RETI DI CONDOTTE PROBLEMI DI VERIFICA Nei problemi che seguono, con il termine (D) si intende indicare la seguente quantità: γ(d) = 8λ D 5 gπ2 Dove λ è la funzione di resistenza, grandezza che in generale è funzione di: λ = λ(re, ε D ) essendo Re il numero di Reynolds e ε/d la scabrezza del condotto relativa al valore del diametro del condotto stesso. Nei problemi di verifica, i valori delle scabrezze dei condotti si ritengono noti, mentre non sono noti a priori i valori di Re, poiché il numero di Reynolds è calcolabile come: Re = UD υ = QD A(D)υ Non conoscendo i valori delle portate non è possibile calcolare il numero di Reynolds relativo alle condizioni di moto nei vari condotti e, quindi, non è possibile calcolare il valore di λ. Pertanto, i problemi di verifica si risolvono per successive approssimazioni. In prima approssimazione si attribuisce a λ il valore relativo a Re =. Con questi valori si calcolano i coefficienti (D) e, risolvendo il sistema di equazioni rappresentativo del problema, si determinano le portate di prima approssimazione. Con tali valori delle portate si possono determinare i valori dei numeri di Reynolds e, quindi, valori aggiornati dei i coefficienti (D) e risolvere nuovamente il sistema di equazioni. Il calcolo viene ripetuto fino a quando le variazioni dei valori delle portate determinate risultano inferiori ad uno scarto prefissato. λ λ(3) λ(2) λ(1) λ=λ(re,ε/d) Re(2) Re(1) Re
Problema 1 Data la rete schematizzata in fig. 1, si considerino note le seguenti grandezza: - carichi ai nodi esterni, HA, HB, HC; - lunghezze, diametri e scabrezze dei 3 rami; - prevalenza (δhp) della pompa inserita nella sezione 1; - perdite di carico localizzate (δhu) nella sezione 2. Determinare le portate defluenti nei diversi rami della rete; tracciare altresì la linea dei carichi in accordo con i versi di percorrenza fissati. B Sez.1 A N Sez.2 Fig. 1 C Equazione di continuità al nodo interno N Q 1 + Q 2 = Q 3
Equazioni di continuità dei carichi Percorso A-N-C Percorso B-N-C H A = δh P + γ(d 1 )L 1 Q 1 Q 1 + γ(d 3 )L 3 Q 3 Q 3 + H C H B = γ(d 2 )L 2 Q 2 Q 2 + γ(d 3 )L 3 Q 3 Q 3 + δh U + H C Si osservi che, in base al tracciato delle linea dei carichi, nel primo ramo di condotta (prima della pompa) il condotto funziona, per un tratto, in depressione (pressione interna minore della Patm).
Problema 2 Data la rete schematizzata in fig. 2, si considerino note le seguenti grandezza: - carichi ai nodi esterni, HA, HB, HC; - lunghezze, diametri e scabrezze dei 7 rami; Determinare le portate defluenti nei diversi rami della rete; tracciare altresì la linea dei carichi in accordo con i versi di percorrenza fissati. B A M N C1 C2 P Fig. 2 Equazioni di continuità ai nodi interni Nodo M Q 1 = Q 2 + Q 3 Nodo N Q 2 + Q 3 + Q 4 = Q 5 Nodo P Q 5 = Q 6 + Q 7
Equazioni di continuità dei carichi Percorso A-M-N-P-C1 H A = γ(d 1 )L 1 Q 1 Q 1 + γ(d 2 )L 2 Q 2 Q 2 + γ(d 5 )L 5 Q 5 Q 5 + γ(d 6 )L 6 Q 6 Q 6 + H C Percorso B-N-P-C1 Parallelo M-N H B = γ(d 4 )L 4 Q 4 Q 4 + γ(d 5 )L 5 Q 5 Q 5 + γ(d 6 )L 6 Q 6 Q 6 + H C γ(d 2 )L 2 Q 2 Q 2 = γ(d 3 )L 3 Q 3 Q 3 Parallelo P-C1-2 γ(d 6 )L 6 Q 6 Q 6 = γ(d 7 )L 7 Q 7 Q 7
Problema 3 Data la rete schematizzata in fig. 3, si considerino note le seguenti grandezza: - carichi ai nodi esterni, HA, HB, HC; - lunghezze, diametri e scabrezze dei 4 rami; - prevalenza (δhp) della pompa inserita nella sezione 1; - portata p erogata per unità di lunghezza lungo il ramo M-N. Determinare le portate defluenti nei diversi rami della rete; tracciare altresì la linea dei carichi in accordo con i versi di percorrenza fissati. A M N C Sez.1 B Fig. 3 Equazioni di continuità ai nodi interni Nodo M Q 1 + Q 2 = Q 3 Nodo N Q 3 pl 3 = Q 4
Equazioni di continuità dei carichi Percorso A-M-N-C H A = γ(d 1 )L 1 Q 1 Q 1 + γ(d 3 )L 3 Q eq Q eq + γ(d 4 )L 4 Q 4 Q 4 + H C Percorso B-M-N-C H B = γ(d 2 )L 2 Q 2 Q 2 + γ(d 3 )L 3 Q eq Q eq + γ(d 4 )L 4 Q 4 Q 4 + H C Relazione per determinare la portata equivalente Qeq Q eq = Q 3 2 + Q 3 Q 4 + Q 4 2 3 Si osservi che, in base al tracciato delle linea dei carichi, nel secondo ramo di condotta (prima della pompa) il condotto funziona, per un tratto, in depressione (pressione interna minore della Patm).
