. Elementi di Calolo Combinatorio. Prinipio Base del Conteggio Supponiamo he si devono ompiere due esperimenti. Se l esperimento uno può assumere n risultati possibili, e per ognuno di questi i sono n risultati possibili del seondo, allora in totale i sono n n possibili risultati dei due esperimenti. Dimostrazione: E suffiiente elenare i possibili risultati dei due esperimenti. (,) (,) (, ) (,) (, n ) (, n ) ( n,) ( n,) ( n, n ) dove il risultato è ( i, j) se l esperimento numero assume il suo i-esimo risultato possibile e l esperimento numero assume il suo j-esimo risultato possibile. Prinipio Base Generalizzato del Conteggio Supponiamo he si devono ompiere r esperimenti. Se l esperimento uno E può assumere n risultati possibili, e per ognuno di questi i sono n risultati possibili del seondo esperimento E, e per ognuno dei possibili risultati del primo e del seondo esperimento i sono n possibili risultati del terzo E e se. allora in totale i sono n n n possibili risultati degli r esperimenti. r Dimostrazione: prinipio di induzione: Per r= la proposizione è vera in quanto vale il prinipio base del onteggio. Supponiamo he è vera per r- ioè he per r- esperimenti i sia un totale di n n n r esiti possibili.
Per r vale il seguente ragionamento: definiso l esperimento nuovo S he onsiste nel onsiderare i primi r-esperimenti E, E,, E r insieme. Questo esperimento ha n n n r esiti possibili (per l ipotesi induttiva). Per ognuno di questi risultati i saranno n possibili risultati di E, allora in base al prinipio r r base del onteggio i sono un numero totale di risultati pari a n n n n r r Permutazioni Quanti possibili ordinamenti della lettere a, b, sono possibili? I asi sono: ab, ab, ba, ba, ab, ba. Ognuno di questi ordinamenti si die permutazione. Ci sono 6 permutazioni di un insieme di elementi: = 6 In generale se ho un insieme di n elementi, i sarà un totale di diverse permutazioni. ( ) P n n = n! n Considerato un insieme di n elementi, il numero n! esprime il totale di ordinamenti he posso fare onsiderando tutti gli elementi dell insieme. Esempio : Una squadra di aletto è omposta da gioatori. Ogni aliatore deve tirare un rigore, quanti ordini di battuta diversi sono possibili? P =! = 4 = 0. Esempio : Il signor Rossi possiede 4 libri di matematia, di himia, di biologia e di inglese. Egli vuole disporre i libri nella sua libreria in modo he libri della stessa materia siano viini fra loro. Quanti ordinamenti diversi sono possibili?
Ci sono 4!!!! ordinamenti diversi he prevedono prima la sistemazione dei libri di matematia poi himia e quindi biologia e inglese. Ma i sono anhe 4! Possibili ordini delle materie da onsiderare quindi ho 4! 4!!!! = 69 Combinazioni Altre volte noi siamo nella neessità di determinare il numero di diversi gruppi di r oggetti he si possono formare da un totale di n oggetti. Due gruppi sono diversi fra loro se risultano omposti da elementi diversi (non onta l ordine degli stessi ome avveniva nella permutazioni). Quanti possibili gruppi di tre elementi selti dall insieme { A, BCDE,,, } posso selezionare? Ci sono selte per il primo elemento, 4 per il seondo e per il terzo. Contando in questo modo vado a onsiderare diversi gruppi quali ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Quindi ogni aso preedente viene ontato 6 volte di più ioè! volte in più. Quindi, poihé l ordine all interno del gruppo non è importante, il risultato è 4 = 0 In generale il numero di gruppi di r elementi selezionati da un insieme he ne ontiene n sono n ( n ) ( n r+ ) n! n = Cnr, r! ( n r)! r! r Esempio :
Si deve formare una ommissione di tre individui selezionati da una popolazione di 0 unità. Quante ommissioni diverse si possono formare? Due ommissioni sono diverse fra loro solo se sono diverse le persone he le ompongono quindi i sono ommissioni possibili. 0 0 9 8 = = 40 Esempio 4: Da un gruppo di donne e 7 uomini, quante ommissione di donne e uomini si possono formare? Ci sono possibili gruppi di donne prese da un insieme di. 7 Ci sono possibili gruppi di uomini presi da un insieme di 7. Dal prinipio del onteggio segue he è un totale di possibili ommissioni. 7 4 76 0 = = Disposizioni Cosa suede se onsideriamo diversi due gruppi anhe per l ordine on il quale gli elementi ompaiono all interno del gruppo? Cioè, quanti gruppi diversi (per elementi e per ordine) di k elementi presi da un totale di n si possono formare?
