Corso di Matematica per le Scienze Sociali anno accademico 2001/02 Foglio di esercizi per casa numero 8 22 maggio 2002 Esercizio 1 E data la funzione y = x 2 1. Il concetto di derivata 1. Scrivere il rapporto incrementale (o quoziente di Newton) nel punto x 0 = 1. 2. Calcolare la derivata nel punto x 0 come limite del rapporto incrementale, mostrando il ragionamento. 3. Scrivere l equazione della retta tangente alla parabola nel punto x 0. Esercizio 2 La distanza percorsa da un auto da Verona a Vicenza è descritta dalla funzione y = f(t); dove f(t) = 50t 2, t è il tempo espresso in ore, y è lo spazio espresso in kilometri. 1. Quanti chilometri sono stati percorsi dopo 15 minuti, mezz ora, tre quarti d ora? 2. Tenuto conto che la distanza tra Verona e Vicenza è di 50 km, quanto tempo impiega l auto ad arrivare a Vicenza? 3. Quale è la velocità istantanea a mezz ora dalla partenza? 4. Durante il viaggio, la velocità istantanea è aumentata, diminuita, o è rimasta identica? Esercizio 3 Disegnare il grafico dello spostamento nel tempo per un viaggio che si svolge in questo modo: per le prime 2 ore la velocità è costante e uguale agli 80 km orari, quindi c è una sosta di 30 minuti, seguiti da 1 ora di viaggio a 120 kilometri orari. Esercizio 4 Il numero di matricole della Scuola di Scienze Agrarie nel corso degli anni é stato il seguente: anni 1996 1997 1998 1999 2000 iscritti 815 863 915 916 x 1. Calcolare con la formula dei tre punti l approssimazione del tasso annuale di crescita nel 1997 e 1998. 2. Trovare il minimo numero di iscritti nel 2000 in modo che il tasso di crescita del 1999 non sia inferiore a quello del 1998. Esercizio 5 Il numero di abitanti del pianeta Terra cresce secondo la legge: C(t) = C(0)e 0.03t dove C(t) e C(0) rappresentano il numero di abitanti rispettivamente all istante t e 0 e t, la variabile tempo, è espressa in anni. Sia C(0) = 5 miliardi. 1. Calcolare (usando la formula dei tre punti con passo t = 1, oppure t = 0, 5, ed usando la formula esatta per il calcolo della derivata) la velocitá di crescita della popolazione ai tempi t = 1 e t = 2. 2. Calcolare il tasso di crescita agli stessi tempi. 1
Calcolo di derivate ed applicazioni allo studio del grafico di funzioni Esercizio 6 E data la seguente funzione di terzo grado: f(x) = x 3 2x 2 + x 1 1. Calcolare la derivata prima; trovare in quali intervalli la funzione è crescente o decrescente; verificare se esistono punti di massimo o minimo relativo e, nel caso, calcolarli. 2. Calcolare l equazione della retta tangente alla funzione nel punto di flesso. 3. Tenendo presente che lim y(x) = + e che lim y(x) =, e quanto trovato in x + x precedenza, disegnare il grafico della funzione. Esercizio 7 E data la seguente funzione di terzo grado: f(x) = 1 3 x3 x 1 1. Calcolare la derivata prima; verificare se esistono punti di massimo o minimo relativo e, nel caso, calcolarli. 2. Calcolare l equazione della retta tangente alla funzione nel punto di flesso. 3. Tenendo presente che lim y(x) = e che lim y(x) = +, e quanto trovato in x + x precedenza, disegnare il grafico della funzione. Esercizio 8 Sia f(x) = 4x 3 + ax dove a è un numero reale. Sia a = 2. Disegnare il grafico della funzione e determinare esplicitamente gli intervalli di crescenza e decrescenza. Determinare, se possibile, il numero a in modo che x = 1 sia un punto di massimo per la funzione f. Esercizio 9 Sia f(x) = x 3 + ax 8 dove a è un numero reale. Determinare, se possibile, il numero a in modo che x = 1 sia un punto di minimo per la funzione f. Sia ora a = 12. Disegnare il grafico della funzione; determinare esplicitamente gli intervalli di crescenza e decrescenza; quante soluzioni ha l equazione f(x) = 0? Esercizio 10 Considerate le funzione f(x) = x 2 + 1 e g(x) = x. Siano h 1 (x) = g(f(x)) e h 2 (x) = f(g(x)) le funzioni composte definite dove ciò è possibile. 1. Scrivete un espressione esplicita per le funzioni h 1 (x) e h 2 (x). 2. Calcolatene le derivate, usando la regola di derivazione delle funzioni composte 2
Esercizio 11 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni 1 : x(e x 2 1); x 3 ; log(x4 5); Esercizio 12 Trovare la derivata delle funzioni date nei punti a lato riportati e 2x e x2 + 1 e 2x x, x = 1 log(x + 1), x = 0 log(x 2 + x), x = 1 Esercizio 13 Trovare i punti in cui si annulla la derivata della funzione f(x) = x 2 e 2x. Definizioni e criteri su crescenza e massimi di funzioni Domanda 14 Quale delle seguenti è una definizione corretta? f(x) è decrescente in I se: f (x) < 0 per ogni x I. f(x) 0 per ogni x I. se x 1 e x 2 I e x 1 < x 2 allora f(x 1 ) > f(x 2 ). se x 1 e x 2 I, allora x 1 < x 2. Domanda 15 Quale delle seguenti è un affermazione corretta? se f (x 0 ) = 0, allora x 0 è un punto di massimo per f. se x 0 è un punto di massimo (in I) di f, allora f(x 0 ) f(x) per ogni x I. se f (x 1 ) = 0 e f (x 2 ) = 0 con x 1 < x 2 allora x 1 è un punto di minimo e x 2 è un punto di massimo. ogni funzione f ha esattamente un punto di massimo. Domanda 16 Per ogni valore di x compreso tra 1 e 2 (1 x 2) la derivata prima f (x) risulta sempre uguale a 2 (f (x) = 2). Possiamo quindi concludere: f(2) è un punto di minimo f(2) f(1) = 2 f(2) < f(1) f(2) = 2. 1 N.B.: In questo foglio (e in tutti i seguenti) quando si scrive log(x) si intende il logaritmo in base e 3
