www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p. Esame di sao di isruzione secondaria superiore Indirizzi: Scienifico e Scienifico opzione scienze applicae Tema di maemaica 6 Il candidao risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesii del quesionario PROBLEMA Sei addeo alla gesione di una macchina uensile in cui è presene un coneniore di olio lubrificane avene la forma di un cono circolare reo col verice rivolo verso il basso. Il raggio di base r del cono è 4 cm menre l alezza h è cm. In ale coneniore, inizialmene vuoo, viene versao auomaicamene dell olio cm lubrificane alla velocià di. Devi assicurari che il processo avvenga correamene, senza produrre s raboccameni di olio.. Deermina l espressione della funzione h( ), che rappresena il livello h (in cm) raggiuno dall olio all isane (in secondi) e la velocià con la quale cresce il livello dell olio durane il riempimeno del coneniore.. Al fine di programmare il processo di versameno da pare della macchina uensile, deermina il empo R necessario perché il coneniore sia riempio fino al 75% della sua alezza.. Devi realizzare un indicaore graduao, da porre lungo l apoema del cono, che indichi il volume di olio presene nel recipiene in corrispondenza del livello raggiuno dall olio, misurao all apoema. Individua l espressione della funzione ( ) da uilizzare per realizzare ale indicaore graduao. 4. A causa di un cambiameno nell uilizzo della macchina, i viene richieso di progeare un nuovo e più capiene recipiene conico, avene apoema uguale a quello del coneniore aualmene in uso. Deermina i valori di h e di in corrispondenza dei quali il volume del cono è massimo e verifica, a parià di flusso di olio in ingresso e di empo di riempimeno R, a quale livello di riempimeno si arriva. È ancora pari al 75% dell alezza?
www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p. RISOLUZIONE Puno 6 Il volume del cono circolare reo è V hr 64. Indichiamo con V, h, r il volume, l alezza ed il raggio del cono funzioni del empo. Poiché il livello dell olio è posizionao lungo l alezza, il nuovo cono avrà il rapporo ra raggio ed alezza r coincidene con il cono iniziale ovvero r h. h r h Il volume del cono riempio di olio è pari a V h. 7 cm Sapendo che il volume cresce alla velocià di V s l uguaglianza ra le due espressioni del volume si ricava che: h h 4 h 7 possiamo dire che perano imponendo La velocià con cui cresce il livello dell olio è pari alla derivaa prima della funzione alezza h' 4 4 4 Puno Dobbiamo rovare R ale per cui h R h 9 9 7.5s 4 R R R R R Puno h L apoema del cono è a r h h h. 9 Di conseguenza il volume in funzione dell apoema è r h 7 V a 7 Perano se l A è il livello dell olio misurao all apoema si ha V l A l A Puno 4 hr h Il volume del cono è a h V h con h a. a ed è posiiva in, a a e negaiva in,a, perano la funzione volume è sreamene crescene in, a e a sreamene decrescene in,a. Massimizziamo ale volume mediane derivazione. La derivaa prima è V ' h a h h :
www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p. a a La derivaa seconda della funzione volume è V '' h h ed essendo V '' deduciamo che a h è il valore dell alezza che massimizza il volume del cono. In corrispondenza di a h il raggio del cono è r a h. Indichiamo con il livello di riempimeno, in corrispondenza il volume è V. Se flusso di olio in ingresso e di empo di riempimeno R sono gli sessi, allora il volume del cono sarà pari a V 7, perano imponendo l uguaglianza si ha R 8 7 Il rapporo ra livello di riempimeno ed alezza è 4 6 75% a a 4 4 4 4 4 In conclusione il rapporo ra livello di riempimeno ed alezza è diverso dal 75%, in paricolare è pari al 47% circa.