La risposta è semplie basta onsiderare il numero di ombinazioni n k (mi individua i gruppi diversi per elementi) e moltipliarle per le k! permutazioni dei k elementi he ostituisono il gruppo onsiderato. La quantità n n! D = C P = k! n n n k nk, nk, k k = = + ( n k)! ( ) ( ) Prende il nome di disposizione di n elementi presi a k alla volta. Esempio : Si deve formare una ommissione di tre individui selezionati da una popolazione di 0 unità. Il primo selezionato assume il ruolo di presidente, il seondo di vie-presidente e il terzo di segretario. Quante ommissioni diverse si possono formare? Due ommissioni sono diverse fra loro se sono diverse le persone he le ompongono ma anhe se è diverso l ordine di omposizione quindi le ommissioni possibili sono D 0, 0 =! = 0 9 8 = 6840. Elementi di Calolo delle Probabilità. Consideriamo un esperimento il ui risultato non è prevedibile on ertezza. Definizione Chiamiamo spazio ampionario l insieme di tutti i possibili esiti dell esperimento.
Esempio 6 Si lania una moneta. L esito dell esperimento non è noto in partenza S = C, T. ma so he il suo spazio ampionario { } Esempio 7 Si laniano due monete. L esito dell esperimento non è noto in partenza S = C, C, C, T, T, C, T, T. { } ma so he il suo spazio ampionario ( ) ( ) ( ) ( ) Definizione Chiamiamo evento un qualsiasi sottoinsieme E dello spazio ampionario S. A ogni evento vogliamo assegnare una misura (probabilità) della apaità dello stesso di verifiarsi ome risultato dell esperimento 0 del nostro grado di fiduia (personale) ira il verifiarsi dell evento. Definizione Presi due eventi E ed F dello stesso spazio ampionario S, hiamiamo evento unione E Fquell evento he si verifia quando aadono E o F. Esempio 8 Supponiamo di laniare simultaneamente due monete. Siano E TT,, TC, F = C, T. Allora l evento = {( ) ( )} e {( )} E F = ( T, T),( T, C),( C, T) si verifia se appare almeno una testa. { } Definizione 4 Presi due eventi E ed F dello stesso spazio ampionario S, hiamiamo evento intersezione (o prodotto) E Fquell evento he si verifia quando E ed F aadono.
Esempio 9 Supponiamo di laniare simultaneamente due monete. Siano E = {( TT, ),( TC, ),( CT, )} e F = {( T, C),( C, T),( C, C) }. Allora l evento E F = {( T, C),( C, T) } si verifia se appare testa ed roe. Si noti he anhe S, quindi anh esso è da onsiderarsi un evento he hiameremo evento nullo. Definizione Presi due eventi E ed F dello stesso spazio ampionario S, diiamo he essi sono inompatibili se E F =. Per esempio onsideriamo il lanio di due dadi. Siano E = {(, ),(, )}; F = {(, ),(, ),(, )} Allora l evento E F = il he india he non è possibile he la somma dei due dadi sia e 4. Definizione 6 Preso l evento E dello spazio ampionario S, indihiamo on E il suo evento omplementare (o opposto) quell evento he aade quando E non si verifia. Consideriamo un esperimento il ui spazio ampionario è S. Per ogni suo evento supponiamo di definire un numero P( E ) he soddisfa i seguenti tre assiomi. ASSIOMA ASSIOMA ( ) 0 P E P( S ) = ASSIOMA
E, E,... : i j E E = i j ( ) = ( ) P E P E i= i Il numero P( E ) prende il nome di probabilità dell evento E. i= L assioma i die he la probabilità di un evento è ompreso fra zero ed uno. L assioma due i die he on probabilità uno si verifiherà un evento dello spazio ampionario. L assioma tre i die he per ogni sequenza di eventi inompatibili, la probabilità he almeno uno di essi si verifihi è data dalla somma delle loro rispettive probabilità. Esempio 0 Supponiamo di laniare un dado. S = {,,,4,,6} e P( {} ) = P( {} ) = P( {} ) = P( {} 4 ) = P( {} ) = P( {} 6 ) = 6 Sia E = { il risultato del lanio è un numero pari} allora da assioma tre poihé gli eventi ese, ese 4, ese 6 sono inompatibili si ha he P( E) = P( {, 4,6} ) = P( {} ) + P( {} 4 ) + P( {} 6 ) = i Alune semplii proposizioni Proposizione P E = P E Prova S E E ( ) ( ) E E = quindi da = +. Ma da ASSIOMA = quindi P( S) = P( E E ). Inoltre ASSIOMA segue he P( S) P( E) P( E ) sappiamo he P( S ) = pertanto per sostituzione otteniamo
da ui P( E ) = P( E) ( ) P( E ) = P E + Proposizione Se E F allora P( E) P( F). Prova F = E ( E F) ma E ( E F) = P F = P E + P E F ma P E F 0 P F P E quindi da ASSIOMA segue. he ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Proposizione P E F = P E + P F P E F Prova Si noti he ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) (.) E F = E E F P E F = P E + P E F da ASSIOMA. Inoltre sempre da ASSIOMA ho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F = E F E F P F = P E F + P E F da ui segue he ( ) = ( ) ( ) (.) P E F P F P E F Sostituendo la (.) nella (.) riavo la tesi ( ) = ( ) + ( ) ( ) P E F P E P F P E F Eserizio Una satola ontiene 60 biglietti numerati da a 60. Estraendo un biglietto a aso, qual è la probabilità he risulti maggiore di 7 oppure minore di 4?