Domanda 17 La derivata f (x) è sempre minore di 0 nell intervallo [1, 3] (1 x 3). Sapendo che f(1) = 2 allora si può concludere: f(x) è sempre negativa f (x) è decrescente f(3) > f(1) f(3) < 2 Domanda 18 Se f (x) < 0 nell intervallo ( 1, 3), allora f(3) < 0 f(3) > f( 1) f (x) è decrescente f(0) > f(2) Domanda 19 La derivata di una funzione f(x) è negativa nell intervallo (a, b), nulla in x = b e positiva nell intervallo (b, c). Quale delle seguenti affermazione è corretta? A. la funzione è crescente in (a, c) B. b è un punto di massimo C. la funzione è decrescente in (a, c) D. b è un punto di minimo Domanda 20 Sia f una funzione con f (x) > 0 tale che f(0) = 1 e f(1) = 3 2. Quante soluzioni ha l equazione f(x) = 4 3 con 0 x 1? nessuna soluzione una soluzione due soluzioni non ci sono informazioni sufficienti per rispondere. Domanda 21 Sia f una funzione con f (x) < 0 tale che f(0) = 1 e f(1) = 3 2. Quante soluzioni ha l equazione f(x) = 4 3 con 0 x 1? nessuna soluzione una soluzione due soluzioni non ci sono informazioni sufficienti per rispondere. Problemi di massimo e minimo 2 Esercizio 22 Trovate il punto della retta y = x + 1 più vicino al punto P = (0, 2). Esercizio 23 Un contadino ha a disposizione 20 m di rete con cui costruire un pollaio rettangolare. Trovare i lati del rettangolo che rendano massima l area racchiusa. Supponete invece che il contadino decida di costruire il pollaio a ridosso di un capanno cosìda utilizzare la rete per soli tre lati. Anche in questo caso, trovare i lati del rettangolo che rendano massima l area racchiusa. Esercizio 24 Abbiamo a disposizione 2 metri quadrati di carta per fabbricare un foglio per manifesti. I margini non stampati in alto e in basso devono essere alti 21 centimetri; quelli laterali 14 centimetri. Trovare lunghezza [e larghezza] del foglio che rendano massima l area stampata in funzione della lunghezza del foglio. 2 Alcuni riprendono problemi assegnati nel Foglio di esercizi n. 6 4
Esercizio 25 Un impresa agricola prevede di poter vendere x chilogrammi di asparagi al prezzo di (3, 8 0, 004x) euro al chilogrammo. Per produrle spende 0, 6 euro al chilogrammo più una spesa fissa di 500 euro. Determinare il guadagno massimo realizzabile ottimizzando la produzione. Esercizio 26 Un uomo in una barca a remi in P, a 5 km dal punto più vicino A di una costa rettilinea, desidera raggiungere un punto B a 6 km da A lungo la costa. Sapendo che quest uomo può remare alla velocità di 2 km/h e camminare alla velocità di 4 km/h, trovare il punto sulla costa in cui gli conviene sbarcare in modo da arrivare prima possibile in B. Esercizio 27 Una casa discografica ha una spesa fissa di 4.000 Euro per la produzione di un disco più 4 Euro (per materiale e distribuzione) per ogni disco venduto più le spese pubblicitarie. Riguardo alle spese pubblicitarie, ritiene che spendendo x Euro in campagne pubblicitarie, venderà y = 1.000 + 10.000x copie del disco incassando 12 Euro per ognuna. x + 5.000 1. Le copie vendute sono una funzione crescente delle spese pubblcitarie? 2. Tracciare un grafico approssimato delle copie vendute in funzione delle spese pubblcitarie. 3. Tracciare un grafico del guadagno (= ricavi spese fisse spese variabili spese pubblicitarie) della casa discografica in funzione delle spese pubblicitarie. 4. Quanto dovrebbe investire la casa discografica in spese pubblicitarie per rendere massimo il suo guadagno? Esercizio 28 Una corda di lunghezza L è tagliata in due parti che sono poi disposte a formare una circonferenza e un quadrato. Trovare la lunghezza x del lato del quadrato che rende minima l area totale racchiusa dal cerchio e dal quadrato. Esercizio 29 Il numero di occupati nell industria metallurgica M(t) nella regione Trentino-Alto Adige viene approssimato nel periodo successivo al 1980 secondo la legge M(t) = 10.000e 0,1 t dove t è espresso in anni e t = 0 rappresenta il 1980. Il numero di occupati in industria e servizi informatici I(t) viene invece approssimato con la legge I(t) = 200e 0,15t. 1. Calcolate la velocità e il tasso di crescita del numero totale di occupati nei due settori nel 1995, usando la formula dei tre punti (con t = 1) e il calcolo esatto della derivata. 2. A quale valore di t il numero totale di occupati nei due settori ha un minimo? 5