7 Applicazioni ulteriori

7 Applicazioni ulteriori 7 Applicazioni ulteriori 7.1 Strutture con maglie chiuse 7.1.1 Analisi cinematica Si consideri la struttura in figura 7.1: i gradi di libertà sono pari a l =3n c v =3 0 3 = 0, e dalla disposizione dei vincoli è facile dedurre che essa è isostatica. Fig. 7.1 Ora si immagini di connettere le due sezioni in C ec in maniera tale che esse risultino solidali una all altra (figura 7.). Abbiamo quindi introdotto una connessione tripla. Dunque si ha l =3n c v =3 3 3= 3 per cui la struttura risulta iperstatica. In generale possiamo osservare che ogni maglia Fig. 7. chiusa rappresenta una connessione tripla che va quindi opportunamente presa in considerazione nel calcolo dei gradi di libertà. Ad esempio per la struttura in figura 7.3 si ha l = 9 dunque essa è nove volte iperstatica. Si osservi che se applicassimo la formula l = 3 + s v = 3 + 0 3 = 0, otterremmo un apparente incongruenza con il calcolo precedente. In realtà que- Corso di Scienza delle Costruzioni 1 A. A. 009-010

7 Applicazioni ulteriori 7.1 Strutture con maglie chiuse 7 Applicazioni ulteriori 7.1 Strutture con maglie chiuse Per comodità di linguaggio, è possibile utilizzare le seguenti denominazioni: isostaticità esterna: si ha quando le reazioni vincolari sono determinabili con le sole equazioni di equilibrio; isostaticità interna: si ha quando le caratteristiche della sollecitazione sono determinabili con le sole equazioni di equilibrio. Fig. 7.3 sta formula, che permette di calcolare i gradi di libertà della struttura considerandola come un unico corpo rigido al quale sono applicate sconnessioni e vincoli esterni, va corretta sottraendo un numero di gradi di libertà pari a tre volte il numero delle maglie chiuse. Si ha quindi l = 3+s v 3m = 3+0 3 9 = 9. Si consideri ora la stessa struttura di figura 7. e si applichi un sistema di carichi esterni (figura 7.4). La struttura è iperstatica, ma è facile verificare come le tre incognite reattive V A, H E e V E siano determinabili con le sole equazioni cardinali della statica. Al contrario, non è possibile determinare le caratteristiche della sollecitazione con le sole equazioni di equilibrio. La struttura di figura 7.4 è dunque globalmente iperstatica, isostatica esternamente e tre volte iperstatica internamente. Per renderla isostatica è sufficiente inserire tre sconnessioni semplici (figura 7.5) disposte in maniera tale da non consentire spostamenti rigidi infinitesimi. In tale configurazione risulta l =3n v c =9 3 6 = 0, o equivalentemente l = 3 + s v 3m = 3 + 3 3 3 = 0. Fig. 7.5 Fig. 7.4 L analisi cinematica può essere eseguita per via geometrica verificando prima l eventuale isostaticità o labilità interna. Si consideri la struttura priva dei vincoli esterni (figura 7.6). Risulta l =3n v c = 3. Le tre cerniere danno condizioni sulle possibili posizioni dei centri di rotazione relativi, che in questo caso devono coincidere con le cerniere stesse. Nella configurazione a sinistra le tre cerniere non sono allineate, dunque i tre corpi rigidi che compongono la struttura non possono subire spostamenti rigidi infinitesimi relativi; infatti, se tali spostamenti fossero diversi da zero, per il secondo teorema delle catene cinematiche i tre centri relativi dovrebbero essere allineati. Quest ultima condizione risulta verificata nella configurazione di destra. Dunque è possibile affermare che nel primo caso la struttura è isostatica internamente, infatti ha tre gradi di libertà e si comporta come un unico corpo rigido piano, mentre nel secondo caso vi è labilità interna. Corso di Scienza delle Costruzioni 13 A. A. 009-010 Corso di Scienza delle Costruzioni 14 A. A. 009-010

7 Applicazioni ulteriori 7.1 Strutture con maglie chiuse 7 Applicazioni ulteriori 7.1 Strutture con maglie chiuse Fig. 7.6 Per l analisi cinematica esterna nella configurazione non labile internamente, basta guardare la travatura come un unico corpo rigido, che ha quindi tre gradi di libertà, vincolato con un carrello e una cerniera fissa. Risulta l =3 3 = 0 e, per la disposizione dei vincoli esterni, la struttura è isostatica esternamente. L isostaticità interna ed esterna implica l isostaticità globale della struttura. Fig. 7.7 7.1. Analisi statica Sia data la struttura in figura 7.7. Per quanto visto in precedenza, essa è isostatica sia internamente sia esternamente. Le incognite reattive V A, H F e V F possono essere determinate con le sole equazioni cardinali della statica. Risulta: H F + F =0 V A = F V A + V F F =0 V F = 3 F LV A + FL FL =0 H F = F. Per determinare le leggi di variazione delle caratteristiche della sollecitazione, è necessario sconnettere la struttura in corrispondenza di una sezione scelta arbitrariamente. Per semplicità sconnettiamo la struttura in corrispondenza della cerniera in B (figura 7.8). Per la caratterizzazione statica di una cerniera, la forza interna che le due parti di struttura così individuate si scambiano è una forza passante per la cerniera stessa, avente le due componenti T B e N B. Fig. 7.8 Imponendo le condizioni dettate dalla caratterizzazione statica delle altre due cerniere in D e G (momento flettente nullo) è possibile ricavare le due Corso di Scienza delle Costruzioni 15 A. A. 009-010 Corso di Scienza delle Costruzioni 16 A. A. 009-010

