >, <, h R), e ricordando che r x + y, dalla (.) si ottiene subito la descrizione seguente: (r cos,rsin,h) R : r, <, r h 6r (allo stesso risultato si sarebbe potuti pervenire senza ricavare la (.), ma ricordando il significato geometrico delle coordinate cilindriche e ragionando sulla forma di, ottenuto facendo ruotare l insieme C in figura). unque ( ) con (r,,h):(r, ) [, ] [, ), r h 6r e quindi vol () dxdydz rdrddh, dove ad integrando si è operata la sostituzione dxdydz det J (r,,h) drddh rdrddh. Integrando ora per fili paralleli all asse h (si noti che è h-semplice, a meno di passare alla sua chiusura), si conclude 6r 6r vol () rdh drd r dh drd [,] [,] r [,] [,] r r 6r r drd d 6r 5 r dr r 6 r 96. [,] [,] ESERCIZIO. Calcolare l integrale x + y z dxdydz con (x, y, z) R : x + y z 9 x y,z. Svolgimento. Poiché x + y z equivale a z x + y oppure z x + y,risulta x + y z z x + y z x + y z x z z + y e pertanto l insieme è l intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni: x + y + z 9 palla chiusa z x + y regione delimitata dal semicono z x + y di centro (rotazione di z x attorno all asse z) l origine econtenenteilsemiassez, e raggio ; semicono incluso.
M.Guida, S.Rolando, Si tratta dunque del settore sferico di apertura rappresentato nella seconda figura, frontiera inclusa. Passando a coordinate sferiche x sin cos : y sin sin ( >, <, < < ), z cos si ha x + y z sin cos +sin sin cos sin cos cos ; dxdy det J (,, ) ddd sin ddd; \{asse z} ( ) con (, ] [, ), ; ciò può essere dedotto sia geometricamente, tramite la rappresentazione grafica di ed il significato geometrico delle coordinate sferiche, sia algebricamente, tramite la definizione di e le equazioni del cambio di coordinate: (x, y, z) R \{asse z} >, <, < < x + y + z 9 z sin cos +sin sin +cos 9 x + y cos sin cos +sin sin >, <, < < < 9 <. cos sin < < unque si ottiene x + y z dxdydz [,] [,] [, ] cos sin ddd / d d sin cos sin d 5 5 6 5 cos + cos. / 5 + + 8