Problema 4 Data la rete schematizzata in fig. 4, si considerino note le seguenti grandezza: - carichi ai nodi esterni, HA, HB, HC; - lunghezze, diametri e scabrezze dei 7 rami; Determinare le portate defluenti nei diversi rami della rete; tracciare altresì la linea dei carichi in accordo con i versi di percorrenza fissati e considerando al posto della maglia chiusa un macro nodo. B A N R M S C macro nodo Z Fig. 4 Dapprima si risolve la rete sostituendo alla maglia chiusa M-N-R-S un macro nodo Z. Equazione di continuità al nodo interno Z Q 1 + Q 2 = Q 3 Equazioni di continuità dei carichi Percorso A-Z-C Percorso B-Z-C H A = γ(d 1 )L 1 Q 1 Q 1 + γ(d 3 )L 3 Q 3 Q 3 + H C
H B = γ(d 2 )L 2 Q 2 Q 2 + γ(d 3 )L 3 Q 3 Q 3 + H C Risolvendo il sistema sopra definito si possono determinare le portate Q1 e Q2 entranti nella maglia e la portata uscente Q3. Passiamo ora a determinare le portate circolanti nella maglia chiusa. A tal fine, si fissa un verso di percorrenza della maglia, supponiamo orario; nonché una prima distribuzione di portate qi nei 4 rami della maglia, in particolare indichiamo con: - q1 la portata nel ramo M-N, - q2 la portata nel ramo N-R, - q3 la portata nel ramo R-S, - q4 la portata nel ramo S-M. verso positivo di percorrenza Q2 Q1 N R Q3 M S I valori delle qi sono arbitrari ma devono soddisfare all equazione di continuità ai nodi M- N-R-S della maglia, vale a dire devono essere soddisfatte le seguenti equazioni: Q 1 + q 1 = q 4 q 1 = q 2 Q 2 = q 2 + q 3 q 3 + q 4 = Q 3 Le portate qi così stabilite le assumiamo come valori iniziali per la soluzione del problema e le indichiamo con qi(0) Per la continuità dei carichi nella maglia chiusa deve risultare: γ(d 1 )l 1 q 1 2 γ(d 2 )l 2 q 2 2 + γ(d 3 )l 3 q 3 2 γ(d 4 )l 4 q 4 2 = 0 (1) dove con di e li si sono indicati diametri e lunghezze dei rispettivi rami della maglia; nell equazione i termini delle perdite di carico nei diversi rami compaiono con il segno (+)
se il verso della portata è concorde con il verso di percorrenza della magli, altrimenti compaiono con il segno (-). Sostituendo nell equazione (1) alle portate effettive qi le portate qi(0), alle quali si aggiunge una quantità costante pari a q(1), si ricava facilmente, trascurando i termini quadratici in q(1), il seguente algoritmo iterativo. a) Si calcola il valore q(1) dalla seguente relazione: q (1) = ±γ(d 2 i)l i q i(0) 2 ± γ(d i )l i q i(0) b) Determinato il valore di prima approssimazione del fattore di correzione q, si determina una distribuzione delle portate di prima approssimazione, cioè: q i(1) = q i(0) + q (1) c) Si sostituisce nell equazione (1) alle portate effettive qi le portate qi(0), alle quali si aggiunge una quantità costante pari a q(2). d) Si ripete la sequenza di calcolo, partendo da a). Si ripete il calcolo iterativo fino a determinare i valori m-esimi delle portate, data da: q i(m) = q i(m 1) + q (m) in modo tale che risulti soddisfatta la seguente condizione: (q i(m) q i(m 1) )/q i(m 1) scarto prefissato