www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p.4 PROBLEMA La funzione f : è così definia: f sin cos.. Dimosra che è una funzione dispari, che per, si ha, ale che f. Traccia inolre il grafico della funzione per,5. Deermina il valore dell inegrale definio: e, sapendo che risula: prova che risula verificaa la disequazione: anche non conoscendo il valore di.. Verifica che, qualsiasi n, risula: 4. Dimosra che i massimi della funzione f l equazione della parabola e della rea. f d f d 48 8 8 96 n n f f d 4 d f e che esise un solo valore. giacciono su una parabola e i minimi su una rea, e scrivi
www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p.5 RISOLUZIONE Puno Poiché f sin cos sin cos f deduciamo che f sin cos è dispari. Noiamo innanziuo che f, f, f. La derivaa prima è f ' cos cos sin sin e nell inervallo, si ha ' perano f è sreamene crescene in, e poiché,. Analogamene nell inervallo, si ha f ' perano f è sreamene decrescene in poiché, : f e ale zero è unico per la srea decrescenza. Di seguio il calcolo di, applicando il meodo di bisezione: f, f si deduce che essa non si annulla mai in, e f assume valori discordi agli esremi dell inervallo, per il eorema degli zeri a b f(a) f(b) m=(a+b)/ f(m) b-a (b-a)<,,46 6,8,46-6,8 4,74 -,,46 NO,46 4,74,46 -,,97,697,578 NO,97 4,74,697 -, 4,97,79,7854 NO 4,97 4,74,79 -, 4,56 -,997,97 NO 4,97 4,56,79 -,997 4,479,55,96 NO 4,479 4,56,55 -,997 4,467,5,98 NO 4,467 4,56,5 -,997 4,495,84,49 NO 4,495 4,56,84 -,997 4,58 -,455,45 NO 4,495 4,58,84 -,455 4,4976 -,85, NO 4,495 4,4976,84 -,85 4,4946 -,5,6 SI Quindi si ha 4. 49. Sudiamo la funzione f sin cos in,5. Dominio:,5 ; Inersezione asse ascisse: poiché, f, f 4 4, f 5 5 suddei inervalli,,,4, 4, 5 f ed essendo in la funzione sreamene crescene o sreamene decrescene, allora essa presenerà un unico zero in ognuno dei segueni inervalli,,,4, 4, 5 olre a quello già discusso sopra apparenene all inervallo, ; Inersezione asse ordinae:,; Simmerie: la funzione è dispari come sopra mosrao; Posiivià: dai la monoonia, i valori agli esremi degli inervalli,,,4, 4, 5 f, f, f 4 4, f 5 5 e gli zeri,,,, si ha che,,,5 ; ovvero f in Crescenza e decrescenza: dall analisi della derivaa prima deduciamo che negli inervalli,, 4, 5 si ha f ' menre negli inervalli,, 4 si ha f ', perano la funzione presena minimi relaivi nei puni,, 4, 4 e massimi relaivi nei puni,,,, 5, 5. Noiamo che i puni di massimo sono allineai lungo la rea y ed i puni di minimo lungo la rea y, quindi il grafico della funzione è compreso ra le ree di equazione y e y.
www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p.6 Concavià e convessià: la derivaa seconda è f '' sin cos da cui deduciamo che essa si annulla in, ascissa in cui si annulla anche la derivaa prima, perano, è un flesso a angene orizzonale. Di seguio il grafico in cui riporiamo anche la pare per ricavaa per disparià e la pare per 5. La pare di grafico in rosso fa riferimeno al solo inervallo richieso,5. Puno Nell inervallo, seguene caena di disuguaglianze: la funzione f assume valori appareneni all inervallo, f Applicando l inegrazione per pari si ha: f f f f d f d sin cos d cos sin sin cos sin Di conseguenza la disuguaglianza divena: 48 8 48 8 8 96 d, perano vale la d
www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p.7 come volevasi dimosrare. Puno Calcoliamo n n f cos Analogamene Puno 4 f n f d 4, si ha: d n cos sin cos n 4 cos n sin n n d cos sin cosn n sinn La funzione f è: - Non negaiva; f una funzione dispari; - pari essendo f è f f ' f ha la sessa monoonia di La derivaa della funzione - da cui deduciamo che: f se f ; f ha monoonia opposa a quella di f se - f ; Inolre gli esremi relaivi vanno ricercai nei puni in cui si annulla Poiché la funzione f ed f '. f è non negaiva e si annulla nei puni in cui si annulla minimi relaivi per f e sono posizionai lungo la rea y. Gli zeri di f ' sono k, k Z. f ha la sessa monoonia di Poiché f se sono massimi relaivi, quindi i massimi relaivi sono k, k y. D alronde se i massimi di f, gli zeri di f sono f deduciamo che i puni ad ascisse k, k Z, k Z e sono posizionai lungo la parabola f erano posizionai sulle ree y. Di seguio i grafici in un unico riferimeno caresiano: in nero il grafico di in rosso raeggiao la parabola di equazione y. f, in rosso quello di f ed
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www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p.9 QUESTIONARIO. Calcolare il limie: sincos lim lncos. In media, il 4% dei passeggeri dei ram di una cià non paga il biglieo. Qual è la probabilià che ci sia almeno un passeggero senza biglieo in un ram con 4 persone? Se il numero di persone raddoppia, la probabilià raddoppia?. Deerminare il paramero reale a in modo che i grafici di y e di y 4 a, risulino angeni e sabilire le coordinae del puno di angenza. 4. Dai i puni (, 4, 8) e (, 4, 4), deerminare l equazione della superficie sferica di diamero AB e l equazione del piano angene alla sfera e passane per A. 5. Un'azienda produce, in due capannoni vicini, scaole da imballaggio. Nel primo capannone si producono 6 scaole al giorno delle quali il % difeose, menre nel secondo capannone se ne producono 4 con il % di pezzi difeosi. La produzione viene immagazzinaa in un unico capannone dove, nel corso di un conrollo casuale sulla produzione di una giornaa, si rova una scaola difeosa. Qual è la probabilià che la scaola provenga dal secondo capannone? 6. In un semicerchio di raggio = è inscrio un riangolo in modo che due verici si rovino sulla semicirconferenza e il erzo verice si rovi nel cenro del cerchio. Qual è l area massima che può assumere ale riangolo? 7. Calcolare, se esise, il limie della seguene successione espliciando il procedimeno seguio: lim n n f 4, sia g la rea passane per i puni A(,8) e B(,). Si calcoli l area della regione raegiaa indicaa in figura. 8. Daa la funzione 8 n 9. Dai i puni (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), deerminare l equazione del piano passane per i puni,, e l equazione della rea passane per e perpendicolare al piano.. Si consideri, nel piano caresiano, la regione limiaa, conenua nel primo quadrane, compresa ra l'asse ed i grafici di y e y. Si deerminino i volumi dei solidi che si oengono ruoando aorno all'asse e all'asse.