Indio on E= evento il numero estratto è >7 oppure <4. Indio on E i = evento ese il numero i. Risulta he i P( E i ) = ma 60 PE ( ) = PE ( E E E E E ) = 8 9 60 60 da assioma = PE ( ) + PE ( ) = 6 = + = =. 60 60 60 0 i i= i= 8 Eserizio In un vassoio i sono 00 aramelle di ui all arania, alla menta e al limone. Prendendo a aso una aramella dal vassoio, qual è la probabilità he non sia alla menta? E A = evento prendo aramella all arania. PE ( A) = 00 E M = evento prendo aramella alla menta. PE ( M ) = 00 E L = evento prendo aramella al limone. PE ( L ) = 00 C 67 PE ( M) = PE ( M) = = = 0,67. 00 00 C PE ( M) = PE ( A) + PE ( L) = + = 0,67. 00 00 i Eserizio Si lania una moneta sei volte. Trovare la probabilità he testa venga più di frequente di roe. Potremmo onsiderare tutti gli eventi del tipo: A = evento 6 teste e 0 roi A = evento teste e roe et
Ma forse è più semplie (siuramente più interessante!!!) ambiare strada e onsiderare i seguenti eventi: A = evento testa ese più spesso di roe B = evento roe ese più spesso di testa C = evento testa e roe esono in numero uguale A, BC, sono eventi he partizionano lo spazio ampionario e quindi essendo inompatibili vale PA ( ) + PB ( ) + PC ( ) =. Si noti ora he il problema è simmetrio rispetto a testa e roe PC ( ) Quindi PA ( ) = PB ( ) PA ( ) + PC ( ) = da ui PA ( ) =. A questo punto ero PC ( ) = teste e roi in ugual numero. Un esempio di risultato favorevole è il seguente: C T T T C C 6 = questa è solo uno dei asi favorevoli, quanti ne sono in totale? Devo trovare il numero totale di gruppi (he differisono solo per gli oggetti e non per l ordine) di teste e roi he sono dati da 6! 6 4 C6, = = = 0.!! 6 0 Quindi PC ( ) = 0= = da ui riavo PA ( ) = =. 64 6 6 Spazi ampionari on risultati equiprobabili Spesso i sono situazioni in ui è naturale supporre he tutti i risultati dell esperimento siano equiprobabili. S =,,..., N e formuliamo l ipotesi Supponiamo he { } ({ } ) { } ( ) ({ }) P = P = = P N (.) Allora poihé P( S ) = e gli eventi elementari, dall assioma segue he i j Ssono inompatibili
N ( ) ( ) {} P S = P i = Inoltre dall ipotesi (.) segue he indiato on { } dedue e periò N ({}) i= P i = p= pn N i= i= pn = p =. N ( ) p = P i i S si Appliando anora l assioma si ha he E S, p i E p E numero di asi favorevoli a E P( E) = = = p p S numero di asi totali i S Eserizio 4 La probabilità he laniando simultaneamente due dadi si ottengano numeri la ui somma vale è maggiore o minore della probabilità he si ottengano due numeri la ui somma vale 0? 4 6 7 4 6 7 8 4 6 7 8 9 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 7 8 9 0 E = somma vale. E = somma vale 0. P( E) = ; P( E) = P( E) < P( E) 6 6
Eserizio Un urna ontiene 6 palline bianhe e palline nere. Se si estraggono a aso palline, qual è la probabilità he siano una biana e l altra nera? 6 Il numero di asi favorevoli ad estrazioni di una pallina biana è. Il numero di asi favorevoli ad estrazioni di una pallina nera è. 6 Pertanto dal prinipio del onteggio ho = 6 = 0 asi favorevoli all estrazione di una pallina biana e di una pallina nera. Resta da alolare il numero totale di possibili estrazioni di due palline (qualsiasi) dal totale delle presenti. Tale numero è. La probabilità erata è quindi 6 6 = 0,4 Eserizio 6 Gioando a poker Calolare la probabilità di avere una sala reale di QUADRI servito 7 = =,8477 0 0 49 48 Calolare la probabilità di avere una sala reale servito 4 6 4 = =,9 0 0 49 48 4 volte più probabile di una sala reale di un seme speifio.
Calolare la probabilità di avere un poker d assi servito 4 4 4 4 48 = = =,846896 0! 98960 47!! volte più probabile di una sala reale. Calolare la probabilità di avere un poker servito 4 4 4 4 48 = = =, 40 0! 98960 47!! volte più probabile di un poker d assi. Calolare la probabilità di avere un olore servito 4 = 0,00 Calolare la probabilità di avere un full servito 4 4 4 6 = = 0,0044! 47!! 6 volte più probabile di un poker. Calolare la probabilità di avere un tris servito 4 4 = 0,0 4
Calolare la probabilità di avere una doppia oppia servito 4 4 = 0,047 Calolare la probabilità di avere una oppia servito 4 4 = 0, 46.