7 Applicazioni ulteriori 7.1 Strutture con maglie chiuse 7 Applicazioni ulteriori 7. Travature reticolari forze interne incognite: M(D) = 0 M(G) = 0 T B L N B L =0 N B = F F L + T BL + N B L =0 4 T B = F 4. DE, s (0,L) N(s) = F 4 F = 3 4 F T (s) = F F 4 = 5 4 F È quindi possibile scrivere le leggi di variazione delle caratteristiche della sollecitazione secondo lo schema di figura 7.7. AB, s (0,L) N(s) = F 4 T (s) = F 4 M(s) = F (L s) 4 BC, s (0,L) N(s) = F 4 T (s) = F 4 M(s) = F 4 s CD, s (0,L) N(s) = F 4 F = 3 4 F T (s) = F 4 M(s) = F (L s) 4 M(s) = F 4 (L + s)+f 4 L Fs = 5 4 Fs EF, s (0, L) N(s) = F 4 F = 5 4 F T (s) =F F 4 = 3 4 F M(s) = FL+ Fs L F 4 F 4 (s L) = 5 4 FL+ 3 4 Fs AF, s (0, L) N(s) = F 4 T (s) = F 4 F = F 4 M(s) = F s + F 4 s + F 4 L = F (L s) 4 Nella figura seguente si riportano i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione. 7. Travature reticolari Le travature reticolari piane sono strutture piane caratterizzate dalle seguenti proprietà (figura 7.10): le travi costituenti le varie parti della struttura sono rettilinee; le connessioni sono tutte nodi cerniera; i vincoli esterni sono cerniere, carrelli o pendoli, e sono applicati nei nodi; Corso di Scienza delle Costruzioni 17 A. A. 009-010 Corso di Scienza delle Costruzioni 18 A. A. 009-010

7 Applicazioni ulteriori 7. Travature reticolari 7 Applicazioni ulteriori 7. Travature reticolari Fig. 7.10 Se sono soddisfatte tutte le proprietà elencate, tutte le aste sono soggette esclusivamente a sforzo normale. Infatti se si isola una delle aste (figura 7.11), poiché le connessioni sono cerniere, le forze interne che essa scambia con il resto della struttura sono forze passanti per i suoi estremi. Scomponendo tali forze interne secondo le direzioni parallela a perpendicolare all asse dell asta, ed imponendo l equilibrio dell asta stessa si ottiene: N E N B =0 T E T B =0 T E L BE =0 N E = N B T B =0 T E =0. Di conseguenza il momento flettente ed il taglio sono identicamente nulli, mentre lo sforzo normale è costante su tutta l asta e pari a N BE = N E = N B. Fig. 7.9 i carichi esterni sono forze concentrate applicate nei nodi. Fig. 7.11 Si riportano nelle figure 7.18 7. alcune tipologie di travi reticolari di comune utilizzo. Corso di Scienza delle Costruzioni 19 A. A. 009-010 Corso di Scienza delle Costruzioni 130 A. A. 009-010

7 Applicazioni ulteriori 7. Travature reticolari 7 Applicazioni ulteriori 7. Travature reticolari 7..1 Analisi cinematica Si consideri la struttura in figura 7.10. I gradi di libertà totali sono dati da: l =3n v c = 1 3 ( + 4 + 6 + 4 + ) = 0 essendo n = 7 il numero di aste, e 4 la molteplicità delle connessioni in B e C, 6 per la connessione in E. Per strutture con un elevato numero di aste questo calcolo può risultare laborioso, per cui è conveniente considerare la struttura come un insieme di punti materiali (nodi) connessi da aste e vincolati con vincoli esterni. Ciascun nodo ha quindi gradi di libertà nel piano, mentre ciascun asta rappresenta una connessione semplice per i nodi stessi (da un punto di vista cinematico rappresentata da un equazione che impone che la distanza mutua tra due nodi si mantenga costante). Il numero di gradi di libertà può quindi essere calcolato con la formula seguente: l =n nodi a v, ove a rappresenta il numero di aste. Per la struttura in esame risulta l = 10 7 3 = 0, dunque la travatura può essere isostatica o al più labile a vincoli inefficaci. Verifichiamo che la struttura sia isostatica internamente con il metodo geometrico. Si consideri l elemento A B E (figura 7.1). Risulta l = 9 ( + + ) = 3, inoltre le tre cerniere, che rappresentano i possibili centri di rotazione relativi delle tre aste, non sono allineate. Per il secondo teorema delle catene cinematiche, questo sistema non può subire spostamenti rigidi infinitesimi relativi, e poiché l = 3 esso si comporta come un unico corpo rigido piano. Aggiungendo di volta in volta una coppia di aste si aggiungono e sottraggono 6 gradi di libertà, e ripetendo il ragionamento precedente si può concludere che la struttura risultante si comporta ancora come un unico corpo rigido piano. In definitiva si può concludere che una struttura reticolare così composta (travatura reticolare triangolata) si comporta come un unico corpo rigido piano, dunque è internamente isostatica, purché non siano verificate condizioni di allineamento tra le cerniere e purché non vi siano aste in numero sovrabbondante (si veda la struttura in figura 7.13, la quale è internamente iperstatica). Verificata dunque l isostaticità interna, è facile verificare l isostaticità esterna della struttura considerandola come un unico corpo rigido vincolato con i vincoli esterni (cerniera in A e carrello in D. 7.. Analisi statica Fig. 7.1 Fig. 7.13 Poiché la struttura è esternamente isostatica, è possibile ricavare le reazioni vincolari con le sole equazioni cardinali della statica. Risulta (figura 7.14): H A =0 V A + V D F =0 4LV D FL 3FL =0 Fig. 7.14 H A =0 V A = F V D = F. Corso di Scienza delle Costruzioni 131 A. A. 009-010 Corso di Scienza delle Costruzioni 13 A. A. 009-010