www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p. RISOLUZIONE. In un inorno di, applicando la formula di Taylor possiamo dire che: Di conseguenza il limie divena: sin cos lim ln Poiché per si ha il limie richieso vale. cos o cos ln sin ln sin sin sin sin lim lim sin lim sin ln sin lim lim sin sin sin sin ln sin lim,lim,lim sin,. La probabilià che almeno un passeggero sia senza biglieo è pari al complemeno ad della probabilià che non vi sia nessun passeggero senza biglieo, ovvero: 4 4 4 p p.4.96.96.85 8.5% Se il numero di passeggeri raddoppia la nuova probabilià divena: 8 8 8 p p.4.96.96.96 96.% Quindi al raddoppiare del numero dei passeggeri la probabilià ovviamene non raddoppia. y. Risolviamo il sisema y. Si ha: 4 a 4 a 4 a Imponendo la condizione di angenza si ricava 4 a a. Di conseguenza il puno di angenza si rova risolvendo l equazione 4. Quindi il puno di angenza è (,).
www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p. 4. Le coordinae del cenro della sfera è il puno medio del diamero ovvero C,4, 6 R AB 4 4. Di conseguenza l equazione della sfera è: y 4 z 6 8. Il raggio è Il piano angene alla sfera e passane per A ha gli sessi parameri direori della rea normale AC,4 4, 8 6,, perano l equazione del piano è ovvero y 4 z 8 z 5. Le scaole oali sono, perano la probabilià che, ra le scaole oali, ci sia una scaola prodoa nel 6 primo capannone e difeosa è pari a P D.. 8, analogamene la probabilià che ci sia 4 una scaola prodoa nel secondo capannone e difeosa è pari a P D.. 8. Quindi la probabilià di avere una scaola difeosa è P D P D PD. 6. La probabilià che una scaola provenga dal secondo capannone sapendo che è difeosa è: P D.8 4 P D.8% P D.6 6. Consideriamo la seguene figura e sia l angolo al verice del riangolo AOB.
www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p. Il riangolo AOB è isoscele in quano AO ed OB sono due raggi, perano l area del riangolo è S r sin 5sin perano essa è massima quando è massimo sin ovvero sin ; di conseguenza il riangolo di area massima è reangolo isoscele. 7. Si ha: Ricordando il limie noevole lim n n lim n n n n lim n n n e, il limie iniziale vale: lim n n n e y 8 8. La rea AB ha equazione y 4 8 ; l area richiesa è pari a 8 4 4 8 4 8d 4 5 5 6 8 5 4 5 d 9. La generica equazione del piano ha equazione a by cz d. Imponendo il passaggio per i puni si ha:
www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p. d c b d c b a d c a Sommando la seconda e erza euqzione oeniamo d a ed il sisema divena: d c d b d a 5 Ipoizzando d la rea ha equazione 5 z y. I parameri direori di una normale ad un piano sono gli sessi del piano, perano la rea passane per D e perpendicolare al piano è: z y z z y y D D D 5 5. Di seguio la sezione di piano oggeo di roazione. Le due curve si inersecano in,4 B. Il volume dao dalla roazione inorno all asse delle ascisse è: 5 ln 5 5 ln 5 4 d d V Il volume dao dalla roazione aorno all asse delle ordinae è: d d V
www.maemaicamene.i N. De Rosa STR 6 p.4 Applicando l inegrazione per pari si ha: ln ln ln ln d d perano il volume è pari a 8 ln 6 ln 6 ln 4 ln 4 ln 8 4 ln ln 4 d V