7 Applicazioni ulteriori 7. Travature reticolari 7 Applicazioni ulteriori 7. Travature reticolari Le forze interne sono costituite dai soli sforzi normali, costanti lungo ciascun asta. Si utilizza nel seguito il metodo dell equilibrio dei nodi. Se, come in questo caso, è possibile trovare un nodo nel quale convergano due sole aste, è possibile imporre l equilibrio di tale nodo alla traslazione nelle due direzioni e determinare di conseguenza gli sforzi normali nelle aste che vi convergono. Si consideri il nodo A (figura 7.15) e si indichino con N AB e N AE gli sforzi normali nelle aste AB e AE rispettivamente, ipotizzati positivi (quindi uscenti dal nodo). Si ha: F + N AB =0 N AE + N AB =0 N AB = F N AE = F. L asta AB è caratterizzata dunque da sforzo normale negativo, ossia è un asta compressa, mentre al contrario l asta AE è tesa. Analogamente per il nodo E si ottiene: N ED + N EC F =0 N EC =0 Per il nodo D si ottiene: F N CD =0 F + N CD =0 N EC =0 N ED = F. N CD = F. Le equazioni di equilibrio scritte per il nodo C, una volta determinati gli sforzi normali in tutte le aste, sono identicamente soddisfatte: F F =0 F + F =0. Fig. 7.15 A questo punto è possibile studiare l equilibrio del nodo B (figura 7.16) ove lo sforzo in AB è noto, per cui le incognite sono gli sforzi N BC ed N BE. Si ha: F + N BC + N BE =0 N BC = F F F N BE =0 N BE =0. Fig. 7.16 Il diagramma dello sforzo normale può essere tracciato evidenziando con tratto più marcato le aste compresse e con tratteggio le aste scariche (figura 7.17). Corso di Scienza delle Costruzioni 133 A. A. 009-010 Corso di Scienza delle Costruzioni 134 A. A. 009-010

7 Applicazioni ulteriori 7. Travature reticolari 7 Applicazioni ulteriori 7. Travature reticolari Asta Fig. 7.17 Sforzo normale AB F BC F CD F AE F ED F BE 0 CE 0 Nel caso più generale, in cui non è possibile trovare un nodo in cui le incognite siano solo due, è possibile scrivere sempre un sistema di n nodi equazioni di equilibrio in cui le incognite sono le v componenti reattive e gli a sforzi normali. Essendo la struttura isostatica, si ha l =n nodi a v = 0, per cui il sistema è determinato. Nel caso in esame si avrebbe il seguente sistema: H A + N AE + N AB =0 N BC N CE + N CD V A + N AB =0 N AB + N BE + N BC =0 N AB N BE F =0 N CE N CD N ED N CD =0 V D + N CB =0 =0 F =0 N AE N BE + N BC N BE + N BC =0, + N ED =0 che fornisce le medesime soluzioni trovate precedentemente. Corso di Scienza delle Costruzioni 135 A. A. 009-010 Corso di Scienza delle Costruzioni 136 A. A. 009-010

7 Applicazioni ulteriori 7. Travature reticolari 7 Applicazioni ulteriori 7. Travature reticolari Fig. 7.19 Linea Sibari-Cosenza - Ponte a trave reticolare sul torrente Cocchiato Fig. 7.0 Copertura per capannone Fig. 7.18 Corso di Scienza delle Costruzioni 137 A. A. 009-010 Corso di Scienza delle Costruzioni 138 A. A. 009-010

7 Applicazioni ulteriori 7. Travature reticolari Fig. 7.1 Ponte a Binzhou, Shandong Province (China) Fig. 7. Capriate di copertura per una chiesa Corso di Scienza delle Costruzioni 139 A. A. 009-010